আর্কট্যানজেন্ট ধারা

গণিতে আর্কটেনজেন্ট ধারাকে ঐতিহ্যগতভাবে গ্রেগরির ধারা বলা হয়। এটি আর্কটেনজেন্ট ফাংশনের উৎপত্তিস্থলে টেলর ধারার প্রসারণ:

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.$

এই ধারাটি জটিল ডিস্কে একত্রিত হয় $|x|\leq 1,$ ছাড়া $x=\pm i$ (কোথায় $\arctan \pm i=\infty$).

এটি সর্বপ্রথম ১৪ শতকে সঙ্গমগ্রামের ভারতীয় গণিতবিদ মাধব (আনু. ১৩৪০ – গ. ১৪২৫), কেরালা স্কুলের প্রতিষ্ঠাতা, এবং নীলকংট সোমায়াজি (আনুমানিক ১৫০০) এবং জ্যেষ্ঠদেব (সি. ১৫৩০)। মাধবের কাজ ইউরোপে অজানা ছিল। আর্কটেনজেন্ট ধারাটি ১৬৭১ সালে জেমস গ্রেগরি এবং ১৬৭৩ সালে গট‌ফ্রিড লাইব‌নিৎস দ্বারা স্বাধীনভাবে পুনঃআবিষ্কৃত হয়েছিল। সাম্প্রতিক সাহিত্যে মাধবের অগ্রাধিকারকে স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য আর্কট্যাঞ্জেন্ট ধারাকে কখনও কখনও মাধব-গ্রেগরি ধারা বলা হয় (এছাড়াও মাধব ধারা দেখুন)।

⁠$1$⁠ এর আর্কট্যাঞ্জেন্টের বিশেষ ক্ষেত্রে ⁠$1$⁠ ঐতিহ্যগতভাবে <span about="#mwt50" class="texhtml mvar" data-cx="[{&quot;adapted&quot;:true,&quot;partial&quot;:false,&quot;targetExists&quot;:true,&quot;mandatoryTargetParams&quot;:[],&quot;optionalTargetParams&quot;:[]}]" data-mw="{&quot;parts&quot;:[{&quot;template&quot;:{&quot;target&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;Mvar&quot;,&quot;href&quot;:&quot;./টেমপ্লেট:Mvar&quot;},&quot;params&quot;:{&quot;1&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;π&quot;}},&quot;i&quot;:0}}]}" data-ve-no-generated-contents="true" id="mwKw" style="font-style:italic;" typeof="mw:Transclusion">π</span> জন্য <i id="mwKg">লাইবনিজ সূত্র</i> ⁠$1$⁠ হয়, বা সম্প্রতি কখনও কখনও মাধব-লিবনিজ সূত্র বলা হয়:

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots .$

এর জন্য আর্কটেনজেন্ট ধারার অত্যন্ত ধীর অভিসারন $|x|\approx 1$ এই সূত্রটি অব্যবহারিক করে তোলে। কেরালা-স্কুলের গণিতবিদরা অভিসারী গতির জন্য অতিরিক্ত সংশোধন পদ ব্যবহার করেছেন। জন মাচিন ( ⁠${\tfrac {1}{4}}\pi$⁠ ) প্রকাশ করেছেন ⁠${\tfrac {1}{4}}\pi$⁠ ছোট মানের আর্কটেনজেন্টের ⁠${\tfrac {1}{4}}\pi$⁠ হিসাবে, অবশেষে ⁠$\pi$⁠ জন্য বিভিন্ন মেশিনের মত সূত্র তৈরি করে ⁠$\pi$⁠ আইজ্যাক নিউটন (১৬৮৪) এবং অন্যান্য গণিতবিদরা বিভিন্ন রূপান্তরের মাধ্যমে সিরিজের অভিসারকে ত্বরান্বিত করেছিলেন।