সম-বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
সম
সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন
সম-বিন্যাসের ঘনত্ব ফাংশন (প্রান্তে সর্ব্বোচ্চমান ধরা হয়েছে)
(প্রান্তে সর্ব্বোচ্চমান ধরা হয়েছে)
ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন
সম-বিন্যাসের ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন
পরামিতি a,b \in (-\infty,\infty)
ব্যবধি a \le x \le b
সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন 
    \begin{matrix}
    \frac{1}{b - a} & \mbox{for }a < x < b \\  \\
    0 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b
    \end{matrix}
ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন (সিডিএফ) 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{for }a \le x < b \\
    1 & \mbox{for }x \ge b
    \end{matrix}
গড় \frac{a+b}{2}
মধ্যমা \frac{a+b}{2}
প্রচুরক any value in [a,b]
ভেদাঙ্ক \frac{(b-a)^2}{12}
বঙ্কিমতা 0
সূচালতা -\frac{6}{5}
এন্ট্রপি \ln(b-a)
পরিঘাত উৎপাদক ফাংশন \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
বৈশিষ্ট্য ফাংশন \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}

অবিচ্ছিন্ন সম-বিন্যাস (continuous uniform distribution) সম্ভাবনার এমন একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস, যার যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধির (interval) সম্ভাবনা সমান। সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলক যদি কেবল a হতে b এর মাঝে মান নেয়, যেখানে a < b, তবে সম-বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) হবে:


  f(x)=\left\{\begin{matrix}
  \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a < x < b, \\  \\
  0 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b, \\  \\
  \mathrm{see}\ \mathrm{below} & \ \ \ \mbox{for }x=a \mbox{ or }x=b.
  \end{matrix}\right.

ঘনত্ব অপেক্ষকের মান ab তে একেকক্ষেত্রে একেক রকম ধরা হয়, কখনো শূন্য, কখনো 1/(b − a), কোনো কোনো ক্ষেত্রে 1/(2(b − a))। এই দুই প্রান্তিক মানের কারণে f(x) dx বা x f(x) dx এর সমাকলন মানে কোনো পরিবর্তন হয় না বিধায় f(a)f(b) সাধারণত অগুরুত্বপূর্ণ।

ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন (Cumulative Distribution Function)[সম্পাদনা]

সম-বিন্যাসের ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন হল:


  F(x)=\left\{\begin{matrix}
  0 & \mbox{for }x < a \\
  \frac{x-a}{b-a} & \ \ \ \mbox{for }a \le x < b \\
  1 & \mbox{for }x \ge b
  \end{matrix}\right.

'সমতা'[সম্পাদনা]

সম-বিন্যাসের 'সমতা'-র নিহিতার্থ হল - সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলকের যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান। যদি X \sim \; \mbox{U}(a,b) হয় এবং d\,\! যদি \left [ a,b \right ] এর একটি ধ্রুব অনুব্যবধি (subinterval) হয়, যেখানে d \ge 0, তাহলে X\,\!-এর যেকোনো d\,\! দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা -


\begin{matrix}
  P\left(X\in\left [ x,x+d \right ]\right)
&  = & \int_{x}^{x+d} 1/(b-a)\, dy \\
&  = & ((x+d)-x)/(b-a) \\
&  = & d/(b-a)
\end{matrix}

হবে, যা ধ্রুব। অতএব - যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান।

পরিমিত সম-বিন্যাস[সম্পাদনা]

সম-বিন্যাসের a = 0 ও b = 1 হলে তাকে পরিমিত সম-বিন্যাস বলে। পরিমিত সম-বিন্যাসের একটি বৈশিষ্ট্য হল, যদি U1 পরিমিত সম-বিন্যস্ত একটি দৈব চলক হয়, অর্থাৎ -

U_1 \sim \; \mathrm{UNIFORM}(0,1)

তাহলে 1-U1 ও সমভাবে বিন্যস্ত হবে, অর্থাৎ -

1 - U_1 \sim \; \mathrm{UNIFORM}(0,1)

অন্যান্য বিন্যাসের সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]