লুকাস ধারা

লুকাস ধারা হলো ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ও লুকাস রাশিমালার সাধারণ রূপ। ফরাসি গণিতবিদ এদুয়ার লুকার নামানুসারে এই ধারার নামকরণ করা হয়েছে।

পৌনপুনিক সম্পর্ক (Recurrence relations)

দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,

$P^{2}-4Q\neq 0$

তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,

$U_{0}(P,Q)=0$

$U_{1}(P,Q)=1$

$U_{n}(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1$

এবং

$V_{0}(P,Q)=2$

$V_{1}(P,Q)=P$

$V_{n}(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1$

বীজগাণিতিক সম্পর্ক

যদি দ্বিঘাত সমীকরণ

$x^{2}-Px+Q=0$

এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও a ও b এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -

$U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}$

$V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}$

এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -

$a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

$b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}.$

এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে $P^{2}-4Q$ এর মান ০ না।.

অন্যান্য সম্পর্ক

লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-

$U_{n}={\frac {V_{n+1}-QV_{n-1}}{P^{2}-4Q}}$

$V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}$

$U_{2n}=U_{n}V_{n}$

$V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}$

$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}$

$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}$.

বিশেষ নামকরণ

P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরি লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-

U_n(1,−1) : ফিবোনাচ্চি রাশিমালা

V_n(1,−1) : লুকাস রাশিমালা

U_n(2,−1) : পেল রাশিমালা

U_n(1,−2) : জ্যাকবস্থাল রাশিমালা

প্রয়োগ

• এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরি করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।

তথ্যসূত্র

• Ribenboim, Paulo (২০০০)। My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory। Springer-Verlag New York Inc.। আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৮৯১১-০। 
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos, 2014, 404 p. আইএসবিএন ৯৭৮-৫-৯৮৭০৪-৬৬৩-০ (rus.).