মন্টি হল সমস্যা

একটি নতুন গাড়ি জিততে খেলোয়াড়কে একটি দরজা বাছাই করতে হবে। ধরা যাক, তিনি দরজা 1 পছন্দ করলেন। তখন অনুষ্ঠান উপস্থাপক বাকি দরজাগুলোর একটি উন্মুক্ত করেন, ধরা যাক দরজা 3, যা থেকে ছাগল পাওয়া যায় এবং খেলোয়াড়কে দরজা 1 এর বদলে দরজা 2 পছন্দ করতে প্ররোচিত করে।

মন্টি হল সমস্যা হল একটি সম্ভাবনার ধাঁধাঁ যা মার্কিন টেলিভিশন গেম শো লেট'স মেক এ ডিল এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে। হেঁয়ালিটির নামকরণ হয়েছে অনুষ্ঠানটির উপস্থাপক মন্টি হিলের নামে। সমস্যাটি মন্টি হল হেঁয়ালি নামেও পরিচিত, কারণ এর প্রকৃত ফলাফল অসম্ভব মনে হলেও প্রকৃতপক্ষে সত্য।

সমস্যাটির একটি বহু পরিচিত বিবৃতি পাওয়া যায় প্যারেড ম্যাগাজিনে:

ধরুন আপনি একটি গেম শোতে অংশ নিচ্ছেন, এবং আপনাকে তিনটি দরজা থেকে একটি পছন্দ করতে হবে: এর একটি দরজার পেছনে আছে একটি নতুন গাড়ি, বাকিগুলোর পেছনে ছাগল। ধরা যাক, আপনি পছন্দ করলেন ১ নং দরজা। এবং অনুষ্ঠান সঞ্চালক, যে কিনা জানে কোন দরজার পেছনে কী আছে, খোলে আরেকটি দরজা, ধরা যাক ৩ নং দরজা, যার পেছনে আছে ছাগল। সে তখন আপনা কে বলে, আপনি কি ২ নং দরজা বাছাই করতে চান? আপনি কি দরজা পরিবর্তন করলে কোন সুবিধা পাবেন? (Whitaker 1990)

যেহেতু খেলোয়াড় নিশ্চিত হতে পারেন না যে অবশিষ্ট দুইটি দরজার কোনটির পেছনে গাড়িটি আছে, বেশির ভাগ লোকই ধারণা করেন যে প্রতিটি দরজার সম্ভাবনাই সমান এবং সিদ্ধান্তে পৌঁছান যে পছন্দ পরিবর্তন করলেও সম্ভাবনার কোন পরিবর্তন ঘটবে না। প্রকৃতপক্ষে সম্ভাবনা তত্ত্ব আনুসারে খেলোয়াড়ের পছন্দ পরিবর্তন করা উচিত—কারণ এর মাধ্যমে তার গাড়ি জয়ের সম্ভাবনা দ্বিগুণ হয়ে যায়, অর্থাৎ ১/৩ থেকে তা ২/৩ এ উন্নীত হয়।

যখন এ সমাধানটি প্যারেডে প্রকাশিত হয়, আনুমানিক প্রায় ১০,০০০ পাঠক, যার মধ্যে আবার ১,০০০ জন পিএইচডি, ম্যাগাজিনে চিঠি লিখে দাবি করেন সমাধানটি ভুল। আদর্শ মন্টি হল সমস্যা গাণিতিকভাবে তিন কয়েদীর সমস্যার সমতুল্য। এ দুটি এবং এ সংক্রান্ত অন্যান্য সমস্যা, যাতে সম্ভাবনা অসমান বন্টন জড়িত, তা সাধারণ মানুষের পক্ষে সমাধান করা বেশ দুরূহ, এবং গাণিতিক দক্ষতা বিহীন মানুষ সমস্যাটি কেমন করে চিন্তা করে তা নিয়ে অনেক মানসিক পরীক্ষা-নিরীক্ষাও সম্পাদিত হয়েছে। এমনকি সকল ব্যাখ্যা ও প্রমাণ সহ উপস্থাপন সত্ত্বেও অনেক মানুষ মন্টি হল সমস্যার সঠিক সমাধানটি বিশ্বাস করতে পারেন না।

জনপ্রিয় সমাধান

১. উপস্থাপক উদঘাটন করেন কোন একটি ছাগল খেলোয়াড় বাছাই করে গাড়ি (সম্ভাবনা ১/৩) পছন্দ পরিবর্তন করলে হেরে যান ২. উপস্থাপককে অবশ্যই ছাগল B দেখাতে হবে খেলোয়াড় বাছাই করে ছাগল A (সম্ভাবনা ১/৩) পছন্দ পরিবর্তন করলে জয়ী হন ৩. উপস্থাপককে অবশ্যই ছাগল A দেখাতে হবে খেলোয়াড় বাছাই করে ছাগল B (সম্ভাবনা ১/৩) পছন্দ পরিবর্তন করলে জয়ী হন

প্রাথমিক বাছাইয়েরসময় খেলোয়াড়ের গাড়ি, ছাগল বা ছাগল জেতার সম্ভাবনা সমান থাকে। পরবর্তীতে পছন্দ পরিবর্তন করলে গাড়ি জয়ের সম্ভাবনা ২/৩ হয়ে যায়।

খেলোয়াড়েরর পছন্দের জয়ের সম্ভাবনা 1/3 যখন অপর দুটি দরজা ওঠার সম্ভাবনা 2/3।

খেলোয়াড়ের পছন্দ ওঠার সম্ভাবনা 1/3, অপর দুটি দরজার সম্ভাবনা 2/3 যা ভাগ হয়ে গিয়ে এখনো না খোলা দরজার জন্যে রয়ে যায় 2/3 সম্ভাবনা এবং উপস্থাপক যে দরজাটি খুলেছে তার জন্যে 0 সম্ভাবনা।

তথ্যসূত্র

• Adams, Cecil (1990)."On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2—no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", The Straight Dope, (November 2, 1990). Retrieved July 25, 2005.
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17(2): 89–94.
• Barbeau, Edward (1993). "Fallacies, Flaws, and Flimflam: The problem of the Car and Goats". The College Mathematics Journal 24(2): 149-154.
• Barbeau, Edward (2000). Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam. The Mathematical Association of America. ISBN 0-8838-5529-1.

Behrends, Ehrhard (2008). Five-Minute Mathematics. প্রকাশক: AMS Bookstore. p. 57. আইএসবিএন 9780821843482. http://books.google.com/books?id=EpkyE6JFmkwC&pg=PA48&dq=monty-hall+door-number&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=fI3iSeqLLo_ElQTmzq2fDQ#PPA57,M1. 

Bloch, Andy (2008). 21 - The Movie (my review). http://www.andybloch.com/gl/pub/article.php?story=2008031308241327। সংগৃহীত হয়েছে: 2008-05-05. 

• Chun, Young H. (1991). "Game Show Problem," OR/MS Today 18(3): 9.
• D'Ariano, G.M et al. (2002). "The Quantum Monty Hall Problem" (PDF). Los Alamos National Laboratory, (February 21, 2002). Retrieved January 15, 2007.

Devlin, Keith (July – August 2003). Devlin's Angle: Monty Hall. প্রকাশক: The Mathematical Association of America. http://www.maa.org/devlin/devlin_07_03.html। সংগৃহীত হয়েছে: 2008-04-25. 

"The Monty Hall puzzle". The Economist (The Economist Newspaper) খণ্ড: 350: p. 110. 1999. http://books.google.com/books?id=H3vPAAAAIAAJ&q=goat-b+goat-a&dq=goat-b+goat-a&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=yTLhSbvzJYuIkASxlsinDQ&pgis=1. 

• Falk, Ruma (1992). "A closer look at the probabilities of the notorious three prisoners," Cognition 43: 197–223.
• Flitney, Adrian P. and Abbott, Derek (2002). "Quantum version of the Monty Hall problem," Physical Review A, 65, Art. No. 062318, 2002.
• Fox, Craig R. and Levav, Jonathan (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability," Journal of Experimental Psychology: General 133(4): 626-642.
• Gardner, Martin (1959a). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Gardner, Martin (1959b). "Mathematical Games" column, Scientific American, November 1959, p. 188.
• Gill, Jeff (2002). Bayesian Methods, pp. 8–10. CRC Press. ISBN 1-5848-8288-3.
• Gill, Richard (2009a) Probabilistic and Game Theoretic Solutions to the Three Doors Problem, prepublication, http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/threedoors.pdf.
• Gill, Richard (2009b) Supplement to Gill (2009a), prepublication, http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/quizmaster2.pdf
• Gillman, Leonard (1992). "The Car and the Goats," American Mathematical Monthly 99: 3–7.
• Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.
• Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711-729.

Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie (2006-07-04) (PDF). Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, published by the American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell.. http://www.math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf। সংগৃহীত হয়েছে: 2008-04-02. 

• Hall, Monty (1975). The Monty Hall Problem. LetsMakeADeal.com. Includes May 12, 1975 letter to Steve Selvin. Retrieved January 15, 2007.
• Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003). "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser," Journal of Experimental Psychology: General 132(1). Retrieved from www.usd.edu March 30, 2008.

Mack, Donald R. (1992). The Unofficial IEEE Brainbuster Gamebook. প্রকাশক: Wiley-IEEE. p. 76. আইএসবিএন 9780780304239. http://books.google.com/books?id=hcy9mQp83dEC&pg=PA18&dq=%22monty+hall+problem%22&lr=&as_drrb_is=b&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=1995&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=MqDVSYDkHpeSkASZvbi-Bg#PPA76,M1. 

Magliozzi, Tom; Magliozzi, Ray (1998). Haircut in Horse Town: & Other Great Car Talk Puzzlers. প্রকাশক: Diane Pub Co.. আইএসবিএন 0-7567-6423-8. 

• Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May–June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.

Martin, Robert M. (2002). There are two errors in the the title of this book (2nd সম্পাদিত). প্রকাশক: Broadview Press. p. 57–59. আইএসবিএন 9781551114934. http://books.google.com/books?id=d6w6Wyp5cyUC&pg=PA57&dq=monty-hall+door-number&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=fI3iSeqLLo_ElQTmzq2fDQ#PPA59,M1. 

• Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284-287.
• Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved July 5, 2005.
• Nalebuff, Barry (1987). "Puzzles: Choose a Curtain, Duel-ity, Two Point Conversions, and More," Journal of Economic Perspectives 1(2): 157-163 (Autumn, 1987).
• Rosenthal, Jeffrey S. (September 2008), "Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl", Math Horizons: 5–7, http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf 
• Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1): 67 (February 1975).
• Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3): 134 (August 1975).
• Seymann R. G. (1991). "Comment on Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 287-288.
• Stibel, Jeffrey, Dror, Itiel, & Ben-Zeev, Talia (2008). "The Collapsing Choice Theory: Dissociating Choice and Judgment in Decision Making," Theory and Decision. Full paper can be found at http://users.ecs.soton.ac.uk/id/TD%20choice%20and%20judgment.pdf.
• Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times, 1991-07-21. Retrieved on 2008-01-18.
• Tierney, John (2008). "And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw", The New York Times, 2008-04-08. Retrieved on 2008-04-08.
• vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).
• vos Savant, Marilyn (1991). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991).

vos Savant, Marilyn (1996). The Power of Logical Thinking. প্রকাশক: St. Martin's Press. আইএসবিএন 0-312-15627-8. http://books.google.com/books?id=pgQQv8W_IgIC&pg=PA5&dq=%22monty+hall+paradox%22+inauthor:savant&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=aETYSZDDDoWqlQSIgMHlAg#PPA6,M1. 

• vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 6 (26 November 2006).

Schwager, Jack D. (1994). The New Market Wizards. প্রকাশক: Harper Collins. p. 397. আইএসবিএন 9780887306679. http://books.google.com/books?id=Ezz_gZ-bRzwC&pg=PA397&dq=three-doors+monty-hall&lr=&as_drrb_is=b&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=12&as_maxy_is=1994&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=qRTYSZOjLIzOkATFw_HwAg. 

Williams, Richard (2004). Appendix D: The Monty Hall Controversy (PDF). Course notes for Sociology Graduate Statistics I. http://www.nd.edu/~rwilliam/stats1/appendices/xappxd.pdf। সংগৃহীত হয়েছে: 2008-04-25. 

Wheeler, Ward C. (1991). Congruence Among Data Sets: A Bayesian Approach. in Michael M. Miyamoto and Joel Cracraft. Phylogenetic analysis of DNA sequences. প্রকাশক: Oxford University Press US. p. 335. আইএসবিএন 9780195066982. http://books.google.com/books?id=1wqvNgz58JQC&pg=PA335&dq=%22monty+hall%22+unchanged+switch&lr=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=FsnSSYeXFo7skwT64ezkCQ. 

• Whitaker, Craig F. (1990). [Letter]. "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).

বহিঃসংযোগ

উইকিবই প্রকল্পে নিম্নের বিষয়ের উপরে সহায়িকা, বই, বা তথ্য রয়েছে:

Simulation/Monty Hall problem

• The Game Show Problem–the original question and responses on Marilyn vos Savant's web site
• Monty Hall - উন্মুক্ত নির্দেশিকা প্রকল্প
• "Monty Hall Paradox" by Matthew R. McDougal, The Wolfram Demonstrations Project (simulation)
• The Monty Hall Problem at The New York Times (simulation)