মধ্যক: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে

রৈখিক

০১:৩৩, ১১ এপ্রিল ২০১৯ তারিখে সংশোধিত সংস্করণ

মধ্যমা একটি ধারণা যা সংখ্যাতত্ত্বে সচরাচর ব্যবহৃত হয়। যদি এক প্রস্থ সংখ্যাকে মানানুক্রমিকভাবে সাজানো হয় তবে কেন্দ্রীয় সংখ্যাটিই হবে মধ্যমা যার ওপরে থাকবে বড় মানের সংখ্যাগুলো এবং নীচে থাকবে ছোট সংখ্যাগুলো। ধরা যাক একটি পাড়ায় সাতজন বালক আছে যাদের বয়স ১৫, ৬, ১৪, ৮, ১০, ১৩ এবং ৯। মানানুক্রমে বয়সের উপাত্তটি হবে ৬, ৮, ৯, ১০, ১৩, ১৪ এবং ১৫ বৎসর। এ ক্ষেত্রে মধ্যমা সংখ্যা হলো ১০।

সংজ্ঞা

পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা তত্ত্বে, মধ্যমা হলো এমন একটি সংখ্যা, যা নমুনা, গণসমষ্টি বা বিন্যাসের সব সংখ্যাগুলিকে সমান দুটিভাগে ভাগ করে - এক ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা বড় মানগুলি এবং অপর ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা ছোট মানগুলি। এই দুটিভাগে সমান সংখ্যক উপাত্ত থাকে।

গণনা

সসীম সংখ্যক উপাত্ত থেকে মধ্যমা গণনা করতে হলে, প্রথমে সংখ্যাগুলোকে ছোট থেকে বড় মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে নিয়ে তারপর ঠিক মাঝের মানটিকে মধ্যমা হিসেবে নির্বাচিত করতে হবে। জোড় সংখ্যক উপাত্তের ক্ষেত্রে কোনো মধ্যবর্তী মান পাওয়া যাবে না। সেক্ষেত্রে মধ্যমা হবে মধ্যবর্তী দুটি মানের গড়। বর্ণিত সাধারণ পদ্ধতির মাধ্যমে গণনা করলে, সসীম উপাত্তের ক্ষেত্রে মধ্যমা সর্বদাই অদ্বিতীয় একটি সংখ্যা।

উপযোগিতা

মধ্যমা গড়-এর মতই কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক। কিন্তু বিন্যাসে বঙ্কিমতা থাকলে, বা বহিষ্কমানের উপস্থিতি অনুমিত হলে বা বিন্যাসের সর্বোচ্চ মান অজানা থাকলে কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে গড় অপেক্ষা মধ্যমাকেই শ্রেয় বলে গণ্য করা হয়। সমস্যা হলো তাত্ত্বিকভাবে মধ্যমা গড়-এর মতন সুবিধাজনক নয়।gjjvfcbচসঃঠনঃটঠব

প্রকাশ

$X$ চলকের মধ্যমাকে প্রকাশ করা হয় এভাবে - ${\tilde {x}}$ বা $\mu _{1/2}(x)$ ।

বিক্ষিপ্ততার পরিমাপক

যখন মধ্যমাকে কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে ব্যবহার করা হয়, তখন বিক্ষিপ্ততার পরিমাপক হিসেবে ভেদাঙ্ক-এর পরিবর্তে বিস্তার বা আন্তঃচতুর্থক বিস্তার ব্যবহৃত হয়।

সম্ভাবনা বিন্যাসের মধ্যমা

অবিচ্ছিন্ন বা বিচ্ছিন্ন উভয় ক্ষেত্রে, একটি দৈব চলকের ক্রমযোজিত বিন্যাস অপেক্ষক যদি $F$ হয়, তবে মধ্যমা $m$ নিম্নের অসমতাকে মেনে চলে -

\operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!

বা

\int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!

অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক যদি $f$ হয়, তখন

\operatorname {P} (X\leq m)=\operatorname {P} (X\geq m)=\int _{-\infty }^{m}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.\,\!

গ্রন্থপঞ্জি

Brown, George W. ”On Small-Sample Estimation.” The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 18, No. 4 (Dec., 1947), pp. 582–585.
Lehmann, E. L. “A General Concept of Unbiasedness” The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, No. 4 (Dec., 1951), pp. 587–592.
Allan Birnbaum. 1961. “A Unified Theory of Estimation, I”, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 32, No. 1 (Mar., 1961), pp. 112–135
van der Vaart, H. R. 1961. “Some Extensions of the Idea of Bias” The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 32, No. 2 (Jun., 1961), pp. 436–447.
Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (১৯৯৪)। Parametric Statistical Theory। Walter de Gruyter। আইএসবিএন 3-11-01-3863-8। অজানা প্যারামিটার |1= উপেক্ষা করা হয়েছে (সাহায্য)

বহিঃসংযোগ

এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

@@ ১ নং লাইন: / ১ নং লাইন: @@
-'''মধ্যক''' একটি ধারণা যা সংখ্যাতত্ত্বে সচরাচর ব্যবহৃত হয়। যদি এক প্রস্থ সংখ্যাকে মানানুক্রমিকভাবে সাজানো হয় তবে কেন্দ্রীয় সংখ্যাটিই হবে মধ্যক যার ওপরে থাকবে বড় মানের সংখ্যাগুলো এবং নীচে থাকবে ছোট সংখ্যাগুলো। ধরা যাক একটি পাড়ায় সাতজন বালক আছে যাদের বয়স ১৫, ৬, ১৪, ৮, ১০, ১৩ এবং ৯। মানানুক্রমে বয়সের উপাত্তটি হবে ৬, ৮, ৯, ১০, ১৩, ১৪ এবং ১৫ বৎসর। এ ক্ষেত্রে মধ্যক সংখ্যা হলো ১০।
+'''মধ্যমা''' একটি ধারণা যা সংখ্যাতত্ত্বে সচরাচর ব্যবহৃত হয়। যদি এক প্রস্থ সংখ্যাকে মানানুক্রমিকভাবে সাজানো হয় তবে কেন্দ্রীয় সংখ্যাটিই হবে '''মধ্যমা''' যার ওপরে থাকবে বড় মানের সংখ্যাগুলো এবং নীচে থাকবে ছোট সংখ্যাগুলো। ধরা যাক একটি পাড়ায় সাতজন বালক আছে যাদের বয়স ১৫, ৬, ১৪, ৮, ১০, ১৩ এবং ৯। মানানুক্রমে বয়সের উপাত্তটি হবে ৬, ৮, ৯, ১০, ১৩, ১৪ এবং ১৫ বৎসর। এ ক্ষেত্রে '''মধ্যমা''' সংখ্যা হলো ১০।
 ==সংজ্ঞা==
-পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা তত্ত্বে, মধ্যক হলো এমন একটি সংখ্যা, যা নমুনা, গণসমষ্টি বা বিন্যাসের সব সংখ্যাগুলিকে সমান দুটিভাগে ভাগ করে - এক ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা বড় মানগুলি এবং অপর ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা ছোট মানগুলি। এই দুটিভাগে সমান সংখ্যক [[উপাত্ত]] থাকে।
+পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা তত্ত্বে, '''মধ্যমা''' হলো এমন একটি সংখ্যা, যা নমুনা, গণসমষ্টি বা বিন্যাসের সব সংখ্যাগুলিকে সমান দুটিভাগে ভাগ করে - এক ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা বড় মানগুলি এবং অপর ভাগে থাকে সেই সংখ্যা অপেক্ষা ছোট মানগুলি। এই দুটিভাগে সমান সংখ্যক [[উপাত্ত]] থাকে।
 == গণনা ==
-সসীম সংখ্যক [[উপাত্ত]] থেকে মধ্যক গণনা করতে হলে, প্রথমে সংখ্যাগুলোকে ছোট থেকে বড় মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে নিয়ে তারপর ঠিক মাঝের মানটিকে মধ্যক হিসেবে নির্বাচিত করতে হবে। জোড় সংখ্যক উপাত্তের ক্ষেত্রে কোনো মধ্যবর্তী মান পাওয়া যাবে না। সেক্ষেত্রে মধ্যক হবে মধ্যবর্তী দুটি মানের গড়। বর্ণিত সাধারণ পদ্ধতির মাধ্যমে গণনা করলে, সসীম উপাত্তের ক্ষেত্রে মধ্যক সর্বদাই অদ্বিতীয় একটি সংখ্যা।
+সসীম সংখ্যক [[উপাত্ত]] থেকে '''মধ্যমা''' গণনা করতে হলে, প্রথমে সংখ্যাগুলোকে ছোট থেকে বড় মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে নিয়ে তারপর ঠিক মাঝের মানটিকে '''মধ্যমা''' হিসেবে নির্বাচিত করতে হবে। জোড় সংখ্যক উপাত্তের ক্ষেত্রে কোনো মধ্যবর্তী মান পাওয়া যাবে না। সেক্ষেত্রে '''মধ্যমা''' হবে মধ্যবর্তী দুটি মানের গড়। বর্ণিত সাধারণ পদ্ধতির মাধ্যমে গণনা করলে, সসীম উপাত্তের ক্ষেত্রে '''মধ্যমা''' সর্বদাই অদ্বিতীয় একটি সংখ্যা।
 == উপযোগিতা ==
-মধ্যক [[গড়]]-এর মতই কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক। কিন্তু বিন্যাসে বঙ্কিমতা থাকলে, বা বহিষ্কমানের উপস্থিতি অনুমিত হলে বা বিন্যাসের সর্বোচ্চ মান অজানা থাকলে কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে [[গড়]] অপেক্ষা মধ্যককেই শ্রেয় বলে গণ্য করা হয়। সমস্যা হলো তাত্ত্বিকভাবে মধ্যক [[গড়]]-এর মতন সুবিধাজনক নয়।gjjvfcbচসঃঠনঃটঠব
+'''মধ্যমা''' [[গড়]]-এর মতই কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক। কিন্তু বিন্যাসে বঙ্কিমতা থাকলে, বা বহিষ্কমানের উপস্থিতি অনুমিত হলে বা বিন্যাসের সর্বোচ্চ মান অজানা থাকলে কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে [[গড়]] অপেক্ষা '''মধ্যমাকেই''' শ্রেয় বলে গণ্য করা হয়। সমস্যা হলো তাত্ত্বিকভাবে '''মধ্যমা''' [[গড়]]-এর মতন সুবিধাজনক নয়।gjjvfcbচসঃঠনঃটঠব
 == প্রকাশ ==
-<math>X</math> চলকের মধ্যককে প্রকাশ করা হয় এভাবে - <math>\tilde{x}</math> বা <math>\mu_{1/2}(x)</math>।
+<math>X</math> চলকের '''মধ্যমা'''কে প্রকাশ করা হয় এভাবে - <math>\tilde{x}</math> বা <math>\mu_{1/2}(x)</math>।
 == বিক্ষিপ্ততার পরিমাপক ==
-যখন মধ্যককে কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে ব্যবহার করা হয়, তখন বিক্ষিপ্ততার পরিমাপক হিসেবে [[ভেদাঙ্ক]]-এর পরিবর্তে বিস্তার বা আন্তঃচতুর্থক বিস্তার ব্যবহৃত হয়।
+যখন '''মধ্যমাকে''' কেন্দ্রীয় প্রবনতার পরিমাপক হিসেবে ব্যবহার করা হয়, তখন বিক্ষিপ্ততার পরিমাপক হিসেবে [[ভেদাঙ্ক]]-এর পরিবর্তে বিস্তার বা আন্তঃচতুর্থক বিস্তার ব্যবহৃত হয়।
+== সম্ভাবনা বিন্যাসের '''মধ্যমা''' ==
+অবিচ্ছিন্ন বা বিচ্ছিন্ন উভয় ক্ষেত্রে, একটি দৈব চলকের ক্রমযোজিত বিন্যাস অপেক্ষক যদি <math>F</math> হয়, তবে '''''মধ্যমা''''' <math>m</math> নিম্নের অসমতাকে মেনে চলে -
-== সম্ভাবনা বিন্যাসের মধ্যক ==
-অবিচ্ছিন্ন বা বিচ্ছিন্ন উভয় ক্ষেত্রে, একটি দৈব চলকের ক্রমযোজিত বিন্যাস অপেক্ষক যদি <math>F</math> হয়, তবে মধ্যক <math>m</math> নিম্নের অসমতাকে মেনে চলে -
 :<math>\operatorname{P}(X\leq m) \geq \frac{1}{2}\text{ and }\operatorname{P}(X\geq m) \geq \frac{1}{2}\,\!</math>
 বা