সারাংশ

বিবরণLine integral of scalar field.gif	English: Line integral of a scalar field, f. The area under the curve C, traced on the surface defined by z = f(x,y), is the value of the integral. See full description. فارسی: انتگرال خطی یک میدان اسکالر f. مقدار انتگرال مساحت زیر منحنی C تعریف شده توسط سطح (z = f(x,y است. Français : L′intégrale curviligne d′un champ scalaire, f. L′aire sous la courbe C, tracée sur la surface définie par z = f(x,y), est la valeur de l'intégrale. Italiano: Integrale di linea di un campo scalare, f. Il valore dell'integrale è pari all'area sotto la curva C, tracciata sulla superficie definita da z = f(x,y). Русский: Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле.
তারিখ	২৪ জুলাই ২০১২
উৎস	নিজের কাজ
লেখক	Lucas Vieira
অনুমতি (এ ফাইলের পুনঃব্যবহার)	Public domainPublic domainfalsefalse আমি, এই কাজের স্বত্বাধিকারী, এতদ্দ্বারা আমি এই কাজকে পাবলিক ডোমেইন লাইসেন্সের আওতায় প্রকাশ করলাম। এটি বিশ্বব্যাপী প্রযোজ্য হবে। কিছু দেশে এটি আইনত সিদ্ধ নাও হতে পারে, যদি তাই হয়: আমি যে-কাউকে এই কাজটি যেকোনো উদ্দেশ্যে, বিনাশর্তে ব্যবহারের অনুমতি প্রদান করছি, যদি না সেই শর্তগুলো আইনত প্রয়োজনীয় হয়।
অন্যান্য সংস্করণ	Video version, higher resolution, longer pauses Line integral of a vector field Static version of this abstract scalar field, with scale

মূল্যায়ন

এই ফাইলটি বছরের নির্বাচিত ছবি ২০১২ প্রতিযোগিতা চূড়ান্ত তালিকাভুক্ত হয়েছিল। এটি উইকিমিডিয়া কমন্সের একটি নির্বাচিত ছবি (বিষয়ভিত্তিক ছবি) এবং এটিকে অন্যতম সেরা ছবি হিসাবে বিবেচনা করা হয়।  এটি ইংরেজি ভাষার উইকিপিডিয়ার একটি নির্বাচিত ছবি (Featured pictures) এবং এটিকে অন্যতম সেরা ছবি হিসাবে বিবেচনা করা হয়।  এটি ফার্সি ভাষার উইকিপিডিয়ার একটি নির্বাচিত ছবি (نگاره‌های برگزیده) এবং এটিকে অন্যতম সেরা ছবি হিসাবে বিবেচনা করা হয়। যদি আপনার কাছে একই মানের চিত্র থাকে যা উপযুক্ত কপিরাইট লাইসেন্সে প্রকাশ করা যায় তাহলে, সেটি আপলোড করুন, ট্যাগ করুন, এবং মনোনীত করুন।

এই ছবিটি উইকিমিডিয়া কমন্সে ১১ এপ্রিল ২০১৩-এর আজকের নির্বাচিত ছবি হিসেবে নির্বাচিত হয়েছে। নিম্নে এর ক্যাপশন রয়েছে: English: Line integral of a scalar field, f. The area under the curve C, traced on the surface defined by z = f(x,y), is the value of the integral. অন্যান্য ভাষা: Deutsch: Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld, f. Das Gebiet unter der Kurve C, abgetragen auf die Oberfläche definiert von z = f(x,y), ist der Wert des Integrals. English: Line integral of a scalar field, f. The area under the curve C, traced on the surface defined by z = f(x,y), is the value of the integral. Français : L′intégrale curviligne d′un champ scalaire, f. L′aire sous la courbe C, tracée sur la surface définie par z = f(x,y), est la valeur de l'intégrale. Italiano: Integrale di linea di un campo scalare, f. Il valore dell'integrale è pari all'area sotto la curva C, tracciata sulla superficie definita da z = f(x,y). Magyar: Az f skalártér vonal menti integrálja. Az integrál értéke a z=f(x,y) függvénnyel definiált C görbe alatti terület. Nederlands: Lijnintegraal van een scalair veld, f. Het gebied onder de curve C, getraceerd op het vlak gedefinieerd door z = f(x,y), is de waarde van de integraal. 한국어: 선적분의 스칼라장, f. 적분의 값은 z = f(x,y)에 의해 표면에 정의된 값을 따라서 그린 곡선 C 아래의 면적이다. 中文： 标量场的曲线积分，曲线C下面的区域表面积分值定义为z = f(x,y)。

Full description (English)

A scalar field has a value associated to each point in space. Examples of scalar fields are height, temperature or pressure maps. In a two-dimensional field, the value at each point can be thought of as a height of a surface embedded in three dimensions. The line integral of a curve along this scalar field is equivalent to the area under a curve traced over the surface defined by the field.

In this animation, all these processes are represented step-by-step, directly linking the concept of the line integral over a scalar field to the representation of integrals familiar to students, as the area under a simpler curve. A breakdown of the steps:

1. The color-coded scalar field f and a curve C are shown. The curve C starts at a and ends at b
2. The field is rotated in 3D to illustrate how the scalar field describes a surface. The curve C, in blue, is now shown along this surface. This shows how at each point in the curve, a scalar value (the height) can be associated.
3. The curve is projected onto the plane XY (in gray), giving us the red curve, which is exactly the curve C as seen from above in the beginning. This is red curve is the curve in which the line integral is performed. The distances from the projected curve (red) to the curve along the surface (blue) describes a "curtain" surface (in blue).
4. The graph is rotated to face the curve from a better angle
5. The projected curve is rectified (made straight), and the same transformation follows on the blue curve, along the surface. This shows how the line integral is applied to the arc length of the given curve
6. The graph is rotated so we view the blue surface defined by both curves face on
7. This final view illustrates the line integral as the familiar integral of a function, whose value is the "signed area" between the X axis (the red curve, now a straight line) and the blue curve (which gives the value of the scalar field at each point). Thus, we conclude that the two integrals are the same, illustrating the concept of a line integral on a scalar field in an intuitive way.