০.৯৯৯...

০.৯৯৯... একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে। একে অন্যভাবেও লিখা যায়:$0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}$ অথবা$\ 0.(9)$। নির্দিষ্টভাবে এই সংখ্যাটিকে ১-এর সমান ধরা হয়। অর্থাৎ ০.৯৯৯... সংখ্যাটি সংখ্যাগত দিক থেকে ১-কেই নির্দেশ করে। এই বিষয়কে কেন্দ্র করে গণিতের বিভিন্ন শাখায় অনেকগুলো প্রামাণিক উপপাদ্যের সৃষ্টি হয়েছে।

প্রমাণ

বীজগাণিতিক

ধরা যাক x= 0.999..... তাহলে, 10x = 9.999.....

অতএব, (10x - x)= (9.999.... - 0.999....) বা, 9x = 9 অতঃপর নিশ্চিতভাবেই x = 1.

অর্থাৎ, 0.999... মানে প্রায় 1 নয়! একেবারে কাটায় কাটায় 1.

ভগ্নাংশ এবং দীর্ঘ বিভাজন

অসীম দশমিক যে সসীম দশমিকেরই একটিপরিবর্ধিত রূপ তার কারণ হল ভগ্নাংশে প্রকাশ। দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে ১⁄৩ এর মতো অতি সরল পূর্ণ সাংখ্যিক বিভজনকেও পুনরাবৃত্তিক ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়, যাতে অঙ্কগুলো অসীম পর্যন্ত পুনরাবৃত্ত হয়। এই দশমিক ০.৯৯৯%=১ এর একটি দ্রুততর প্রমাণ প্রদান করে। ৩ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি অঙ্ক ৯ হয়, তাই ৩ x ০.৩৩৩% সমান ০.৯৯৯%। আবার ৩ × ১⁄৩ সমান ১, তাই ০.৯৯৯… = ১। এ প্রমাণের আরেকটি রূপে ভগ্নাংশ ১⁄৯ = ০.১১১… কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়।

${\begin{aligned}0.333\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0.111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}$

বহিঃসংযোগ

• .999999... = 1? from cut-the-knot
• Why does 0.9999… = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals