রিম্যানীয় বৃত্ত

যেকোন গোলক মহাবৃত্ত (লাল রেখা) দ্বারা দুটি সমদ্বিখণ্ডিত অর্ধগোলকে বিভাজিত হয়।

মেট্রিক স্থান তত্ত্বে ও রিম্যানীয় জ্যামিতিতে রিম্যানীয় বৃত্ত হল ঐ বৃত্তেরই মহাবৃত্তিক দূরত্ব সহযোগে গঠিত একটি মহাবৃত্ত। এটি সেই বৃত্ত যা তার অন্তর্জাত রিম্যানীয় দূরত্ব সহযোগে গঠিত যেখানে রিম্যানীয় দূরত্বটি সমগ্র 2π দৈর্ঘ্যের একটি নিবিড় এক-মাত্রিক বহুভাঁজজাত। অথবা এটি হচ্ছে সেই বৃত্ত যা সমতলস্থ একক বৃত্তে ইউক্লিডীয় দূরত্বের সীমায়িতকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত বহিঃস্থ দূরত্বের বিপরীতে গোলকের উপর অন্তর্জাত দূরত্বের সীমায়িতকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত বহিঃস্থ দূরত্ব সহযোগে গঠিত। গণিতের ভাষায় কোন ফাংশনকে তার মূল ডোমেইনের একটি উপসেটে সংজ্ঞায়িত ধরে নেওয়ার অর্থই সীমায়িতকরণ। এভাবে এক জোড়া বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে দুটি চাপের মধ্যে ক্ষুদ্রতর চাপটির দৈর্ঘ্যরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে ক্ষুদ্রতর চাপ বরাবর ঐ বিন্দু দুটিতে বৃত্তটি বিভক্ত হয়। জার্মান গণিতবিদ বের্নহার্ড রিম্যানের নামানুসারে রিম্যানীয় বৃত্তের নামকরণ করা হয়েছে।

ধর্মাবলী

একক বৃত্তের ইউক্লিডীয় ব্যাসের 2 এর গতানুগতিক মানের বিপরীতে রিম্যানীয় বৃত্তের ব্যাসের মান π ।

গণিতের ভাষায় অন্য কারও উপগ্রুপ এরূপ গ্রুপের মতো কিছু গাণিতিক কাঠামো নিয়ে গঠিত একটি সংঘটনের ভিন্ন আরেকটি সংঘটনে বিদ্যমান থাকার ব্যাপারটিই সংস্থাপন। অন্যভাবে সংস্থাপন হল সেই মানচিত্র যা একটি উপ-স্থানকে (ক্ষুদ্র কাঠামোকে) সম্পূর্ণ স্থানে (বৃহৎ কাঠামোতে) মানচিত্রায়ন করে। +1 ধ্রুব গসীয় বক্রতাযুক্ত কোন দ্বি-গোলকের নিরক্ষরেখা অথবা এর যেকোন মহাবৃত্ত হিসেবে রিম্যানীয় বৃত্তের অন্তর্ভুক্তিকরণের অর্থ মেট্রিক স্থানসমূহের ন্যায় একটি সমমাত্রিক সংস্থাপন। হিলবার্ট জগতে রিম্যানীয় বৃত্তের কোন সমমাত্রিক সংস্থাপন নেই।

গ্রোমভের পূরণ অনুমান

রাশিয়ান গণিতবিদ মিখাইল গ্রোমভ কর্তৃক উত্থাপিত একটি দীর্ঘমেয়াদি উন্মুক্ত সমস্যা রিম্যানীয় বৃত্তের পূরণ ক্ষেত্রের গণনা সম্পর্কিত। পূরণ ক্ষেত্রের মান 2π হবে বলে অনুমান করা হয় যেখানে 2π হচ্ছে +1 ধ্রুব গসীয় বক্রতার অর্ধগোলকের একটি লব্ধ মান।

তথ্যসূত্র

• Gromov, M.: "Filling Riemannian manifolds", Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.