বিনিময়ী বীজগণিত
বিনিময়ী বীজগণিত হচ্ছে বীজগণিতের সেই শাখা যেখানে বিনিময়ী রিং ও তাদের আইডিয়াল এবং মডিউল নিয়ে আলোচনা করা হয়।
এই শাখার উপরই দাঁড়িয়ে রয়েছে বীজগাণিতিক জ্যামিতি ও বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্ব। বিনিময়ী রিংয়ের কিছু গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো বহুপদী রিং, সাধারণ পূর্ণসংখ্যার রিং ও "p"-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যামালা।
বীজগাণিতিক জ্যামিতির প্রধান অস্ত্র হচ্ছে বিনিময়ী বীজগণিত। এই শাখার নানা ধারণা, সিদ্ধান্ত প্রভৃতি বিনিময়ী বীজগণিত থেকেই আসে।
যে সমস্ত রিং বিনিময়ী হয় না, তাদের নিয়ে অবিনিময়ী বীজগণিত শাখাটিতে আলোচনা করা হয়; সেখানে রিং তত্ত্ব, রিপ্রেজেন্টেশন তত্ত্ব ও বানাচ বীজগণিত অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
সারসংক্ষেপ[সম্পাদনা]
বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্ব ও বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে সচরাচর যে ধরনের রিং দেখতে পাওয়া যায় তাদের নিয়েই বিনিময়ী বীজগণিতে আলোচনা করা হয়।
বিনিময়ী বীজগণিতের মধ্যে ডেডেকিন্ড রিং, ইন্টিগ্রাল এক্সটেনশন, ভ্যালুয়েশন রিং প্রভৃতি কিছু তত্ত্বের জন্ম হয়েছে বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্বের স্বার্থে।
একটি বিনিময়ী রিংয়ের উদাহরণ হলো যেকোনো ফিল্ডের উপর একাধিক অনির্ণয়ক বা চলের বহুপদী রিং। যেহেতু বীজগাণিতিক জ্যামিতির মৌলিক বিষয়বস্তু হলো এই সমস্ত রিংয়ের শূন্য খুঁজে বার করা, তাই বিনিময়ী বীজগণিতে এদের প্রতিরূপ বর্তমান রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ "ক্রুল ডাইমেনশন", "রিংয়ের লোকালাইজেসন, "লোকাল রিং", "রেগুলার রিং"।