অয়লার রেখাচিত্র

An Euler diagram showing the relationships between different solar system objects

সেট ও বিভিন্ন সেটের সম্পর্ক রেখাচিত্রের মাধ্যমে দেখানোর একটা উপায় হচ্ছে অয়লার রেখাচিত্র (/ˈɔɪlər/, OY-lər)। সাধারণত আকারের অধিক্রমণ নিয়েই অয়লার রেখাচিত্র দেখানো হয় এবং এগুলো নির্দিষ্ট আকারে মাপা থাকতে পারে এমনভাবে যাতে এই আকারের ক্ষেত্রফল এর মাঝে কতগুলো উপাদান আছে তার সমানুপাতিক হয়। অধিক্রমণকারী সংজ্ঞা ও জটিল ক্রমাধিকার দেখানোর জন্য অয়লার রেখাচিত্র বিশেষভাবে ব্যবহারযোগ্য। অনেকেই অয়লার রেখাচিত্রকে ভেন রেখাচিত্র ভেবে ভুল করে। ভেন রেখাচিত্র যেখানে বিভিন্ন সেটের সব সম্পর্ক দেখায়, অয়লার রেখাচিত্র শুধু প্রাসঙ্গিকগুলো দেখায়।

"অয়লার বৃত্তের" প্রথম ব্যবহার লেওনার্ড অয়লার(১৭০৭-১৭৮৩) এর। যুক্তরাষ্ট্রে ১৯৬০ এর দশকে গণিত আন্দোলনের অংশ হিসেবে সেট থিওরি নির্দেশাবলীতে ভেন রেখাচিত্র ও অয়লার রেখাচিত্র দুটোই ব্যবহৃত হত। তখন থেকেই, ব্যবসা-সহ বিভিন্ন প্রতিষ্ঠানেই এগুলো ব্যবহৃত হয়।

সংক্ষিপ্ত বিবরণ

An Euler diagram to illustrate the inclusivity and exclusivity of various political and geographical divisions within the British Isles

একটি দ্বিমাত্রিক তলে বিভিন্ন সেট নির্দেশকারী কিছু বদ্ধ আকৃতি নিয়ে অয়লার রেখাচিত্র গঠিত। এই আকৃতিগুলো যদি অধিক্রমণ করে তাহলে কীভাবে করে তা ঐ সেট গুলোর পারস্পরিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। যেকোন দুইটি সেটের মাঝে মাত্র তিন ধরনের সম্পর্ক বিদ্যমান; পূর্ণ অন্তর্ভুক্তি, আংশিক অন্তর্ভুক্তি এবং স্বতন্ত্র। বিশেষত গণিতে এভাবে বলা হয়- ধারণ, অধিক্রমণ অথবা কোনটাই না। একে এভাবেও বলা যায়, উপসেট, প্রতিচ্ছেদ এবং ডিসজয়েন্ট।

প্রত্যেকটি অয়লার রেখা তলকে দুইভাগে ভাগ করে ফেলেঃ ভেতরের অংশ যা দিয়ে ঐ সেটের উপাদানসমূহ নির্দেশ করা হয় এবং বাইরের অংশ যা দিয়ে ঐ সেটের ভেতরে নাই এমন সব উপাদান নির্দেশ করা হয়। যেসব রেখার ভেতরের অংশ ছেদ করে না, তাদেরকে ডিসজয়েন্ট সেট বলা হয়। যেসব রেখার ভেতরের অংশ ছেদ করে, নির্দেশ করে যে তাদের সাধারণ উপাদান আছে; দুইটি রেখার ভেতরের অংশ নির্দেশ করে সেসব উপাদানকে যারা এই দুইটি সেটেরই সাধারণ উপাদান। যদি কোন রেখা সম্পূর্ণরূপে অন্যরেখার ভেতরের অংশের ভেতরে থাকে তবে প্রথম সেটটি দ্বিতীয় সেটের উপসেট।

Examples of small Venn diagrams (on left) with shaded regions representing empty sets, showing how they can be easily transformed into equivalent Euler diagrams (right)

ভেন রেখাচিত্র অয়লার রেখাচিত্রের একটি সীমাবদ্ধ রূপ। ভেন রেখচিত্রে n টি রেখার 2ⁿ টি সম্ভাব্য অঞ্চল নিয়ে যা নির্দেশ করে ঐ সেট গুলোর সকল প্রকারের ইনক্লুশন এক্সক্লুশন। সেটের অংশ নয় এমন অঞ্চলকে কালো রং করা হয় যেখানে, অয়লার রেখাচিত্রে একটি সেটের মেম্বারশিপ অধিক্রমণ দিয়েও দেখানো হয় আবার রং দিয়েও। সেটের সংখ্যা তিন এর চেয়ে বেশি হলে ভেন রেখাচিত্র দেখতে অয়লার রেখাচিত্রের চেয়ে তুলনামূলক জটিল হয়ে যায়। অয়লার ও ভেন রেখাচিত্রের পার্থক্য পরবর্তী উদাহরণে দেখা যেতে পারে। তিনটি সেট ধরি,

• $A=\{1,\,2,\,5\}$
• $B=\{1,\,6\}$
• $C=\{4,\,7\}$

এই সেটগুলোর অয়লার ও ভেন রেখাচিত্র এরূপঃ

• 
  অয়লার রেখাচিত্র
• 
  ভেন রেখাচিত্র

যৌক্তিকভাবে, ইউনিভার্স অফ ডিসকোর্স এর ভেতরে, শব্দার্থবিদ্যা দিয়ে অয়লার রেখাচিত্রের ব্যাখ্যা দেয়া যেতে পারে। নিচের উদাহরণে, প্রাণী এবং খনিজ ডিসজয়েন্ট কারণ তাদের রেখাগুলোও ডিসজয়েন্ট। আবার চার পা, প্রাণী সেটের একটি উপসেট। প্রাণী, খনিজ ও চার পা তিনটি সেটের ভেন রেখাচিত্র অবশ্য এসব সম্পর্ক পরিবেষ্টন করে না। পরম্পরা অনুযায়ী, ভেন রেখাচিত্রে একটি সেটের শূন্যতা দেখানে হয় ঐ অঞ্চল অন্ধকার করে। অয়লার রেখাচিত্র শূন্যতা নির্দেশ করে অন্ধকার করে অথবা ঐ অঞ্চলকে মুছে দিয়ে।

সাধারণত কিছু সুগঠিত শর্ত প্রয়োগ করা হয়; এগুলো হল রেখাচিত্রের উপর টপোলজিকাল অথবা জ্যামিতিক বাধ্যবাধকতা। উদাহরণস্বরূপ, অঞ্চলগুলো সংযুক্ত হতে হবে এমন শর্ত আরোপিত হতে পারে, অথবা একই রেখা বা বিন্দুর সহগামীতা বা স্পর্শকাতর ছেদ বাধা দেয়া হতে পারে। পাশের রেখাচিত্রে, ছোট ছোট ভেনচিত্রকে অয়লার রেখাচিত্রে রূপান্তর দেখানো হয়েছে; মাঝের কিছু রেখাচিত্রে রেখার সহগামীতা ছিল। যাহোক, ভেন রেখাচিত্রের এরূপ রূপান্তর সর্বদা সম্ভবপর নয়। ৯টি সেট বিশিষ্ট অয়লার রেখাচিত্রের উদাহরণ রয়েছে যা অনাবশ্যক এলাকা তৈরী হতে না দিয়ে সরল বদ্ধরেখা দিয়ে আঁকা সম্ভব না কারণ সেক্ষেত্রে নন-প্লেনার ডুয়াল গ্রাফ থাকতে হবে।