অয়লার টোশেন্ট ফাংশন

(n) এর প্রথম হাজার মান। উপরের লাইনের পয়েন্টগুলি represent (p) উপস্থাপন করে যখন p একটি মৌলিক সংখ্যা, যা p - 1. হয়।

প্রথম ১০০ টি মানের গ্রাফ

সংখ্যাতত্ত্বে অয়লার টোশেন্ট ফাংশন ϕ নির্দেশ করে একটি পূর্ণসংখ্যার পূর্বে কতটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যারা মূল সংখ্যাটির সাথে সহমৌলিক। অর্থাৎ n যদি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে ১ থেকে n পর্যন্ত, কিন্তু n এর চেয়ে বড় নয়, এমন মোট ϕ(n)-টি সংখ্যা আছে যাদের সাথে n এর কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই। যেমন, ϕ(৯)=৬, কারণ ১ থেকে ৯ এর মধ্যে ১, ২, ৪, ৫, ৭, ৮ এই সংখ্যাগুলো (মোট ছয়টি সংখ্যা) ৯ এর সাথে সহমৌলিক, কিন্তু বাকি তিনটি সংখ্যা (৩, ৬, ৯) ৯ এর সাথে সহমৌলিক নয়।

বৈশিষ্ট্য

• যদি m ও n দুটি সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) হবে।
• আরো সাধারণভাবে যখন m ও n সহমৌলিক না-ও হতে পারে, তখন $\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}}$ হবে, যেখানে d হচ্ছে m ও n এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।
• যদি a সংখ্যাটি দিয়ে b সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে ϕ(a) দিয়ে ϕ(b) নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
• p যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, আর k অন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে $\varphi \left(p^{k}\right)=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$
• সাধারণভাবে, যদি n যে কোন একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে ϕ(n) এর জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি খাঁটবেঃ

  $\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)$

যেখানে ${p_{1}}$, ${p_{2}}$, ...., ${p_{r}}$ এই r-টি ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা দিয়ে n বিভাজ্য। এই সূত্রটিকে বলে অয়লারের প্রডাক্ট ফর্মুলা।

• একটি সংখ্যা n যে যে সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য সে সংখ্যাগুলোর ϕ মান যোগ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। যেমন, ২০ এর বিভাজকগুলো হচ্ছে ১, ২, ৪, ৫, ১০ ও ২০, আর ϕ(১)=১, ϕ(২)=১, ϕ(৪)=২, ϕ(৫)=৪, ϕ(১০)=৪ ও ϕ(২০)=৮, যেগুলো যোগ করলে হয় ২০। সংখ্যাতত্ত্বের নোটেশনেঃ $\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n$ . এই বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করেন গাউস।

অয়লারের উপপাদ্য

এ উপপাদ্য অনুসারে, যদি a ও n দুটি সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে

$a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n$

অর্থাৎ, $a^{\varphi (n)}$-কে n দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে। n একটি মৌলিক সংখ্যা হলে এ উপপাদ্যের যে বিশেষ ক্ষেত্রটি পাওয়া যায় তাকে বলে ফার্মার লিটল উপপাদ্য।

কিছু অসমাধানকৃত সমস্যা

লেহমারের অনুমান

p যদি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে সহজেই দেখা যায় যে, φ(p) = p − 1. ডি.এইচ.লেহমার ১৯৩২-এ প্রশ্ন তোলেন এমন কোন যৌগিক সংখ্যা n আছে কিনা যেন ϕ(n) দিয়ে n নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এখনো এমন কোন সংখ্যা n পাওয়া যায়নি।

কার্মাইকেলের অনুমান

এ অনুমান অনুসারে এমন কোন সংখ্যা n নেই যেন অন্য সব সংখ্যা m এর জন্য φ(m) ≠ φ(n) সবসময়ই সত্যি হয়।