কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব

আর্থার কেলি (১৮২১–১৮৯৫)

উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন (১৮০৫–১৮৬৫)

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব হচ্ছে আর্থার কেলি ও উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

যদি A একটি প্রদত্ত n × n ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং I_n  যদি n × n ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে: $p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$। এখানে det হচ্ছে নির্ণায়ক এবং λ একটি চলক। যেহেতু $(\lambda I_{n}-A)$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো λ এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে λ এর এক চলক বিশিষ্ট n-ঘাতী বহুপদী, $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda +c_{0}~$। A ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক λ-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী $p_{A}(A)$ তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় $p_{A}(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}~$। কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ $p_{A}(A)=\mathbf {0}$।

উদাহরণ

১ × ১ ম্যাট্রিক্স

১ × ১ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স A = (a) এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ − a, আর তাই p(A) = (a) − a(1) = 0

২ × ২ ম্যাট্রিক্স

উদাহরণস্বরূপ, ধরি

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$।

এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী

$p(\lambda )=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি সঙ্গায়িত করা হয়

$p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},$

তখন

$p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$।

আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি,

$A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$

সাধারণভাবে কোনো ২ × ২ ম্যাট্রিক্স,

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ² − (a + d)λ + (ad − bc)। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে

$p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}};$

প্রমাণ
$A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}$ $={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}$ $={\begin{pmatrix}bc-ad&0\\0&bc-ad\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}$ $={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$

বহিঃসংযোগ

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Cayley–Hamilton theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• "Proof of Cayley-Hamilton theorem by formal substitutions"। প্ল্যানেটম্যাথ (ইংরেজি ভাষায়)। 
• "The Cayley–Hamilton theorem"। ম্যাথপেইজেস (ইংরেজি ভাষায়)।