শূন্যের সমমূল্যতা

শূন্য একটি জোড় সংখ্যা। কোন পূর্ণসংখ্যা জোড় হওয়া বলতে কী বোঝায়, তা ব্যাখ্যা করার বেশ কিছু উপায় আছে এবং শূন্য সংখ্যাটি এরকম সমস্ত সংজ্ঞাই সিদ্ধ করে: শুন্য ২ এর গুণিতক, ২ দিয়ে বিভাজ্য এবং নিজের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যার যোগফলের সমান। এই সংজ্ঞাগুলি কেবল শূন্যের জন্যই ব্যতিক্রমীভাবে প্রযোজ্য নয়, বরং এগুলি জোড় সংখ্যার যোগফল ও গুণফলের সাধারণ নিয়ম দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়।

জোড় সংখ্যাগুলির মধ্যে শূন্য কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। শূন্য জোড় পূর্ণসংখ্যার পরিচয়সূচক উপাদান, এবং এটি পর্যায়ক্রমে আসা সকল উপাদানের ভিত্তি কেস। শূন্যের জোড় হবার প্রবণতার সরাসরি প্রয়োগের প্রমাণ আছে এবং এর কাঠামো জোড় সংখ্যার অনুরুপ। সাধারণভাবে, ০ সকল পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, যার মধ্যে দুই এর সকল ঘাত আছে। ফলে শূন্য সকল সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বেশি জোড়।

শুন্য ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা নিয়ে দ্বন্দ্ব থাকলেও একে অঋণাত্মক (non negative) ধরা হয়।

শূন্য কেন জোড়

"জোড় সংখ্যা" এর স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞাটি সরাসরি শূন্য প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। কোন সংখ্যাকে জোড় বলা হয় যদি তা পূর্ণসংখ্যা ২ এর গুণিতক হয়। শূন্য দুই এর একটি গুণিতক, অর্থাৎ ০ × ২, সুতরাং শূণ্য জোড়। উদাহরণসরূপ, ১০ জোড় হবার কারণ এটা ৫ × ২ এর সমান। ^[১]

মৌলিক ব্যাখ্যা

On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red — বাম পাশে বক্সটিতে 0 বস্তুর সাথে কোনও লাল বস্তু নেই।^[২]

শিক্ষাক্ষেত্রে

দ্বিতীয় গ্রেডের ১৫ ছাত্রের উপর চালানো এক সমীক্ষায় দেখা গেছে: শূণ্য জোড় হবার ক্ষেত্রে ভিন্নমত খুব সামান্য। প্রথম যুক্তি হল সংখ্যাগুলো একটি ছন্দ মেনে চলে ... বিজোড়, জোড়, বিজোড়, জোড়, বিজোড়... এখন যেহেতু দুই একটি জোড় সংখ্যা এবং এর আগে এক বিজোড়, তাহলে যে কোন ঋনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার আগে প্রথম কোন পূর্ণসংখ্যা হল শূণ্য। তাই শূণ্যকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। দ্বিতীয় যুক্তি হল, যদি কোন ব্যক্তির শূণ্যটি বস্তু থাকে এবং সে সেটিকে দুই ভাগ করে তবে প্রত্যেক ভাগ শুন্য পড়বে, যা সমান।^[৩]

২২ জন তৃতীয় গ্রেডের ছাত্রের আরেক সমীক্ষায় একজন শিক্ষক তার ছাত্রদের সাথে“একটি বৃহৎ এবং সংশয়পূর্ণ আলোচনা” করেন।^[৪] একজন ছাত্রী মন্তব্য করেন অন্যান্য ধারণাগুলো জানতে পেরে তার বোধগম্যতা বেড়েছে।

আরেক ছাত্র কম নিশ্চিত হলেও বলেন: আমি ভেবেছিলাম শুন্য একটি জোড় সংখ্যা, কিন্তু আলোচনার পর থেকে আমি দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে পড়েছি, কেননা আমি এমন ধারণা পেরেছি যার সাথে আমি একমত কিন্তু এখন জানি না যে কোন ধারণার সাথে একমত হব।

একটি ভিন্ন সংজ্ঞা কেন নয়?

গাণিতিকভাবে "জোড় সংখ্যা" শব্দের অর্থ "পূর্ণসংখ্যা যা ২ এর গুণিতক" হল একটি কনভেনশন। "জোড়" শব্দটিকে সাধারণভাবে "দুই এর অশূণ্য গুণিতক" বলে ধরা যায়। শেষোক্ত সংজ্ঞানুসারে শূণ্য জোড় সংখ্যা হবে না। প্রথম সংজ্ঞাকে দ্বিতীয়টির আগে প্রাধান্য দেবার কারণ যুক্তিহীন নয়, এটি জোড় ও বিজোড় সংখ্যা নির্বাহে বীজগাণিতিক নিয়ম অধীনে গৃহীত হয়।^[৫]

সব থেকে সংগতিপূর্ণ নিয়ম যোগ, বিয়োগ ও গুণ অন্তর্ভুক্ত:

জোড় ± জোড় = জোড়
বিজোড় ± বিজোড় =জোড়
জোড় × পূর্ণ সংখ্য = জোড়

এই নিয়মাবলীর বামপক্ষে উপযুক্ত মান বসিয়ে ডান পক্ষে শূণ্য আনা যায়:

৪ + (−৪) = ০
৩ − ৩ = ০
৬ × ০ = ০

উপর্যুক্ত নিয়মগুলো ভুল প্রমাণিত হবে যদি শূণ্য জোড় না হয়, অন্তত তাদেরকে কিছুটা হলেও পরিবর্তিত করতে হবে। উদাহরণস্বরুপ, থমসন প্রকাশিত একটি বই অনুযায়ী, জোড় হল সেইসকল যা দুই এর গুণিতক, কিন্তু শূণ্য “জোড়ও নয়, বিজোড়ও নয়”। এই বইয়ের বর্ণণা কিছুটা ব্যতিক্রমধর্মী:

জোড় ± জোড় = জোড় (বা শূণ্য) ।
বিজোড় ± বিজোড় = জোড় (বা শূণ্য)
জোড় × অশূণ্য পূর্ণসংখ্যা = জোড়^[৬]

জোড় সংখ্যার সংজ্ঞার এমন পরিবর্তন এর নীতিকে পরিবর্তিত করে। ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার নিয়ম গ্রহণ করে এবং এদের সাধারণ ধরে নিয়ে শূণ্যর জোড় হবার সাধারণ সংজ্ঞা গৃহীত হয়।^[৫]

তথ্যসূত্র

↑ Penner, Robert C. (১৯৯৯)। "Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd"। Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures। River Edje: World Scientific। পৃ. p. ৩৪। আইএসবিএন [[Special:BookSources/আইএসবিএন 981-02-4088-0|&#৯১;&#৯১;আইএসবিএন (শনাক্তকারী)&#১২৪;আইএসবিএন&#৯৩;&#৯৩;&#৩৮;nbsp&#৫৯;&#৯১;&#৯১;বিশেষ:বইয়ের_উৎস/৯৮১-০২-৪০৮৮-০&#১২৪;৯৮১-০২-৪০৮৮-০&#৯৩;&#৯৩;]]। {{বই উদ্ধৃতি}}: |আইএসবিন= মান: অবৈধ অক্ষর পরীক্ষা করুন (সাহায্য); |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)
↑ Compare Lichtenberg (1972, p. 535) Fig. 1
↑ Keith, Annie (২০০৬)। "Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers" (পিডিএফ)। Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2। IAP। পৃ. ৩৫–৬৮। আইএসবিএন ১-৫৯৩১১-৪৯৫-৮। সংগ্রহের তারিখ ২৭ আগস্ট ২০০৭। {{সম্মেলন উদ্ধৃতি}}: অজানা প্যারামিটার |booktitle= উপেক্ষা করা হয়েছে (|book-title= প্রস্তাবিত) (সাহায্য)^{[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ]}
↑ Ball, Deborah Loewenberg (১৯৯৩)। "With an Eye on the Mathematical Horizon: Dilemmas of Teaching Elementary School Mathematics"। The Elementary School Journal। ৯৩ (4): ৩৭৩–৩৯৭। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: অজানা প্যারামিটার |month= উপেক্ষা করা হয়েছে (সাহায্য) Quotation on p.392; emphasis is the author's.
1 2 Partee, Barbara Hall (১৯৭৮)। Fundamentals of Mathematics for Linguistics। Dordrecht: D. Reidel। পৃ. p. xxi। আইএসবিএন ৯০-২৭৭-০৮০৯-৬। {{বই উদ্ধৃতি}}: |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)
↑ Stewart, Mark Alan (২০০১)। 30 Days to the GMAT CAT। Stamford: Thomson। পৃ. p. ৫৪। আইএসবিএন ০-৭৬৮৯-০৬৩৫-০। {{বই উদ্ধৃতি}}: |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য) These rules are given, but they are not quoted verbatim.

[1] Penner, Robert C. (১৯৯৯)। "Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd"। Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures। River Edje: World Scientific। পৃ. p. ৩৪। আইএসবিএন [[Special:BookSources/আইএসবিএন 981-02-4088-0|&#৯১;&#৯১;আইএসবিএন (শনাক্তকারী)&#১২৪;আইএসবিএন&#৯৩;&#৯৩;&#৩৮;nbsp&#৫৯;&#৯১;&#৯১;বিশেষ:বইয়ের_উৎস/৯৮১-০২-৪০৮৮-০&#১২৪;৯৮১-০২-৪০৮৮-০&#৯৩;&#৯৩;]]। {{বই উদ্ধৃতি}}: |আইএসবিন= মান: অবৈধ অক্ষর পরীক্ষা করুন (সাহায্য); |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)

[2] Compare Lichtenberg (1972, p. 535) Fig. 1

[3] Keith, Annie (২০০৬)। "Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers" (পিডিএফ)। Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2। IAP। পৃ. ৩৫–৬৮। আইএসবিএন ১-৫৯৩১১-৪৯৫-৮। সংগ্রহের তারিখ ২৭ আগস্ট ২০০৭। {{সম্মেলন উদ্ধৃতি}}: অজানা প্যারামিটার |booktitle= উপেক্ষা করা হয়েছে (|book-title= প্রস্তাবিত) (সাহায্য)^{[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ]}

[4] Ball, Deborah Loewenberg (১৯৯৩)। "With an Eye on the Mathematical Horizon: Dilemmas of Teaching Elementary School Mathematics"। The Elementary School Journal। ৯৩ (4): ৩৭৩–৩৯৭। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: অজানা প্যারামিটার |month= উপেক্ষা করা হয়েছে (সাহায্য) Quotation on p.392; emphasis is the author's.

[Partee-5] 1 2 Partee, Barbara Hall (১৯৭৮)। Fundamentals of Mathematics for Linguistics। Dordrecht: D. Reidel। পৃ. p. xxi। আইএসবিএন ৯০-২৭৭-০৮০৯-৬। {{বই উদ্ধৃতি}}: |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)

[6] Stewart, Mark Alan (২০০১)। 30 Days to the GMAT CAT। Stamford: Thomson। পৃ. p. ৫৪। আইএসবিএন ০-৭৬৮৯-০৬৩৫-০। {{বই উদ্ধৃতি}}: |পাতাসমূহ=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য) These rules are given, but they are not quoted verbatim.

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]