ভিত্তি (সূচকীকরণ)

সংখ্যার সূচকীকরণে bⁿ আকারের রাশিমালায় b সংখ্যাটিই ভিত্তি। আবার কোনো সংখ্যাকে সূচকীয় সংকেতের মাধ্যমে লেখা হলে সূচকীয় সংকেতের যে অংশটি আবর্তিত হয় অর্থাৎ যে অংশটি আবর্তিত উৎপাদকের কাজ করে সেটিই ভিত্তি। যেমন: bⁿ = (b × b × b . . . . n-সংখ্যক বার) এর ক্ষেত্রে b সংখ্যাটি একটি আবর্তিত উৎপাদক, যার n-সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটেছে। তাই এখানে b হলো ভিত্তি। শূন্য ব্যতিত যেকোনো সংখ্যাকে (ভিত্তিকে) শূন্য ঘাতে উত্তীর্ণ করলে মান 1 বের হবে অর্থাৎ b⁰ = 1 এবং শূন্যকে শূন্য ঘাতে উত্তীর্ণ করা অর্থাৎ 0⁰ অনর্থক। কম্পিউটার বিজ্ঞানের প্রায়োগিক ক্ষেত্রে ভিত্তি হিসেবে দুইয়ের (2) ব্যবহার সুবিধাজনক।

আনুষঙ্গিক কিছু পদ

bⁿ আকারের রাশিমালায় b-কে বলা হয় ভিত্তি এবং n-কে বলা সূচক। bⁿ-কে পড়া হয়, "b-এর n-তম ঘাত বা শক্তি", দ্যা nth পাওয়ার অব b", "b টু দ্যা nth" "b টু দ্যা nth পাওয়ার" অথবা "b টু দ্যা পাওয়ার n"। উদাহরণস্বরূপ, 10-এর চতুর্থ ঘাত হলো 10,000 কারণ 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000। 

সংখ্যাপদ্ধতিতে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাব্যবস্থার জন্য নিধান বা ভিত্তি নামে যে পদটি ব্যবহার করা হয় তা ঐ সংখ্যাব্যবস্থায় ব্যবহৃত অঙ্কের সংখ্যা নির্দেশ করে। যেমন: দশমিক পদ্ধতির সংখ্যাব্যবস্থায় ভিত্তি হলো ১০, দ্বিমিকে যা ২ এবং অষ্টকে যা ৮। যখন থেকে চলক এবং ধ্রুবকের ধারণাসমূহ পরস্পর থেকে স্বতন্ত্র হয়ে ওঠা শুরু করে, তখন থেকে সূচকীকরণের প্রক্রিয়াটি বীজগণিতীয় ফাংশনের ধারণাকে অতিক্রম করে নতুন রূপ লাভ করে।

লেওনার্ড অয়লার ১৭৪৮ সালে তার ইন্ত্রোডুকতিও ইন অ্যানালিসিন ইনফিনিতোরুম-এ একটি উদাহরণে "base a = 10" এর উল্লেখ করেছেন। তিনি F(z) = a^z ফাংশনের বিস্তৃত এক পরিসরে a-কে একটি "ধ্রুবক সংখ্যা"রূপে গণ্য করেছেন, যেখানে প্রথমত z একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তারপর এটি একটি ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ বা মূলদ সংখ্যা।

মূল

যখন b-এর n-তম ঘাত কোনো সংখ্যা a-এর সমান হয়, অর্থাৎ a = bⁿ হয়, তখন b-কে a-এর একটি "n-তম মূল" বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 10 হলো 10,000 এর চতুর্থ মূলগুলোর একটি।

লগারিদম

মূল নিবন্ধ: লগারিদম

ভিত্তি b-এর সূচকীকরণের ক্ষেত্রে এর বিপরীত ফাংশনকে সুসংজ্ঞায়িতভাবে বলা হয় "ভিত্তি b-এর উপর লগারিদম" (b-এর লগারিদম নয় কিন্তু) এবং একে log_b লেখা হয়। সুতরাং ভিত্তি b-এর বিপরীত ফাংশন:

log_b a = n

উদাহরণস্বরূপ, log₁₀ 10,000 = 4

$e$ ভিত্তিযুক্ত সূচকীয় ফাংশন

যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে একটি সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা গেলেও কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যাকে এক্ষেত্রে ভিত্তি হিসেবে প্রয়োগ করা সুবিধাজনক। যেমন: চক্রবৃদ্ধি সুদ এবং জনসংখ্যার বৃদ্ধি গণনায় $e$ সংখ্যাটি হচ্ছে সম্ভাব্য সর্বোত্তম ভিত্তি, যেখানে $e$ হচ্ছে একটি অমূলদ সংখ্যা যার মান প্রায় $e$ ≈ 2.7182818।

$e$ ভিত্তিযুক্ত নিম্নোক্ত ফাংশনটিকে বলা হয় স্বাভাবিক সূচকীয় ফাংশন:

$f(x)=\exp(x)$ বা $e^{x}$

2 < $e$ < 3 হওয়ায় স্বাভাবিক সূচকীয় ফাংশনের লেখচিত্রটি $y=2^{x}$ এবং $y=3^{x}$ এদের লেখচিত্র দুটির মধ্যে অবস্থান করে।

ধারাবাহিক চক্রবৃদ্ধি সুদ

ধারাবাহিক চক্রবৃদ্ধি সুদকে নিচের সূত্রটি দিয়ে গণনা করা যায়:

A($t$) = P$e^{r}t$

যেখানে

• A($t$) = t বছরান্তে সুদ-আসল
• P = আসল
• $r$ = সুদের হার
• $t$ = বছরের সংখ্যা

জনসংখ্যা বৃদ্ধির সূচকীয় মডেল

জনসংখ্যার বৃদ্ধি $e$ ভিত্তিযুক্ত সূচকীয় ফাংশনের ভিন্ন আরেকটি প্রয়োগ। কোনো অঞ্চলের জনসংখ্যার বৃদ্ধি এই সূচকীয় মডেলটি অনুসরণ করে:

N($t$) = n$e^{r}t$

যেখানে

• N($t$) = t সময়ান্তে জনসংখ্যা
• n = সময় গণনার পূর্বে জনসংখ্যা
• $r$ = জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার
• $t$ = সময়

লক্ষ্যণীয় যে, জনসংখ্যার বৃদ্ধির সূত্রটি ধারাবাহিক চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্রের অনুরূপ। প্রকৃতপক্ষে, উভয় ক্ষেত্রেই একই মূলনীতি কাজ করছে: প্রতি সময়-ব্যবধানে জনসংখ্যার (কিংবা একটি বিনিয়োগের) বৃদ্ধি মূল জনসংখ্যার (অথবা বিনিয়োগের) সমানুপাতিক।