ফের্মার শেষ উপপাদ্য

অ্যারিথমেটিকার ১৬২১ সালের সংস্করণে সমস্যা ১১.৮। ডানে রয়েছে সেই বিখ্যাত মার্জিন, যেটা ফের্মার প্রমাণটি লিখবার মতো যথেষ্ট বড় ছিল না।

ফের্মার শেষ উপপাদ্যটি হলো:

যখন n > 2, তখন xⁿ + yⁿ = zⁿ সমীকরণটি জন্য x, y ও z এর তিনটি পূর্ণ সাংখ্যিক মান পাওয়া যাবে না যা সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।

গাণিতিকভাবে, এই উপপাদ্যটি একটি Π₁ বাক্য।

এ সমস্যাটি সর্বপ্রথম প্রস্তাব করেন ফের্মা, ১৬৩৭ সালে। ফের্মা তার এই উপপাদ্যটি তৃতীয় শতাব্দীর গ্রিক গণিতবিদ দিয়োফান্তুসের লেখা অ্যারিথমেটিকার একটি কপির মার্জিনে লিখে রাখেন এবং আরো লেখেন, "আমি এই উপপাদ্যের একটি চমৎকার প্রমাণ খুঁজে পেয়েছি, কিন্তু মার্জিনে যথেষ্ট জায়গা না থাকায় লিখতে পারলাম না!" কিন্তু বহু বিখ্যাত গণিতবিদের চেষ্টা সত্ত্বেও উপপাদ্যটি ১৯৯৫ সালের পূর্ব পর্যন্ত সমাধান করা সম্ভব হয়নি। এ সমস্যাটির সমাধান করতে গিয়ে ঊনবিংশ শতাব্দীতে বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্বের উদ্ভব হয় এবং বিংশ শতাব্দীতে অনুসমতা তত্ত্বের প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়। এটি পৃথিবীর সবচেয়ে বিখ্যাত গাণিতিক সমস্যাগুলোর মধ্যে অন্যতম।

ফের্মা তার উপপাদ্যের কোন সাধারণ প্রমাণ লিখে রেখে যাননি, তবে n = 4 - এ বিশেষ ক্ষেত্রটির জন্যে তার একটি প্রমাণ খুঁজে পাওয়া যায়। (যদিও এ ক্ষেত্রটি ১২২৫ সালে ইতালীয় গণিতবিদ ফিবোনাচ্চি প্রমাণ করেছিলেন।) এর ফলে কেবল বেজোড় মৌলিক সংখ্যা বিশিষ্ট ঘাতের জন্যে উপপাদ্যটি প্রমাণ করা বাকি থাকে। পরবর্তী দুই শতাব্দীতে (১৬৩৭ - ১৮৪৯) পর্যন্ত কেবল ৩, ৫ এবং ৭ - এ তিনটি মৌলিক সংখ্যার জন্যে উপপাদ্যটির সত্যতা যাচাই করা যায়, তবে সোফি জার্মেইন ১০০ এর ছোট সব মৌলিক সংখ্যার জন্যে উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন।

১৯ শতকের মাঝামাঝি সময়ে আর্নস্ট কুমার মৌলিক সংখ্যাত একটি বড়সড় দলের জন্যে উপপাদ্যটি প্রমাণ করেন, যারা সাধারণ মৌলিক সংখ্যা নামে পরিচিত। কুমারের কাজের ওপর ভিত্তি করে এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের আধুনিক তত্ত্ব ব্যবহার করে গণিতবিদরা চল্লিশ লক্ষের চেয়ে ছোট সব মৌলিক সংখ্যার জন্যে উপপাদ্যের প্রমাণ সম্পন্ন করেন।

অ্যান্ড্রু ওয়াইলস

সকল n এর জন্যে উপপাদ্যটি প্রমাণ করা সম্ভব হয় বিশ শতাব্দীর শেষপ্রান্তে এসে। ১৯৮৪ সালে গেরহার্ড ফে এলিপটিক কার্ভের জন্যে অনুসমতা তত্ত্ব ব্যবহার করে উপপাদ্যটি প্রমাণ করা যেতে পারে বলে মত প্রকাশ করেন। কেন রিবেটের কাজের ওপর ভিত্তি করে ব্রিটিশ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইল্‌স তার সহকারী রিচার্ড টেইলরের সহায়তায় ১৯৯৫ সালে উপপাদ্যটি সম্পূর্ণভাবে প্রমাণ করতে সক্ষম হন। ।