বার্নুলি'র নীতি: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

ইতিহাস ব্রাউজ করুন

← পূর্বের পার্থক্য পরবর্তী পার্থক্য →

বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে

দৃশ্যমানউইকিপাঠ্য

রৈখিক

০৫:৫৯, ১২ জানুয়ারি ২০২১ তারিখে সংশোধিত সংস্করণ

ভেঞ্চুরি মিটার দিয়ে বায়ু প্রবাহ। তরলের চাপ হ্রাসের বিনিময়ে এর গতি শক্তি বৃদ্ধি পায়, যা নল দুটিতে জলস্তম্ভের উচ্চতার পার্থক্য দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে।

এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

পরীক্ষাগারে ভেঞ্চুরি মিটার ব্যবহারের একটি ভিডিও

প্রবাহী গতিবিদ্যায়, বার্নুলি’র নীতি অনুসারে বলা হয় যে, কোন প্রবাহীর গতিবেগ বৃদ্ধির সাথে যুগপৎভাবে ঐ প্রবাহী্র স্থির চাপ (static pressure) অথবা ঐ প্রবাহীর বিভব শক্তি হ্রাস পায়। ড্যানিয়েল বার্নুলি’র নামানুসারে এই নীতিটির নামকরণ করা হয়েছে।^[১]^{(দ্বিতীয় অধ্যায়)}^[২]^{(§ ৩.৫)} তার ১৭৩৮ সালে প্রকাশিত গ্রন্থ হাইড্রোডায়নামিকা – তে তিনি প্রথম এই নীতিটি উল্লেখ করেছিলেন।^[৩] যদিও বার্নুলি চাপ হ্রাসের সাথে সাথে প্রবাহীর গতিবেগ বৃদ্ধির সম্পর্কটি নির্ণয় করেছিলেন, তবে বার্নুলি’র সমীকরণ এর যে প্রচলিত রূপ, তা নির্ণয় করেছিলেন লিওনার্ড অয়লার, ১৭৫২ সালে।^[৪]^[৫] এই নীতিটি কেবলমাত্র আইসেনট্রপিক (সম-এনট্রপি বিশিষ্ট) প্রবাহের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য: যখন অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া (যেমন – উত্তাল প্রবাহ (turbulent flow)) এবং অ–রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া (যেমন – তাপ বিকিরণ), এর প্রভাব খুব নগণ্য হয় এবং অগ্রাহ্য করা যায়।

প্রবাহীর বিভিন্ন ধরনের প্রবাহের ক্ষেত্রে বার্নুলি’র সমীকরণ প্রয়োগ করা যায়, যার কারণে বার্নুলি’র সমীকরণ এর ভিন্ন ভিন্ন রূপ পাওয়া যায়; অর্থাৎ, ভিন্ন ধরনের প্রবাহের জন্য বার্নুলি’র সমীকরণের ভিন্ন ভিন্ন আকার বিদ্যমান রয়েছে। এই সমীকরণের সরল রূপটি অসংকোচনশীল প্রবাহ (incompressible flow) (অধিকাংশ তরলের প্রবাহ এবং নিম্ন মাখ সংখ্যা বিশিষ্ট গ্যাসের প্রবাহ)। সমীকরণের জটিলতর রূপসমূহ উচ্চতর মাখ সংখ্যা বিশিষ্ট সংকোচনশীল প্রবাহের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায় (বার্নুলি’র সমীকরণ এর প্রতিপাদন দেখুন)।

শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি থেকে বার্নুলির নীতি প্রতিপাদন করা সম্ভব। এতে বলা হয় যে, নিয়ত প্রবাহে (steady flow) প্রবহমান কোন প্রবাহীর যে কোন প্রবাহরেখা (streamline) বরাবর, ঐ প্রবাহীতে বিদ্যমান শক্তির সকল রূপের সমষ্টি, ঐ প্রবাহরেখার সকল বিন্দুতে সমান থাকে। এর অর্থ হচ্ছে, প্রবাহীর গতি শক্তি, বিভব শক্তি এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির মিলিত সমষ্টি সার্বিকভাবে ধ্রুব থাকে।^[২]^{(§ ৩.৫)} এজন্য, প্রবাহীর বেগ বৃদ্ধি পেলে তথা গতি শক্তি (গতীয় চাপ) বেড়ে গেলে, যুগপৎভাবে তার বিভব শক্তি (স্থির চাপ সহ) ও অভ্যন্তরীণ শক্তি (এর সমষ্টি) হ্রাস পায়। কোন প্রবাহী-উৎস থেকে নির্গত প্রবাহীর ক্ষেত্রে, সকল প্রবাহরেখা বরাবর, শক্তির সকল রূপের সমষ্টি একই থাকে কেননা সেখানে একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি (চাপ এবং মহাকর্ষীয় বিভব $\rho gh\,$ এর সমষ্টি) উৎসের সব বিন্দুতে একই থাকে।^[৬]^{(উদাহরণ ৩.৫)}

নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র থেকেও সরাসরি বার্নুলি’র নীতি প্রতিপাদন করা যায়। যদি ক্ষুদ্র আয়তনের কোন প্রবাহী উচ্চচাপ অঞ্চল থেকে নিম্নচাপ অঞ্চলের দিকে অনুভূমিকভাবে প্রবাহিত হয়, তাহলে ঐ আয়তনের সম্মুখভাগের তুলনায় পশ্চাৎভাগের চাপ বৃহত্তর হয়। ফলে ঐ আয়তনের ওপর একটি লব্ধি বল ক্রিয়াশীল হয়, যা প্রবাহরেখা বরাবর ঐ প্রবাহীকে ত্বরান্বিত করে।^[ক]^[খ]^[গ]

কোন প্রবাহীর কণাগুলোর ওপর কেবলমাত্র তাদের নিজস্ব ওজনজনিত চাপ বিদ্যমান থাকে। তাই কোন প্রবাহী যদি অনুভূমিকভাবে ও প্রবাহরেখা বরাবর গতিশীল থাকে, তাহলে এর বেগ বৃদ্ধি পায় কেবল যদি তা উচ্চতর চাপ থেকে নিম্নতর চাপের কোন অঞ্চলের দিকে অগ্রসর হয়; এবং এর বেগ হ্রাস পায় কেবল যদি তা নিম্নতর চাপ থেকে উচ্চতর চাপ অঞ্চলের দিয়ে অগ্রসর হয়। ফলস্বরূপ, অনুভূমিকভাবে প্রবাহিত কোন প্রবাহী সর্বোচ্চ বেগপ্রাপ্ত হয় যেখানে চাপ সর্বনিম্ন থাকে, এবং এর বেগ সর্বনিম্ন হয় যেখানে সর্বোচ্চ চাপ বিরাজ করে।^[১০]

অসংকোচনশীল প্রবাহ সমীকরণ

অধিকাংশ তরল এবং নিম্ন মাখ সংখ্যার গ্যাসের প্রবাহের ক্ষেত্রে, প্রবাহকালে চাপের ভিন্নতা যেমনই হোক না কেন, কোন প্রবাহীর ঘনত্বকে ধ্রুব বলেই বিবেচনা করা যায়। এ কারণেই, ঐ প্রবাহীকে অসংকোচনশীল (incompressible) বলে বিবেচনা করা হয় এবং ঐ প্রবাহকে অসংকোচনশীল প্রবাহ বলা হয়। বার্নুলি তার পরীক্ষা–নিরীক্ষা করেন তরলের ওপর, তাই তার নির্ণীত সমীকরণটির মূল রূপটি শুধুমাত্র অসংকোচনশীল প্রবাহের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। বার্নুলি’র সমীকরণের সাধারণ একটি রূপ, যা কোন প্রবাহরেখার যে কোন বিন্দুর ক্ষেত্রেই বৈধ হয়, তা নিম্নরূপ:

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}

(A)

যেখানে:

$v$ = প্রবাহরেখার যে কোন বিন্দুতে প্রবাহের দ্রুতি,

$g$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$z$ = প্রসঙ্গ–তল থেকে ঐ বিন্দুর উচ্চতা, যেখানে ধনাত্মক $z$ –দিক ওপরের দিকে নির্দেশ করে – অর্থাৎ, অভিকর্ষজ ত্বরণের দিকের বিপরীত অভিমুখে,

$p$ = ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুতে বিদ্যমান চাপ,

$ρ$ = প্রবাহীর যেকোন বিন্দুতে এর ঘনত্ব।

সমীকরণের ডান দিকে উল্লিখিত ধ্রুবকের (constant) মান নির্ভর করে কেবলমাত্র নির্বাচিত প্রবাহরেখাটির ওপর, আর অন্যদিকে $v$ , $z$ , এবং $p$ এর মান নির্ভর করে প্রবাহরেখার সুনির্দিষ্ট বিন্দুর ওপর।

নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলোর সাপেক্ষেই কেবল বার্নুলি'র সমীকরণ প্রযোজ্য হয়:^[২]^(p২৬৫)

নিয়ত প্রবাহ (steady flow) হতে হবে, অর্থাৎ প্রবাহের পরামিতিসমূহ (বেগ, ঘনত্ব ইত্যাদি) সকল বিন্দুতে সময়ের সাপেক্ষে অপরিবর্তিত থাকবে;
অসংকোচনশীল প্রবাহ (incompressible flow) হতে হবে - প্রবাহরেখা বরাবর বিভিন্ন বিন্দুতে চাপ পরিবর্তিত হলেও প্রবাহীর ঘনত্ব অবশ্যই ধ্রুব থাকতে হবে;
সান্দ্রবলজনিত ঘর্ষণ নগণ্য হতে হবে।

সংরক্ষণশীল বল ক্ষেত্রগুলোতে (কেবল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়), বার্নুলি'র সমীকরণকে সাধারণভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:

${v^{2} \over 2}+\Psi +{p \over \rho }={\text{constant}}\,$

যেখানে, $Ψ$ হচ্ছে প্রবাহরেখার ওপর নির্দিষ্ট বিন্দুটির বল বিভব, উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর মহাকর্ষ বলের জন্য $Ψ = gz$ । সমীকরণ (A)-কে প্রবাহীর ঘনত্ব $ρ$ দ্বারা গুণ করে লেখা যায়:

${1 \over 2}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}\,$

অথবা,

$q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}\,$

যেখানে,

$q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\,$ = গতিশীল চাপ (dynamic pressure),

$h=z+{p \over \rho g}\,$ = পাইজোমেট্রিক উচ্চতা (piezometric head) বা হাইড্রোলিক উচ্চতা (hydraulic head) (উচ্চতা $z$ এবং চাপীয় স্তম্ভের উচ্চতার (pressure head) সমষ্টি),^[১১]^[১২] এবং

$p_{0}=p+q\,$ = স্থবির চাপ (stagnation pressure; স্থির চাপ $p$ এবং গতিশীল চাপ $q$ এর সমষ্টি)।^[১৩]

The constant in the Bernoulli equation can be normalised. A common approach is in terms of total head or energy head $H$ :

H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},

বার্নুলি'র সমীকরণে ব্যবহৃত ধ্রুবপদের প্রমিতকরণ করা সম্ভব। এর একটি গতানুগতিক পন্থা হচ্ছে সমীকরণটিকে মোট উচ্চতা বা শক্তি উচ্চতা $H$ (energy head) এর সাপেক্ষে প্রকাশ করা:

$\mathbf {H} =z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}}\,;$

ওপরের সমীকরণ থেকে এই ধারণা লাভ করা যায় যে, প্রবাহীর এমন একটি গতিবেগ থাকে যার জন্য চাপের মান শূন্য হয়, এবং তার চেয়ে বৃহত্তর বেগে চাপ ঋণাত্মক-ও হতে পারে। অধিকাংশ ক্ষেত্রেই, গ্যাস কিংবা তরল ঋণাত্মক পরম চাপ, কিংবা শূন্য চাপ অর্জনে সক্ষম হয় না; সুতরাং পরিষ্কারভাবেই, শূন্য চাপ অর্জনের পূর্বেই বার্নুলি'র সমীকরণ বৈধতা হারিয়ে ফেলে। তরলের ক্ষেত্রে - যেখানে চাপ খুব কম থাকে, সেখানে গহ্বরায়ন (cavitation)^{[টীকা ১]} দেখা যায়। ওপরের সমীকরণটি প্রবাহ বেগের বর্গ এবং চাপের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক ব্যবহার করে। গ্যাসে উচ্চতর প্রবাহ বেগের ক্ষেত্রে, অথবা তরল মাধ্যমে শব্দ তরঙ্গের ক্ষেত্রে, প্রবাহীর ভর ঘনত্বের উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন ঘটে বলে, ঘনত্ব ধ্রুব থাকে বলে যে অনুমান করা হয় সেটা আর প্রযোজ্য হয় না।

আরও দেখুন

টীকা

↑ If the particle is in a region of varying pressure (a non-vanishing pressure gradient in the $x$ -direction) and if the particle has a finite size $l$ , then the front of the particle will be ‘seeing’ a different pressure from the rear. More precisely, if the pressure drops in the $x$ -direction ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:100%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:2px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0em 0em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}+dp/dx < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton’s second law, this force causes an acceleration and the particle’s velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix).^[৭]
↑ Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity.^[৮]
↑ The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be a higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton’s laws of motion.^[৯]

তথ্যসূত্র

↑ Clancy, L.J. (১৯৭৫)। Aerodynamics। Wiley। আইএসবিএন 978-0-470-15837-1।
↑ ^ক ^খ ^গ Batchelor, G.K. (২০০০)। An Introduction to Fluid Dynamics। Cambridge: Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-66396-0।
↑ "Hydrodynamica"। Britannica Online Encyclopedia। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-১০-৩০।
↑ Anderson, J.D. (২০১৬), "Some reflections on the history of fluid dynamics", Johnson, R.W., Handbook of fluid dynamics (2nd সংস্করণ), CRC Press, আইএসবিএন 9781439849576
↑ Darrigol, O.; Frisch, U. (২০০৮), "From Newton's mechanics to Euler's equations", Physica D: Nonlinear Phenomena, 237 (14–17): 1855–1869, ডিওআই:10.1016/j.physd.2007.08.003, বিবকোড:2008PhyD..237.1855D
↑ Streeter, Victor Lyle (১৯৬৬)। Fluid mechanics। New York: McGraw-Hill।
↑ Babinsky, Holger (নভেম্বর ২০০৩), "How do wings work?", Physics Education, 38 (6): 497–503, ডিওআই:10.1088/0031-9120/38/6/001, বিবকোড:2003PhyEd..38..497B
↑ "Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin, Misinterpretations of Bernoulli's Law, এপ্রিল ২৯, ২০০৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা
↑ Denker, John S. (২০০৫)। "3 Airfoils and Airflow"। See How It Flies। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৭-২৭।
↑ Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.
↑ Mulley, Raymond (২০০৪)। Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations। CRC Press। পৃষ্ঠা 43–44। আইএসবিএন 978-0-8493-2767-4।
↑ Chanson, Hubert (২০০৪)। Hydraulics of Open Channel Flow। Elsevier। পৃষ্ঠা 22। আইএসবিএন 978-0-08-047297-3।
↑ Oertel, Herbert; Prandtl, Ludwig; Böhle, M.; Mayes, Katherine (২০০৪)। Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics। Springer। পৃষ্ঠা 70–71। আইএসবিএন 978-0-387-40437-0।

বহিঃসংযোগসমূহ

উদ্ধৃতি ত্রুটি: "টীকা" নামক গ্রুপের জন্য <ref> ট্যাগ রয়েছে, কিন্তু এর জন্য কোন সঙ্গতিপূর্ণ <references group="টীকা"/> ট্যাগ পাওয়া যায়নি

[8] If the particle is in a region of varying pressure (a non-vanishing pressure gradient in the $x$ -direction) and if the particle has a finite size $l$ , then the front of the particle will be ‘seeing’ a different pressure from the rear. More precisely, if the pressure drops in the $x$ -direction ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:100%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:2px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0em 0em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}+dp/dx < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton’s second law, this force causes an acceleration and the particle’s velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix).^[৭]

[10] Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity.^[৮]

[12] The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be a higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton’s laws of motion.^[৯]

[Clancy1975-1] Clancy, L.J. (১৯৭৫)। Aerodynamics। Wiley। আইএসবিএন 978-0-470-15837-1।

[Batchelor2000-2] ক ^খ ^গ Batchelor, G.K. (২০০০)। An Introduction to Fluid Dynamics। Cambridge: Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-66396-0।

[3] "Hydrodynamica"। Britannica Online Encyclopedia। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-১০-৩০।

[Anderson2016-4] Anderson, J.D. (২০১৬), "Some reflections on the history of fluid dynamics", Johnson, R.W., Handbook of fluid dynamics (2nd সংস্করণ), CRC Press, আইএসবিএন 9781439849576

[5] Darrigol, O.; Frisch, U. (২০০৮), "From Newton's mechanics to Euler's equations", Physica D: Nonlinear Phenomena, 237 (14–17): 1855–1869, ডিওআই:10.1016/j.physd.2007.08.003, বিবকোড:2008PhyD..237.1855D

[Streeter1966-6] Streeter, Victor Lyle (১৯৬৬)। Fluid mechanics। New York: McGraw-Hill।

[Babinsky2003-7] Babinsky, Holger (নভেম্বর ২০০৩), "How do wings work?", Physics Education, 38 (6): 497–503, ডিওআই:10.1088/0031-9120/38/6/001, বিবকোড:2003PhyEd..38..497B

[Weltner-9] "Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin, Misinterpretations of Bernoulli's Law, এপ্রিল ২৯, ২০০৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা

[Denker2005-11] Denker, John S. (২০০৫)। "3 Airfoils and Airflow"। See How It Flies। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৭-২৭।

[13] Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.

[Mulley2004-14] Mulley, Raymond (২০০৪)। Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations। CRC Press। পৃষ্ঠা 43–44। আইএসবিএন 978-0-8493-2767-4।

[Chanson2004-15] Chanson, Hubert (২০০৪)। Hydraulics of Open Channel Flow। Elsevier। পৃষ্ঠা 22। আইএসবিএন 978-0-08-047297-3।

[Oerteletal2004-16] Oertel, Herbert; Prandtl, Ludwig; Böhle, M.; Mayes, Katherine (২০০৪)। Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics। Springer। পৃষ্ঠা 70–71। আইএসবিএন 978-0-387-40437-0।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[ক]

[খ]

[গ]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[টীকা ১]

[৭]

[৮]

[৯]

@@ ২৬ নং লাইন: / ২৬ নং লাইন: @@
 == অসংকোচনশীল প্রবাহ সমীকরণ ==
-অধিকাংশ [[তরল]] এবং নিম্ন [[মাখ সংখ্যা|মাখ সংখ্যার]] [[গ্যাস|গ্যাসের]] প্রবাহের ক্ষেত্রে, প্রবাহকালে চাপের ভিন্নতা যেমনই হোক না কেন, কোন প্রবাহীর ঘনত্বকে ধ্রুব বলেই বিবেচনা করা যায়। এ কারণেই, ঐ প্রবাহীকে অসংকোচনশীল (''incompressible'') বলে বিবেচনা করা হয় এবং ঐ প্রবাহকে অসংকোচনশীল প্রবাহ বলা হয়। বার্নুলি তার পরীক্ষা–নিরীক্ষা করেন তরলের ওপর, তাই তার নির্ণীত সমীকরণটির মূল রূপটি শুধুমাত্র অসংকোচনশীল প্রবাহের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। বার্নুলি’র সমীকরণের সাধারণ একটি রূপ, যা কোন প্রবাহরেখার যে কোন বিন্দুর ক্ষেত্রেই বৈধ হয়, তা নিম্নরূপ:<blockquote><math>{v^2 \over 2} + gz + {p \over \rho} = \text{constant} \quad \dots \quad \textbf{(A)}</math></blockquote>যেখানে:
+অধিকাংশ [[তরল]] এবং নিম্ন [[মাখ সংখ্যা|মাখ সংখ্যার]] [[গ্যাস|গ্যাসের]] প্রবাহের ক্ষেত্রে, প্রবাহকালে চাপের ভিন্নতা যেমনই হোক না কেন, কোন প্রবাহীর ঘনত্বকে ধ্রুব বলেই বিবেচনা করা যায়। এ কারণেই, ঐ প্রবাহীকে অসংকোচনশীল (''incompressible'') বলে বিবেচনা করা হয় এবং ঐ প্রবাহকে অসংকোচনশীল প্রবাহ বলা হয়। বার্নুলি তার পরীক্ষা–নিরীক্ষা করেন তরলের ওপর, তাই তার নির্ণীত সমীকরণটির মূল রূপটি শুধুমাত্র অসংকোচনশীল প্রবাহের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। বার্নুলি’র সমীকরণের সাধারণ একটি রূপ, যা কোন প্রবাহরেখার যে কোন বিন্দুর ক্ষেত্রেই বৈধ হয়, তা নিম্নরূপ:
+{{NumBlk|:|<Big> <math> \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant} </math> </Big>|{{EquationRef|A}}|Border=|LnSty=0px dashed|RawN=}}
+যেখানে:
 {{Mvar|v}} =  প্রবাহরেখার যে কোন বিন্দুতে প্রবাহের [[দ্রুতি]],
@@ ৪৬ নং লাইন: / ৫০ নং লাইন: @@
 * [[সান্দ্রতা|সান্দ্রবল]]<nowiki/>জনিত ঘর্ষণ নগণ্য হতে হবে।
-সংরক্ষণশীল বল ক্ষেত্রগুলোতে (কেবল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়), বার্নুলি'র সমীকরণকে সাধারণভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:<blockquote><math>{v^2 \over 2} + \Psi + {p \over \rho} = \text{constant} \,</math></blockquote>যেখানে, {{mvar|Ψ}} হচ্ছে প্রবাহরেখার ওপর নির্দিষ্ট বিন্দুটির বল বিভব, উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর মহাকর্ষ বলের জন্য {{math|''Ψ'' {{=}} ''gz''}}।
+[[সংরক্ষণশীল বল|সংরক্ষণশীল বল ক্ষেত্র]]<nowiki/>গুলোতে (কেবল [[মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র|মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের]] মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়), বার্নুলি'র সমীকরণকে সাধারণভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:<blockquote><math>{v^2 \over 2} + \Psi + {p \over \rho} = \text{constant} \,</math></blockquote>যেখানে, {{mvar|Ψ}} হচ্ছে প্রবাহরেখার ওপর নির্দিষ্ট বিন্দুটির বল বিভব, উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর মহাকর্ষ বলের জন্য {{math|''Ψ'' {{=}} ''gz''}}।
+সমীকরণ ({{সমীকরণ নোট|A}})-কে প্রবাহীর ঘনত্ব {{mvar|ρ}} দ্বারা গুণ করে লেখা যায়: <blockquote><math>{1 \over 2}\rho v^2 + \rho gz + p = \text{constant} \,</math></blockquote>অথবা, <blockquote><math>q + \rho g h = p_0 + \rho g z = \text{constant} \,</math></blockquote>যেখানে,
+<math>q = \frac{1}{2}\rho v^2 \,</math>= গতিশীল চাপ (''dynamic pressure''),
+<math>h = z + {p \over \rho g}\,</math>= ''পাইজোমেট্রিক উচ্চতা'' (''piezometric head'') বা ''হাইড্রোলিক উচ্চতা'' (''hydraulic head'') (উচ্চতা {{Mvar|z}} এবং চাপীয় স্তম্ভের উচ্চতার (''pressure head'') সমষ্টি),<ref name="Mulley2004">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=LuUZ0OG6EZMC|title=Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations|last=Mulley|first=Raymond|year=2004|publisher=CRC Press|pages=43–44|isbn=978-0-8493-2767-4}}</ref><ref name="Chanson2004">{{cite book|url={{google books|id=VCNmKQI6GiEC|plainurl=yes|page=22|keywords=hydraulic head}}|title=Hydraulics of Open Channel Flow|last=Chanson|first=Hubert|year=2004|publisher=Elsevier|page=22|isbn=978-0-08-047297-3|author-link=Hubert Chanson}}</ref> এবং
+<math>p_0 = p + q\,</math>= স্থবির চাপ (''stagnation pressure''; স্থির চাপ {{Mvar|p}} এবং গতিশীল চাপ {{Mvar|q}} এর সমষ্টি)।<ref name="Oerteletal2004">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=J2NBBJDO79MC&pg=PA70|title=Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics|last2=Prandtl|first2=Ludwig|year=2004|publisher=Springer|pages=70–71|isbn=978-0-387-40437-0|first1=Herbert|last1=Oertel|first3=M.|last3=Böhle|first4=Katherine|last4=Mayes}}</ref>
+The constant in the Bernoulli equation can be normalised. A common approach is in terms of '''total head''' or '''energy head''' {{mvar|H}}:
+: <math>H = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = h + \frac{v^2}{2g},</math>
+বার্নুলি'র সমীকরণে ব্যবহৃত ধ্রুবপদের প্রমিতকরণ করা সম্ভব। এর একটি গতানুগতিক পন্থা হচ্ছে সমীকরণটিকে '''মোট উচ্চতা''' বা '''শক্তি উচ্চতা''' {{Mvar|H}} (''energy head'') এর সাপেক্ষে প্রকাশ করা: <blockquote><math>\mathbf{H} = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = h + \frac{v^2}{2g}\,;</math></blockquote>ওপরের সমীকরণ থেকে এই ধারণা লাভ করা যায় যে, প্রবাহীর এমন একটি গতিবেগ থাকে যার জন্য চাপের মান শূন্য হয়, এবং তার চেয়ে বৃহত্তর বেগে চাপ ঋণাত্মক-ও হতে পারে। অধিকাংশ ক্ষেত্রেই, গ্যাস কিংবা তরল ঋণাত্মক পরম চাপ, কিংবা শূন্য চাপ অর্জনে সক্ষম হয় না; সুতরাং পরিষ্কারভাবেই, শূন্য চাপ অর্জনের পূর্বেই বার্নুলি'র সমীকরণ বৈধতা হারিয়ে ফেলে। তরলের ক্ষেত্রে - যেখানে চাপ খুব কম থাকে, সেখানে ''গহ্বরায়ন'' (''cavitation''){{Refn|গহ্বরায়ন হচ্ছে এমন একটি ঘটনা যেখানে তরলে চাপের দ্রুত পরিবর্তনের ফলস্বরূপ তুলনামূলকভাবে নিম্নচাপ অঞ্চলে বাষ্পপূর্ণ গহ্বর গঠিত হয়।|group=টীকা}} দেখা যায়। ওপরের সমীকরণটি প্রবাহ বেগের বর্গ এবং চাপের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক ব্যবহার করে। গ্যাসে উচ্চতর প্রবাহ বেগের ক্ষেত্রে, অথবা তরল মাধ্যমে [[শব্দ]] তরঙ্গের ক্ষেত্রে, প্রবাহীর ভর ঘনত্বের উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন ঘটে বলে, ঘনত্ব ধ্রুব থাকে বলে যে অনুমান করা হয় সেটা আর প্রযোজ্য হয় না।
 == আরও দেখুন ==