ক্রেমারের নিয়ম

দুই চলববিশিষ্ট সমীকরণে ক্রেমারের নিয়মের ব্যবহার

ক্র্যামারের নিয়মের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

ক্রেমারের নিয়ম হলো দুই বা ততোধিক চলরাশি বিশিষ্ট একঘাত সহসমীকরণ সমাধানের একটি বিশেষ পদ্ধতি। এই পদ্ধতিতে নির্ণায়ক বা ডিটারমিন্যান্টকে কাজে লাগিয়ে সহসমীকরণগুলির সমাধান করা হয়। গণিতবিদ গাব্রিয়েল ক্রেমার এই পদ্ধতি আবিষ্কার করেন, তাই তার নামানুসারে এর নামকরণ করা হয়েছে। যদিও গণিতজ্ঞ ম্যাকলরিন এই পদ্ধতির একটি হালকা আভাস ইতিপূর্বেই দিয়েছিলেন।

বর্ণনা

দুই বা ততোধিক চলকবিশিষ্ট রৈখিক সহসমীকরণ সমাধানের জন্য এই পদ্ধতি কার্যকরী।

ধরি,তিনটি পৃথক চলক x , y ও z দ্বারা গঠিত নিচের সহসমীকরণ তিনটিকে সমাধান করতে হবে:

1. ${\textstyle ax+by+cz=d}$
2. ${\textstyle a'x+b'y+c'z=d'}$
3. ${\textstyle a''x+b''y+c''z=d''}$

এর জন্য প্রথমে তিনটি সমীকরণে উপস্থিত x, y ও z চলকের সহগ দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক সমাধান করতে হবে।

$\Delta =a(b'c''-b''c')-b(a'c''-a''c')+c(a'b''-a''b')$

অতঃপর x-এর সহগ দ্বারা গঠিত স্তম্ভ-টিকে d, d', d" দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাওয়া যায়,

$\Delta _{1}=d(b'c''-b''c')-b(d'c''-d''c')+c(d'b''-d''b')$

এবার একইভাবে,

$\Delta _{2}=a(d'c''-d''c')-d(a'c''-a''c')+c(a'd''-a''d')$

$\Delta _{3}=a(b'd''-b''d')-b(a'd''-a''d')+d(a'b''-a''b')$

এখন,চলরাশি তিনটির নির্ণেয় সমাধান হয়,

• $x={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }}$
• $y={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }}$
• $z={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}$

এইভাবেই ক্রেমারের নিয়মকে কাজে লাগিয়ে দুই , চার বা তার বেশি সংখ্যক চলরাশিযুক্ত সহসমীকরণের সমাধান করা সম্ভব।

সমাধান

• যদি Δ≠0 হয় তবে Δ₁,Δ₂,Δ₃-এর মধ্য থেকে এক বা একাধিক শূণ্য হলেও তিনটি চলের একটি নির্দিষ্ট বাস্তব মান পাওয়া যাবে; একে সংজ্ঞাত আকারের সমীকরণ বলা হয়ে থাকে।
• যদি Δ=Δ₁=Δ₂=Δ₃=0 হয় তবে তিনটি চলেরই অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে।
• যদি Δ=0 হয় এবং Δ₁,Δ₂,Δ₃-এর মধ্যে কমপক্ষে একটির মান অশূণ্য হয়, সেক্ষেত্রে চলগুলির কোনো সমাধান পাওয়া যাবে না।

শেষ দুটি ক্ষেত্রের সমীকরণকে অসংজ্ঞাত আকারের সমীকরণ বলা হয়।

সীমাবদ্ধতা

• এই সূত্র কেবলমাত্র নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স-এর ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
• বর্গ ম্যাট্রিক্স ছাড়া এই সূত্র প্রযোজ্য হবে না।
• এই পদ্ধতিতে কেবলমাত্র একঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়।

সমসত্ত্ব ও অসমসত্ত্ব সহসমীকরণ

যখন Δ₁=Δ₂=Δ₃=0 হবে,তখন সহসমীকরণতিনটিকে সমসত্ত্ব এবং উপরিউক্ত সম্পর্ক সিদ্ধ না হলে সহসমীকরণত্রয়কে অসমসত্ত্ব সহসমীকরণ বলা হয়।