ভিরিয়াল উপপাদ্য

ভিরিয়াল উপপাদ্য

বলবিদ্যায় ভিরিয়াল উপপাদ্য (ইংরেজি: Virial theorem) বিভব বল দ্বারা আবদ্ধ $N$ সংখ্যক কণার একটি ব্যবস্থায় গড় গতিশক্তি, $\left\langle T\right\rangle$, এবং গড় বিভব শক্তির, $\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle$, মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। নিচে সমীকরণটি দেয়া হচ্ছে। উল্লেখ্য বন্ধনী দ্বারা গড় মান বোঝানো হচ্ছে।

$2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle$

যেখানে, $\mathbf {F} _{k}$, $\mathbf {r} _{k}$ অবস্থানে অবস্থিত $k$-তম কণার উপর বল নির্দেশ করে। ভিরিয়াল শব্দটি এসেছে গ্রিক শব্দ vis থেকে যার অর্থ বল বা শক্তি। ১৮৭০ সালে জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী রুডোলফ ক্লাউসিয়ুস এই নামের গোড়াপত্তন করেন।

এই উপপাদ্যের বিশেষত্ব হচ্ছে, এর মাধ্যমে অনেক জটিল ব্যবস্থা, যাদের মোট গতিশক্তি সাধারণ হিসাবের মাধ্যমে পরিমাপ করা যায় না, তাদের গতিশক্তিও নির্ণয় করা যায় না। যেমন, পরিসাংখ্যিক বলবিদ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট অনেক ব্যবস্থা। এই গড় গতিশক্তি সমবিভাজন উপপাদ্যের (ইকুয়িপার্টিশন) মাধ্যমে ব্যবস্থার তাপমাত্রার সাথে সম্পর্কিত। তবে ভিরিয়াল উপপাদ্য তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে না এবং তাপীয় সাম্যাবস্থায় নেই এমন সব ব্যবস্থার ক্ষেত্রেও কাজ করে। অনেক পদ্ধতিতে এই উপপাদ্যের সাধারণীকরণ করা হয়েছে যার মধ্যে উল্লেখযোগ্য একটি হচ্ছে টেন্সর ভিরিয়াল উপপাদ্য।

প্রমাণ

নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে দুটি বস্তুর মধ্যে ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বলের মান হচ্ছে,

$F={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{2}}}={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}$

এবার এই বস্তুর উপর একটি বহিঃস্থ বল প্রয়োগ করলে এবং $a$ বস্তুর জন্য বলের মানকে নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে আরও ভেঙে লিখলে দাঁড়ায়,

${\frac {d}{dt}}m_{a}{\bar {v}}_{a}={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}+{\bar {F}}_{ext}$

এবার উভয় পক্ষে ${\bar {r}}_{a}$ স্কেলার গুণন করে a কণার জন্য সমষ্টি নিলে পাওয়া যায়,

$\sum _{a}{\frac {d}{dt}}(m_{a}{\bar {v}}_{a}).{\bar {r}}_{a}=\sum _{a\neq b}{\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}.{\bar {r}}_{a}+\sum _{a}{\bar {F}}_{ext}^{a}.{\bar {r}}_{a}$

এবার $b$ বস্তুর জন্য বলের মান ভেঙে লিখে একই প্রক্রিয়া অনুসারে করলে অনুরূপ একটি সমীকরণ পাওয়া যাবে,

$\sum _{b}{\frac {d}{dt}}(m_{b}{\bar {v}}_{b}).{\bar {r}}_{b}=\sum _{a\neq b}{\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ba}^{3}}}.{\bar {r}}_{ba}.{\bar {r}}_{b}+\sum _{b}{\bar {F}}_{ext}^{b}.{\bar {r}}_{b}$

উপরের দুটি সমীকরণেই সমতা চিহ্নের বাম পাশের অংশকে এভাবে লেখা যায়,

$\sum _{a}{\frac {d}{dt}}(m_{a}{\bar {v}}_{a}).{\bar {r}}_{a}=\sum _{a}m_{a}{\bar {r}}_{a}{\frac {d{\bar {v}}_{a}}{dt}}-\sum _{a}m_{a}{\bar {v}}_{a}{\frac {d{\bar {r}}_{a}}{dt}}=\sum _{a}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(m_{a}{\bar {r}}_{a}.{\bar {r}}_{a})-\sum _{a}m_{a}{\bar {v}}_{a}.{\bar {v}}_{a}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\bar {I}}}{dt^{2}}}-2E_{kin}$

বহিঃসংযোগ

• The Virial Theorem at MathPages
• Gravitational Contraction and Star Formation, Georgia State University