রিম্যান হাইপোথিসিস

অপ্রমাণিত গাণিতিক সমস্যা

রিম্যান জিটা ফাংশনের সকল অতুচ্ছ শূন্যস্থানের বাস্তব অংশ কি ${\frac {1}{2}}$?

আরও গাণিতিক অসমাধিত সমস্যা

গণিতে, রিম্যান হাইপোথিসিস বা রিম্যান অনুমান একটি অনুমান বা অনুকল্প যার মূল বিবৃতি অনুযায়ী রিম্যান জিটা ফাংশনের শূন্যস্থান কেবল মাত্র ঋণাত্মক জোড় পূর্ণ সংখ্যা এবং বাস্তব অংশ +১/২যুক্ত জটিল সংখ্যাগুলিতে পাওয়া যায়। একে বিশুদ্ধ গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অমীমাংসিত সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করা হয়। এটি সংখ্যাতত্ত্বে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত ধারণা প্রদান করে। এটি প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন বার্নার্ড রিম্যান (১৮৫৯), যার নামে এটি পরিচিত।

রিম্যান হাইপোথিসিস এবং এর কিছু সম্প্রসারণ (যেমন গোল্ডবাখ অনুমান এবং যমজ মৌলিক অনুমান) ডেভিড হিলবার্টের তেইশটি অসমাধিত সমস্যার মধ্যে অষ্টম সমস্যা হিসেবে অন্তর্ভুক্ত। এটি ক্লে ম্যাথেমেটিক্স ইন্সটিটিউটের মিলেনিয়াম পুরস্কার সমস্যাগুলোর একটি, যার সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন মার্কিন ডলার পুরস্কার ঘোষণা করা হয়েছে। এছাড়া, এর সাথে সম্পর্কিত আরও কিছু সাধারণ অনুমান রয়েছে, যেমন: সসীম ক্ষেত্রের ওপর রিম্যান অনুমান।

রিম্যান জিটা ফাংশন, যাকে $\zeta (s)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এমন একটি ফাংশন, যার আর্গুমেন্ট $s$ যেকোনো জটিল সংখ্যা হতে পারে (১ ব্যতীত), এবং এর মানও জটিল। এর শূন্যস্থান ঋণাত্মক জোড় পূর্ণ সংখ্যায় পাওয়া যায়, অর্থাৎ $\zeta (s)=0$ যখন $s$ হলো $-2,-4,-6,\cdots ,$ এদেরকে তুচ্ছ শূন্যস্থান বলা হয়।

তবে, জিটা ফাংশনের আরও কিছু শূন্যস্থান রয়েছে, যেগুলো অতুচ্ছ শূন্যস্থান নামে পরিচিত। রিম্যান হাইপোথিসিস এই অতুচ্ছ শূন্যস্থানগুলোর অবস্থান নিয়ে আগ্রহী এবং অনুমানভিত্তিক ভাষ্য হলো:

রিম্যান জিটা ফাংশনের প্রতিটি অতুচ্ছ শূন্যস্থানের বাস্তব অংশ ${\frac {1}{2}}$।

এর ফলে, যদি অনুমানটি সঠিক হয়, তবে সব অতুচ্ছ শূন্যস্থান ক্রিটিকাল লাইনে থাকবে, যা ${\frac {1}{2}}+it$ আকারে লিখা সম্ভব, যেখানে $t$ একটি বাস্তব সংখ্যা এবং $i$ হলো কাল্পনিক একক।

ক্রিটিকাল লাইনে অতুচ্ছ শূন্যস্থানগুলি জটিল সংখ্যার ($z$) বাস্তব অংশ $Re(z)={\frac {1}{2}}$এ অবস্থান করে।

বিষয়	বিবরণ
তুচ্ছ শূন্য (Trivial Zeros)	$$s=-2,-4,-6,\ldots$$ (ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা) হলে ζ(s) এর মান শূন্য হয়। এগুলিকে তুচ্ছ শূন্য বলে। "তুচ্ছ" তথা "অগুরুত্বপূর্ণ" বলা হয় কারণ এদের অস্তিত্ব সরাসরি সমীকরণ দ্বারা প্রমাণিত।
অতুচ্ছ শূন্য (Non-trivial Zeros)	${\frac {1}{2}}+it$ আকারের যেসব মানের জন্য ζ(s) এর মান শূন্য হয় তাদের অতুচ্ছ শূন্য বলে।
ক্রিটিকাল স্ট্রিপ (Critical Strip)	$x$ অক্ষে $0$ ও $1$ এর মধ্যবর্তী অঞ্চলটিকে ক্রিটিকাল স্ট্রিপ বলে এবং এখানে সমস্ত অতুচ্ছ শূন্যগুলি অবস্থিত।
ক্রিটিকাল লাইন (Critical Line)	$x$ অক্ষে ${\frac {1}{2}}$ বরাবর উল্লম্ব রেখাটিই ক্রিটিকাল লাইন। রিম্যান হাইপোথিসিস অনুযায়ী সকল অতুচ্ছ শূন্য এই ক্রিটিকাল লাইনের ওপর অবস্থিত।
মেরু(Pole)	$s=1$ বিন্দুতে ζ(s) এর একটি সরল মেরু বিদ্যমান।

রিম্যান জিটা ফাংশন

রিম্যান জিটা ফাংশন এমন জটিল সংখ্যা $s$ এর জন্য সংজ্ঞায়িত যার বাস্তব অংশ ১ এর চেয়ে বড় (অর্থাৎ $\operatorname {Re} (s)>1$) এবং নিম্নলিখিত পরম অভিসারী অসীম ধারার মাধ্যমে এটিকে প্রকাশ করা যায়: $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$$

লিওনার্ড অয়লার ১৭৩০ এর দশকে বাসেল সমস্যার সমাধানকালে এই ধারাটি বাস্তব $s$ এর জন্য বিশ্লেষণ করেন। তিনি প্রমাণ করেন যে এটি অয়লার গুণফলের সমতুল্য: $$\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots$$ যেখানে অসীম গুণফলটি সমস্ত মৌলিক সংখ্যার ($p$) উপর বিস্তৃত

রিম্যান অনুমিতি এই ধারা ও অয়লার গুণফলের অভিসারী অঞ্চলের (${\text{region of convergence}}$) বাইরের শূন্যগুলি নিয়ে আলোচনা করে। এই অনুমিতিকে অর্থবহ করতে ফাংশনটিকে বিশ্লেষণীভাবে সম্প্রসারিত (${\text{analytically continue}}$) করে একটি এমন রূপে আনতে হয় যা সমস্ত জটিল $s$-এর জন্য বৈধ। যেহেতু জিটা ফাংশন মেরোমর্ফিক (${\text{meromorphic}}$), তাই অভেদ উপপাদ্যানুযায়ী (${\text{identity theorem}}$) যেকোনো পদ্ধতিতে সম্প্রসারণ একই ফল দেবে।

প্রথম পদক্ষেপ: জিটা ফাংশন ও ডিরিখলেট ইটা ফাংশনের (${\text{Dirichlet eta function}}$) মধ্যে সম্পর্ক: $$\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots$$ এই সম্পর্ক উভয় ধারার অভিসারী অঞ্চলে প্রযোজ্য। কিন্তু ডানপক্ষের ইটা ফাংশনের ধারা কেবল $\operatorname {Re} (s)>1$-এ নয়, বরং যেকোনো $\operatorname {Re} (s)>0$ ক্ষেত্রেও অভিসৃত হয়। সুতরাং জিটা ফাংশনকে পুনঃসংজ্ঞায়িত করা যায়: $$\zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}$$ এটি ফাংশনের ডোমেইনকে $\operatorname {Re} (s)>1$ থেকে $\operatorname {Re} (s)>0$-এ সম্প্রসারিত করে, তবে $1-2^{1-s}=0$ এমন বিন্দুগুলি বাদে। এই বিন্দুগুলি: $$s=1+{\frac {2\pi in}{\ln 2}}\quad (n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\})$$ সীমার মাধ্যমে এখানেও জিটা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যায় (দেখুন)। ফলে $\operatorname {Re} (s)>0$ অঞ্চলে $s=1$ বিন্দুতে সরল মেরু (${\text{simple pole}}$) ছাড়া সর্বত্র ফাংশনটি সসীম।

$0<\operatorname {Re} (s)<1$ স্ট্রিপে রিম্যান জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণ প্রযোজ্য: $$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$$ এই সমীকরণ ব্যবহার করে $\operatorname {Re} (s)\leq 0$ (এবং $s\neq 0$) অঞ্চলে জিটা ফাংশন সংজ্ঞায়িত হয়।

• তুচ্ছ শূন্য: $s=-2,-4,-6,\ldots$ (ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা) → $\sin(\pi s/2)=0$ → $\zeta (s)=0$।
• $\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$: কার্যকরী সমীকরণ থেকে নয়, বরং $s\to 0$ সীমা থেকে প্রাপ্ত।
• অতুচ্ছ শূন্য: কার্যকরী সমীকরণ অনুসারে, ঋণাত্মক বাস্তব অংশে তুচ্ছ শূন্য ছাড়া অন্য কোনো শূন্য নেই। সুতরাং সমস্ত অতুচ্ছ শূন্য ক্রিটিকাল স্ট্রিপে ($0<\operatorname {Re} (s)<1$) অবস্থিত।

• 
  ক্রিটিকাল লাইন: $\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}$ বরাবর জিটা ফাংশনের বাস্তব (অনুভূমিক) ও কাল্পনিক (উল্লম্ব) অংশ, $t\in [-30,30]$।
• ত্রিমাত্রিক দৃশ্য: নীল (ক্রিটিকাল স্ট্রিপ: $0.1\leq \operatorname {Re} (s)\leq 0.9$), লাল (ক্রিটিকাল লাইন), শূন্য (ক্রস)।
• 
  ক্রিটিক্যাল লাইনে মান: প্রথম অতুচ্ছ শূন্যগুলি $\operatorname {Im} (s)=\pm 14.135,\pm 21.022,\pm 25.011$ বিন্দুতে।

উৎপত্তি

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... এটি অত্যন্ত সম্ভাব্য যে সকল মূল বাস্তব সংখ্যা। অবশ্যই, একটি কঠোর প্রমাণ কাম্য; তবে কয়েকটি ক্ষণস্থায়ী ও ব্যর্থ প্রচেষ্টার পর আমি আপাতত এটি অনুসন্ধান থেকে বিরত থাকি, কারণ আমার গবেষণার তৎকালীন উদ্দেশ্যে এটি প্রয়োজনীয় মনে হয়নি।

— রিমানের রিমান হাইপোথিসিস সম্পর্কিত বক্তব্য, (রিম্যান ১৮৫৯) থেকে। (তিনি ζ ফাংশনের একটি পরিবর্তিত রূপ নিয়ে আলোচনা করছিলেন, যাতে বাস্তব রেখাকে ক্রিটিক্যাল লাইনে চিত্রিত করা যায়।)

রিমানের মৃত্যুর পর, তাঁর কাগজপত্রে একটি নোট পাওয়া যায় যেখানে লেখা ছিলঃ "এই ζ(s) ফাংশনের বৈশিষ্ট্যসমূহ একটি অভিব্যক্তি থেকে উদ্ভূত, যেটিকে আমি যথেষ্ট সরল করতে পারিনি বিধায় এটি প্রকাশ করা যায়নি।" আমাদের এখনো বিন্দুমাত্র ধারণা নেই ঐ অভিব্যক্তিটি কি হতে পারে। তিনি যে বৈশিষ্ট্যগুলো কেবল উল্লেখ করেছিলেন, তার সবগুলো প্রমাণ করতে আমাকে প্রায় ত্রিশ বছর সময় লেগে যায় — শুধুমাত্র একটি বাদে [রিম্যান অনুমানটি]।

— জাক আদামার, The Mathematician's Mind, VIII. Paradoxical Cases of Intuition

রিমান ζ ফাংশন ও তার শূন্যবিন্দুগুলো নিয়ে গবেষণা শুরু করেন কারণ এগুলো তাঁর স্পষ্ট সূত্রে উপস্থিত, যা একটি প্রদত্ত সংখ্যা x-এর নিচে বা সমান যতগুলো মৌলিক সংখ্যা রয়েছে তা গণনা করে — অর্থাৎ π(x)। তিনি এই সূত্রটি উপস্থাপন করেন তাঁর ১৮৫৯ সালের প্রবন্ধ On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude-এ। সূত্রটি নিচের সম্পর্কিত ফাংশনের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়:

$\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{1/4})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{1/5})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{1/6})+\cdots$

এই ফাংশনটি x পর্যন্ত সকল মৌলিক সংখ্যা ও তাদের ঘাতকে গণনা করে, যেখানে একটি মৌলিক ঘাত pⁿ কে ১⁄n হিসেবে গণনা করা হয়।

এরপর, মবিয়াস বিপরীত সূত্র ব্যবহার করে মূল π(x) পুনরুদ্ধার করা যায়:

${\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}$

যেখানে μ হলো মবিয়াস ফাংশন।

রিমানের সূত্রটি হলো:

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}$

এখানে, যোগফলটি ζ ফাংশনের সব গুরত্বপূর্ণ শূন্যবিন্দু ρ এর উপর নির্ভর করে এবং Π₀ হলো Π ফাংশনের একটি পরিবর্তিত রূপ, যেখানে অসতততা বিন্দুতে এর মান উপরের ও নিচের সীমার গড় হিসেবে গ্রহণ করা হয়:

$\Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.$

উল্লেখ্য, এই সূত্রে শূন্যবিন্দুগুলোর উপর ভিত্তি করে যোগফলটি পরমভাবে অভিসারী নয়, তবে এগুলিকে কল্পাংশের মান অনুযায়ী সাজিয়ে হিসাব করা যায়। প্রথম পদে ব্যবহৃত li ফাংশন হলো (অব্যাহত) লগারিদমিক অন্তর্লগ্ন ফাংশন, যা নিচের বিভাজ্য ইন্টিগ্রালের কোশি প্রধান মান হিসেবে সংজ্ঞায়িত:

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.$

ζ ফাংশনের শূন্যবিন্দু ρ যুক্ত li(x^ρ) এই পদগুলো সংজ্ঞায়িত করতে কিছুটা সতর্কতা প্রয়োজন, কারণ li ফাংশনের ০ ও ১ এ শাখা বিন্দু রয়েছে। তাই এগুলোকে (যখন x > 1) ধরা হয় একটি জটিল চলরাশিতে বিশ্লেষণাত্মক সম্প্রসারণ হিসেবে — অর্থাৎ Ei(ρ log x)। অন্যান্য ছোট ছোট পদগুলোও বিভিন্ন শূন্যবিন্দুর প্রতিনিধিত্ব করে। li(x) পদটি আসে s = 1এর একটি মেরু থেকে, যেটিকে −1 গুণের একটি শূন্যবিন্দু হিসেবে ধরা হয়। বাকি ছোট ছোট পদগুলো আসে স্বাভাবিক শূন্যবিন্দু থেকে। এই সিরিজের প্রথম কয়েকটি পদ সংক্রান্ত গ্রাফ দেখতে পারেন রিজেল & গোহল (১৯৭০) অথবা জাগিয়ের (১৯৭৭)।

এই সূত্রটি ইঙ্গিত করে যে, রিমান ζ ফাংশনের শূন্যবিন্দুগুলো মৌলিক সংখ্যার "প্রত্যাশিত" অবস্থানের চারপাশে দোলনের নিয়ন্ত্রণ করে। রিমান জানতেন যে এই গুরত্বপূর্ণ শূন্যবিন্দুগুলো সমান্তরালভাবে s = 1/2 + it রেখার চারপাশে ছড়ানো এবং এগুলো 0 ≤ Re(s) ≤ 1 পরিসরের মধ্যেই থাকবে। তিনি হাতে গোনা কয়েকটি শূন্যবিন্দু যাচাই করেছিলেন যেগুলো এই রেখার ওপর অবস্থিত এবং ধারণা করেছিলেন বাকিগুলোও তাই — এটিই রিম্যান অনুমান।

এই ফলাফলটি বেশিরভাগ গণিতবিদের কল্পনাকে আকর্ষণ করেছে কারণ এটি এতটাই অপ্রত্যাশিত — এটি গণিতের দুটি আপাতদৃষ্টিতে সম্পূর্ণ ভিন্ন শাখাকে যুক্ত করেছে: সংখ্যাতত্ত্ব, যা বিযুক্ত জগতের অধ্যয়ন, এবং জটিল বিশ্লেষণ, যা ধারাবাহিক প্রক্রিয়া নিয়ে কাজ করে।

— (বার্টন ২০০৬, পৃ. ৩৭৬)

বিশেষ ফলাফল

১৯১৫ সালে, রিম্যান অনুমানের প্রেক্ষিতে রামানুজন প্রমাণ করেন যে,

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$

(যেখানে γ হলো অয়লার–মাস্কেরনি ধ্রুবক) সকল যথেষ্ট বৃহৎ n এর জন্য সত্য (রামানুজন ১৯৯৭)। এই অসমতাকে লঙ্ঘন করে এমন সর্বোচ্চ পরিচিত মান $n=5040$। ১৯৮৪ সালে, রবিন প্রমাণ করেন যে, এই অসমতা সকল $n>5040$ এর জন্য তখনই সত্য, যদি ও কেবল যদি রিম্যান হাইপোথিসিস সত্য হয় (রবিন ১৯৮৪)। এই ফলাফলটি রবিনের অসমতা নামে পরিচিত।

রবিন আরও দেখিয়েছেন যে, যদি রিম্যান হাইপোথিসিস মিথ্যা হয়, তবে অসংখ্য এমন $n$ রয়েছে যা অসমতাটিকে লঙ্ঘন করবে, এবং জানা গেছে যে, $5040$ এর পরের ক্ষুদ্রতম এমন $n$ অবশ্যই সুপার অ্যাবান্ড্যান্ট সংখ্যা হতে হবে (অ্যাকবারি ও ফ্রিগস্ট্যাড ২০০৯)। এছাড়াও, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে, বৃহৎ বিজোড় ও বর্গমুক্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য এই অসমতা সত্য এবং মৌলিক সংখ্যার পঞ্চম ঘন দ্বারা বিভাজ্য $n$ এর জন্য রিম্যান হাইপোথিসিস এই অসমতার সমতুল্য (চোই এবং অন্যান্য ২০০৭)।

রবিন আরও প্রমাণ করেছেন যে নিম্নলিখিত অসমতা

$\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}$

সকল $n\geq 3$এর জন্য সত্য।

২০০২ সালে জেফ্রি লাগারিয়াস সংশ্লিষ্ট ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করেন, যিনি প্রমাণ করেছেন যে রিম্যান হাইপোথিসিসটি নিম্নলিখিত বিবৃতির সমতুল্য:

$\sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})$

যখন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n>1$, যেখানে $H_{n}$ হলো $n$তম হারমোনিক সংখ্যা (লাগারিয়াস ২০০২)।