ফিবোনাচ্চি রাশিমালা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

ফিবোনাচ্চি রাশিমালা (Fibonacci series) শুধুমাত্র গণিত নয় বরং প্রকৃতিরও অনেক রহস্যে উন্মোচন ঘটাতে সক্ষম বলে অনেকের ধারণা। স্বয়ং ফিবোনাচ্চি রাশিমালার আবিষ্কারক ত্রয়োদশ শতাব্দীর বিখ্যাত গণিতবিদ Leonardo Da Pisa (ডাকনাম Fibonacci) বলে গেছেন, "প্রকৃতির মূল রহস্য এ রাশিমালাতে আছে"। ফিবোনাচ্চি হল আসলে একটা সিম্পল সিরিজ নাম্বার। এ সিরিজটি শুরু হয় ০ থেকে এবং সিরিজের পরবর্তী সংখ্যা গুলো প্রতিটি তার পূর্ববর্তী দুইটি সংখ্যার যোগফল।

The Fibonacci numbers are the sums of the "shallow" diagonals (shown in red) of Pascal's triangle.

রাশিমালা ও বৈশিষ্ট্য[সম্পাদনা]

  • এই শ্রেণীর যে কোন সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান। যেমনঃ
০+১=১,
১+১=২,
২+১=৩,
৩+২=৫,
৫+৩ =৮, … … … ইত্যাদি।

গাণিতিক রাশিমালার সাহায্যে বলা যায়ঃ

F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\!\,

ঠিক বিপরীতভাবে যেকোন সংখ্যা তার পরবর্তী দুটি সংখ্যার বিয়োগফলের সমান। অর্থাৎ

F_{n-2} = F_n - F_{n-1},
  • ফিবোনাচ্চি রাশিমালার প্রথম ২১ টি রাশি হলঃ
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
১৩ ২১ ৩৪ ৫৫ ৮৯ ১৪৪ ২৩৩ ৩৭৭ ৬১০ ৯৮৭ ১৫৯৭ ২৫৮৪ ৪১৮১ ৬৭৬৫
  • এই শ্রেণীর যেকোন চারটি সংখ্যা নেওয়া হলে প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার যোগফল থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার যোগফল বিয়োগ দিলে সবসময় ওই চারটি সংখ্যার প্রথমটি পাওয়া যাবে। যেমনঃ আমরা ফিবোনাচ্চি শ্রেণী থেকে পরপর যেকোন চারটি সংখ্যা ৫, ৮, ১৩, ২১ নেওয়া হলে,
প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার যোগফল= ৫+২১=২৬
দ্বিতীয় ও তৃতীয় যোগফল= ৮+১৩=২১
বিয়োগফল= ২৬-২১=৫ (ওই চারটি সংখ্যার প্রথম সংখ্যা)
  • এই শ্রেণীর যেকোন পাঁচটি সংখ্যা নেওয়া হলে প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার গুনফল থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল বিয়োগ দিলে সবসময় বিয়োগফল ১ বা -১ হবে। যেমনঃ আমরা ফিবোনাচ্চি শ্রেণী থেকে পরপর যেকোন পাঁচটি সংখ্যা ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪ নেওয়া হলে,
প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার গুনফল= ৫*২১=১০৫
দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুনফল= ৮*১৩=১০৪
বিয়োগফল= ১০৫-১০৪=১

আবার,

দ্বিতীয় ও পঞ্চম সংখ্যার গুনফল= ৮*৩৪=২৭২
তৃতীয় ও চতুর্থ সংখ্যার গুনফল= ১৩*২১=২৭৩
বিয়োগফল= ২৭২-২৭৩=-১
  • এবার ফিবোনাচ্চি শ্রেণীর সংখ্যাগুলির একক অঙ্কের সংখ্যাগুলিও ফিবোনাচ্চি শ্রেণীকে অনুসরণ করে। যেমনঃ

, ২, ৩, ৫, ৮, ১৪, ২৩, ৩৭, ৬১, ৯৮,………………. শ্রেণীর একক অঙ্কের সংখ্যা ৩, ১, ৪, ৫, ৯, ৪, ৩, ৭, ০, ৭, …………………… ফিবোনাচ্চি শ্রেণীকে অনুসরণ করছে।

  • ফিবোনাচ্চি শ্রেণীর প্রতি ৬০টি সংখ্যার পর এককের ঘরে এই সংখ্যাগুলির পুনরাবৃত্তি ঘটে, যেমনঃ
৬০ তম সংখ্যা= ১৫৪৮০০৮৭৫৫৯২
৬১ তম সংখ্যা= ২৫০৪৭৮০৭৮১৯৬
৬২ তম সংখ্যা= ৪০৫২৭৩৯৫৩৭৮৮
৬৩ তম সংখ্যা= ৬৫৫৭৪৭০৩১৯৮৪
৬৪ তম সংখ্যা= ১০৬১০২০৯৮৫৭৭২
৬৫ তম সংখ্যা= ১৭১৬৭৬৮০১৭৭৫৬

মেট্রিক্স গুন প্রয়োগ করে উচ্চতর রাশি নির্ণয়[সম্পাদনা]

উপরের আলোচনা থেকে আমরা পাই

F_{2} = F_{1} + F_{0}
F_{1} = F_{1} + 0

যা মেট্রিক্স আকারে প্রকাশ করলে

\begin{bmatrix}F_{2} \\ F_{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}F_{1} \\ F_{0}\end{bmatrix}

একই ভাবে আমরা দেখাতে পারি

\begin{bmatrix}F_{3} \\ F_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}F_{2} \\ F_{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}F_{1} \\ F_{0}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^2 \times \begin{bmatrix}F_{1} \\ F_{0}\end{bmatrix}

উপরের ফলাফল থেকে আমরা এই রাশিমালার উচ্চতর সংখ্যার সাধারণ প্রকাশ করতে পারি

\begin{bmatrix}F_{n+1} \\ F_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n \times \begin{bmatrix}F_{1} \\ F_{0}\end{bmatrix}

প্রয়োগ[সম্পাদনা]

  1. সূর্যমুখী ফুলের পাপড়ির বিন্যাস
  2. শামুকের স্পাইরাল তথা প্যাঁচ। যেমন: নটিলাস ঝিনুকের খোল, পাইন গাছের মোচা।
  3. মৌমাছির পরিবার তন্ত্র
  4. ফুলকপির বিন্যাসে
  5. বিভিন্ন গাছের শাখা বিন্যাসে

ফিবোনাচ্চি রাশিমালার ধারনাকেন্দ্রিক গ্রন্থ[সম্পাদনা]