শূন্যের সমমূল্যতা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

শূন্য সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা। কোন পূর্ণসংখ্যা জোড় হওয়া বলতে কী বোঝায়, তা ব্যাখ্যা করার বেশ কিছু উপায় আছে এবং শূন্য সংখ্যাটি এরকম সমস্ত সংজ্ঞাই সিদ্ধ করে: শুন্য ২ এর গুণিতক, ২ দিয়ে বিভাজ্য এবং নিজের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যার যোগফলের সমান। এই সংজ্ঞাগুলি কেবল শূন্যের জন্যই ব্যতিক্রমীভাবে প্রযোজ্য নয়, বরং এগুলি জোড় সংখ্যার যোগফল ও গুণফলের সাধারণ নিয়ম দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়।

জোড় সংখ্যাগুলির মধ্যে শূন্য কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। শূন্য জোড় পূর্ণসংখ্যার পরিচয়সূচক উপাদান, এবং এটি পর্যায়ক্রমে আসা সকল উপাদানের ভিত্তি কেস। শূন্যের জোড় হবার প্রবণতার সরাসরি প্রয়োগের প্রমাণ আছে এবং এর কাঠামো জোড় সংখ্যার অনুরুপ। সাধারণভাবে, ০ সকল পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, যার মধ্যে দুই এর সকল ঘাত আছে। ফলে, শূন্য সকল সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বেশি জোড়।

শুন্য ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা নিয়ে দ্বন্দ্ব থাকলেও একে "অঋণাত্মক (non negative)" ধরা হয়।

প্রমাণ[সম্পাদনা]

একটি সংখ্যাকে জোড় বলা হয় যদি তা ২ এর গুণিতক হয়। শূন্য দুই এর একটি গুণিতক, অর্থাৎ ০ × ২, সুতরাং শূণ্য জোড়।[১]

শিক্ষাক্ষেত্রে[সম্পাদনা]

দ্বিতীয় গ্রেডের ১৫ ছাত্রের উপর চালানো এক সমীক্ষায় দেখা গেছে: শূণ্য জোড় হবার ক্ষেত্রে ভিন্নমত খুব সামান্য। প্রথম যুক্তি হল সংখ্যাগুলো একটি ছন্দ মেনে চলে ... বিজোড়, জোড়, বিজোড়, জোড়, বিজোড়... এখন যেহেতু দুই একটি জোড় সংখ্যা এবং এর আগে এক বিজোড়, তাহলে যে কোন ঋনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার আগে প্রথম কোন পূর্ণসংখ্যা হল শূণ্য। তাই শূণ্যকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। দ্বিতীয় যুক্তি হল, যদি কোন ব্যক্তির শূণ্যটি বস্তু থাকে এবং সে সেটিকে দুই ভাগ করে তবে প্রত্যেক ভাগ শূণ্য পড়বে, যা সমান।[২]

২২ জন তৃতীয় গ্রেডের ছাত্রের আরেক সমীক্ষায় একজন শিক্ষক তার ছাত্রদের সাথে“একটি বৃহৎ এবং সংশয়পূর্ণ আলোচনা” করেন।[৩] একজন ছাত্রী মন্তব্য করেন অন্যান্য ধারণাগুলো জানতে পেরে তার বোধগম্যতা বেড়েছে।

আরেক ছাত্র কম নিশ্চিত হলেও বলেন: আমি ভেবেছিলাম শূণ্য একটি জোড় সংখ্যা, কিন্তু আলোচনার পর থেকে আমি দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে পড়েছি, কেননা আমি এমন ধারণা পেরেছি যার সাথে আমি একমত কিন্তু এখন জানি না যে কোন ধারণার সাথে একমত হব।

একটি ভিন্ন সংজ্ঞা কেন নয়?[সম্পাদনা]

গাণিতিকভাবে "জোড় সংখ্যা" শব্দের অর্থ "পূর্ণসংখ্যা যা ২ এর গুণিতক" হল একটি কনভেনশন। "জোড়" শব্দটিকে সাধারণভাবে "দুই এর অশূণ্য গুণিতক" বলে ধরা যায়। শেষোক্ত সংজ্ঞানুসারে শূণ্য জোড় সংখ্যা হবে না। প্রথম সংগ্ঞাকে দ্বিতীয়টির আগে প্রাধান্য দেবার কারণ যুক্তিহীন নয়, এটি জোড় ও বিজোড় সংখ্যা নির্বাহে বীজগাণিতিক নিয়ম অধীনে গৃহীত হয়।[৪]

সব থেকে সংগতিপূর্ণ নিয়ম যোগ, বিয়োগগুণ অন্তর্ভূক্ত:

  • জোড় ± জোড় = জোড়
  • বিজোড় ± বিজোড় =জোড়
  • জোড় × পূর্ণ সংখ্য = জোড়

এই নিয়মাবলীর বামপক্ষে উপযুক্ত মান বসিয়ে ডান পক্ষে শূণ্য আনা যায়:

  • ৪ + (−৪) = ০
  • ৩ − ৩ = ০
  • ৬ × ০ = ০

উপরোক্ত নিয়মগুলো ভূল প্রমাণিত হবে যদি শূণ্য জোড় না হয়, অন্তত তাদেরকে কিছুটা হলেও পরিবর্তিত করতে হবে। উদাহরণস্বরুপ, থমসন প্রকাশিত একটি বই অনুযায়ী, জোড় হল সেইসকল যা দুই এর গুণিতক, কিন্তু শূণ্য “জোড়ও নয়, বিজোড়ও নয়”। এই বইয়ের বর্ণণা কিছুটা ব্যতিক্রমধর্মী:

  • জোড় ± জোড় = জোড় (বা শূণ্য)
  • বিজোড় ± বিজোড় = জোড় (বা শূণ্য)
  • জোড় × অশূণ্য পূর্ণসংখ্যা = জোড়[৫]

জোড় সংখ্যার সংগ্ঞার এমন পরিবর্তন এর নীতিকে পরিবর্তিত করে। ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার নিয়ম গ্রহণ করে এবং এদের সাধারণ ধরে নিয়ে শূণ্যর জোড় হবার সাধারণ সংজ্ঞা গৃহীত হয়।[৪]

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. Penner, Robert C. (1999)। "Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd"। Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures। River Edje: World Scientific। পৃ: p. 34। আইএসবিএন ISBN 981-02-4088-0 
  2. Keith, Annie (2006)। "Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers"Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2। IAP। পৃ: 35–68। ISBN 1-59311-495-8। সংগৃহীত 2007-08-27 
  3. Ball, Deborah Loewenberg (March 1993)। "With an Eye on the Mathematical Horizon: Dilemmas of Teaching Elementary School Mathematics"The Elementary School Journal 93 (4): 373–397।  |month= প্যারামিটার অজানা, উপেক্ষা করুন (সাহায্য) Quotation on p.392; emphasis is the author's.
  4. ৪.০ ৪.১ Partee, Barbara Hall (1978)। Fundamentals of Mathematics for Linguistics। Dordrecht: D. Reidel। পৃ: p. xxi। আইএসবিএন 90-277-0809-6 
  5. Stewart, Mark Alan (2001)। 30 Days to the GMAT CAT। Stamford: Thomson। পৃ: p. 54। আইএসবিএন 0-7689-0635-0  These rules are given, but they are not quoted verbatim.