লম্ব-ভর বৃত্ত

এই বিষয়শ্রেণীর জন্য মূল নিবন্ধটি হলো লম্ব-ভর বৃত্ত।

চিত্রে একটি ত্রিভুজ দেওয়া হল যার বাহুগুলো কালো কালিতে আঁকা হয়েছে। সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজটির অভ্যন্তরে নীল বিন্দুটি এর লম্বকেন্দ্র, লাল বিন্দুটি এর ভরকেন্দ্র এবং হলুদ বৃত্তটি লম্ব-ভর চাকতি।

কোন বিষম বাহু ত্রিভুজের লম্ব-ভর বৃত্ত হল এমনই একটি বৃত্ত যেখানে ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র দুটি উক্ত বৃত্তের কোন একটি ব্যাসের দু'প্রান্তে অবস্থান করে। এছাড়াও ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রও উক্ত বৃত্তের বাইরে ঐ একই ব্যাসের বর্ধিতাংশের উপর থাকবে। অধিকন্তু ত্রিভুজটির নয়-বিন্দুর কেন্দ্র ঐ ব্যাসের উপর অবস্থান করে। লম্ব-ভর বৃত্তটির ব্যাস অয়লার রেখার একটি উপসেট।

অস্ট্রেলিয়ার গণিতবিদ অ্যান্ড্রু গুইন্যান্ড (১৯১২-৮৭) ১৯৮৪ সালে দেখান যে, ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র অবশ্যই লম্ব-ভর বৃত্তের অভ্যন্তরে বিদ্যমান তবে এটি কখনোই নব-বিন্দুর কেন্দ্রের সাথে মিলিত হবে না।

অধিকন্তু ফার্মাট বিন্দু, গর্গন বিন্দু এবং সীমেডিয়ান বিন্দু খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে যেখানে এটি তার নিজস্ব কেন্দ্রকে ভেদ করে। অপরদিকে মিটনপাঙক্ট কেন্দ্রটি অন্য কোন খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করে এবং একইভাবে দ্বিতীয় ফার্মাট বিন্দু লম্ব-ভর বৃত্তটির বাইরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে। উল্লেখ্য যে, ত্রিভুজটির বাহুগুলো পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও সীমেডিয়ান বিন্দুর উপর নির্ভর করে।

এছাড়াও যেকোন বা যেকোন সংখ্যক ব্রোকার্ড বিন্দুর সম্ভাব্য অবস্থাসমূহের সেট খোলা লম্ব-ভর চাকতিটিকে নির্দেশ করে। সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজটি পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও ব্রোকার্ড বিন্দুসমূহের অবস্থানের দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং এ ক্ষেত্রে কখনো কখনো একটি মাত্র ব্রোকার্ড বিন্দুই যথেষ্ট।

লম্ব-ভর বৃত্তের ব্যাসের বর্গ হল: $D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$ যেখানে a, b, এবং c হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য এবং D হল পরিবৃত্তের ব্যাস।

বিশেষ দ্রষ্টব্য

কোন ত্রিভুজের Orthocentroidal circle ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্রের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্ক যুক্ত। তাই Orthocentroidal circle এর বাংলা হিসেবে লম্ব-ভর বৃত্ত শব্দগুচ্ছ চয়ন করা হল।