ব্যবহারকারী:Mithun roy/খেলাঘর

$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0$.

স্থানীয় শক্তি-ভরবেগ সংরক্ষণশীলতা প্রতিপাদন

ব্যবকলনীয় বিয়াংকী অভেদকে সংক্ষেপে লেখলে(contraction) দাঁড়ায়, $R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=\,0$ মেট্রিক টেনসরের কোভ্যারিয়েন্ট হিসেবে ধ্রুব থাকার ধর্মকে ব্যবহার করে, যেমনgαβ;γ = 0, $R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0$ রীম্যান টেনসরের এই বিপরীত প্রতিসাম্যতা উপরের রাশিমালার দ্বিতীয় পদকে এভাবে লেখার অনুমোদন দেয়ঃ $R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }\,-R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0$ যা নিচের রাশিমালার সমতূল্য $R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0$ রিক্কি টেনসরের সংজ্ঞা ব্যবহার করে অতঃপর, মেট্রিকটিকে আবার সংক্ষেপণ করে, $g^{\beta \delta }(R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma })\,=0$ এটা পেতে, $R^{\delta }{}_{\delta ;\varepsilon }\,-R^{\delta }{}_{\varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma \delta }{}_{\delta \varepsilon ;\gamma }\,=0$ রিক্কি কার্ভেচার টেনসর এবং স্কেলার কার্ভেচার তখন দেখায়, $R_{;\varepsilon }\,-2R^{\gamma }{}_{\varepsilon ;\gamma }\,=0$ যাকে লেখা যেতে পারে $(R^{\gamma }{}_{\varepsilon }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma }{}_{\varepsilon }R)_{;\gamma }\,=0$ gεδ এর চূড়ান্ত কন্ট্র্যাকশন করলে আমরা পাই, $(R^{\gamma \delta }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R)_{;\gamma }\,=0$ যা, সূচকগুলো সামান্য পুনর্লিখনের পর, ব্র্যাকেটের ভেতরের পদের প্রতিসাম্যতা এবং আইনস্টাইন টেনসরের সংজ্ঞানুসারে, আমাদের দেয়, $G^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0$ ইএফই ব্যবহার করলে, তাৎক্ষণিকভাবে আমরা পাই, $\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0$