জ্যামিতিতে হিরনের সূত্র (কখনো কখনো হিরোর সূত্রও বলা হয়), হিরো অব আলেকজান্দ্রিয়ার নামে[১] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র। ত্রিভুজের অন্যান্য সূত্রের মত, ত্রিভুজটির কোণ কিংবা উচ্চতার মানের প্রয়োজন নেই।
a , b এবং c বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ হিরনের সূত্র অনুসারে a, b এবং c বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো
A
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
,
{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},}
যেখানে s হলো ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা।[২]
s
=
a
+
b
+
c
2
.
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}
হিরনের সূত্রটি নিম্নোক্ত ভাবেও লেখা হয়।
A
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}
A
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
A
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
A
=
1
4
4
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}}
A
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
.
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}
মনেকরি △ABC হলো একটি ত্রিভুজ যার a = 4b = 13c = 15
ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা, s হলো
s
=
a
+
b
+
c
2
=
4
+
13
+
15
2
=
16
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16}
তাহলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো
A
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
16
⋅
(
16
−
4
)
⋅
(
16
−
13
)
⋅
(
16
−
15
)
=
16
⋅
12
⋅
3
⋅
1
=
576
=
24.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}
এই উদাহরণে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা ৷ তাই এটিকে হিরনের ত্রিভুজ বলা হয়৷ কিন্তু বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা না হলেও হিরনের সূত্র ভালোভাবে কাজ করে।
এই সূত্রটি আবিষ্কারের কৃতিত্ব দেওয়া হয় হিরন অব আলেকজান্দ্রিয়া[৩] মেট্রিকা বইয়ে। ধারণা করা হয় যে, আর্কিমিডিস এই সূত্রটি দুই শতক আগেই জানতেন।
বিভিন্ন উপায়ে হিরনের সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।
Cosine এর নিয়ম ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতির সাহায্যে [ সম্পাদনা ] ধরি,
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
α β γ
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
প্রমাণের জন্য নিম্নোক্ত বীজগাণিতিক রাশি পাই
sin
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
2
a
b
.
{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
a হতে ত্রিভুজটির উচ্চতা b sin γ
A
=
1
2
(
base
)
(
altitude
)
=
1
2
a
b
sin
γ
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
1
4
(
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
(
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
=
1
4
(
c
2
−
(
a
−
b
)
2
)
(
(
a
+
b
)
2
−
c
2
)
=
(
c
−
(
a
−
b
)
)
(
c
+
(
a
−
b
)
)
(
(
a
+
b
)
−
c
)
(
(
a
+
b
)
+
c
)
16
=
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
(
a
+
b
+
c
)
2
=
(
a
+
b
+
c
)
2
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
এই প্রমাণে দুটি রাশির বর্গের বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করে উৎপদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।
