পরিমাপ (গণিত)

গণিতে একটি সেটের উপর পরিমাপ বলতে ওই সেটের প্রত্যেকটি উপযুক্ত সাবসেটের উপর নিয়মমাফিক উপায়ে নম্বর প্রদান করা বোঝায়। এই নম্বরকে অনেকটা সাবসেটটার মাপ বা সাইজ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এই অর্থে পরিমাপ হচ্ছে দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তন ধারণার সাধারণীকরণ। পরিমাপের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো ইউক্লিডীয় স্থানে লোবেগ পরিমাপ যা n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান $R^{n}$ এর উপযুক্ত সাবসেটের উপর ইউক্লিডীয় জ্যামিতিরে গতানুগতিক দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তনের মানগুলো ধার্য করে। যেমন, [০, ১] এই বাস্তব সংখ্যার বিরতিটার লোবেগ পরিমাপ হলো স্বাভাবিক অর্থে এর দৈর্ঘ্য বলতে আমরা যেটা বুঝে থাকি, অর্থাৎ ১।

একটা ফাংশন যা একটা সেটের সাবসেটগুলোর উপর অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা অথবা +∞ ধার্য করে, তাকে পরিমাপ হবার জন্যে কিছু অতিরিক্ত শর্ত পূরণ করতে হয়। যেমন, একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো গণনাযোগ্য সংখ্যক যোগের শর্ত। এটা বলে যে, কতোগুলো গণনাযোগ্য নিশ্ছেদ সাবসেটের সংযোগ সেটের মাপ হলো সাবসেটগুলোর আলাদা আলাদা মাপের যোগফলের সমান।

সাধারণত, একটি সেটের সকল সাবসেটের উপর একটি মাপ ধার্য করে আবার পরিমাপের অন্যান্য শর্তগুলোও পূরণ করা সম্ভব হয় না। ফলে, যেটা করা হয় যে পরিমাপকে সকল সাবসেটের একটা অংশবিশেষের উপর গঠন করা হয়। কেবল ওই সাবসেটগুলোর ওপরই পরিমাপটা প্রযোজ্য হয় বলে তাদেরকে পরিমাপযোগ্য বলা হয় তারা একত্রে একটি সিগমা অ্যালজেব্রা গঠন করে।

সংজ্ঞা[সম্পাদনা]

যদি Σ সেট X এর উপর একটি σ-অ্যালজেব্রা হয়, তাহলে Σ হতে বর্ধিত বাস্তব সংখ্যার রেখার (extended real number line) উপর ফাংশন μ কে একটি পরিমাপ বলা হবে যদি:

অঋণাত্মকতা: $\mu (A)\geq 0$ হয়, যেখানে $A\in \Sigma$ ।
গণনাযোগ্য যোগফল: যদি $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ পরস্পর নিশ্ছেদ সেট ও Σ এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তাহলে $\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$ হয়।
ফাঁকা সেটের শূন্যমান: $\mu (\varnothing )=0$ হয়।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

বহিঃসংযোগ[সম্পাদনা]