ইউক্লিডের এলিমেণ্টস

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

The frontispiece of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570

ইউক্লিডের এলিমেণ্টস (গ্রিক: Στοιχεῖα) হল ইউক্লিড রচিত একটি গাণিতিক ও জ্যামিতিক গ্রন্থসমগ্র, ১৩ খণ্ডবিশিষ্ট গ্রন্থসমগ্র । বইটি আলেক্সানড্রিয়ায় প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ সালে রচিত। এতে রয়েছে সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ, সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত এবং বিভিন্ন প্রস্তাবনার গাণিতিক প্রমাণ। এই ১৩টি বইয়ে অন্তর্ভূক্ত রয়েছে ইউক্লিডিয় জ্যামিতি এবং সংখ্যাতত্ত্বের প্রাচীন গ্রীক সংস্করণ। ‘এলিমেণ্টস’ হল এখনো টিকে থাকা গণিতের প্রাচীনতম নিদর্শন, এবং যুক্তিবিদ্যা ও আধুনিক বিজ্ঞানের বিকাশের অন্যতম প্রধান সহায়ক। ইউক্লিডের এলিমেণ্টস বইটি ইতিহাসের সবচেয়ে সফল পাঠ্যপুস্তক।^[১] ^[২]ছাপাখানা আবিষ্কারের পর সর্বপ্রথম মূদ্রিত হওয়া বইগুলোর মধ্যে এটি অন্যতম, এবং ১০০০ এরও বেশিসংখ্যকবার^[৩] মুদ্রিত হবার জন্য মুদ্রণ সংখ্যার দিক থেকে বাইবেলের পরে দ্বিতীয়।^[৪] বইটি প্রায় ২০০০ বছর ধরে জ্যামিতির শিক্ষায় মূল্য পাঠ্য হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে।^[৫]^[৬] বহু শতাব্দী ধরে, যখন বিশ্ববিদ্যালয়ের পাঠ্যসূচীতে কোয়াড্রিভিয়াম অন্তর্ভূক্ত হয়, তখন এলিমেণ্টসের অন্তত একটি অংশের পাঠ সকল ছাত্রদের জন্য বাধ্যতামূলক ছিল।^{[citation needed]} বিংশ শতকের আগ পর্যন্ত সমস্ত শিক্ষিত সম্প্রদায়ই এ বইটি পড়েছে বলে ধরে নেয়া হয়।^{[citation needed]}

[সম্পাদনা] ইতিহাস

The frontispiece of Adelard of Bath's Latin translation of Euclid's Elements, c. 1309–1316

ইউক্লিড ছিলেন একজন হেলেনিস্টিক গণিতবিদ যিনি আলেক্সানড্রিয়া থেকে এলিমেণ্টস রচনা করেন খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ শতকের কাছাকাছি সময়ে। বিশেষজ্ঞদের মতে, ‘এলিমেণ্টস’ মূলত অন্যান্য গণিতবিদ কর্তৃক প্রমাণিত সূত্রের সংকলন যাতে ইউক্লিডের কিছু মৌলিক কাজও রয়েছে। প্রোক্লাস, যিনি ইউক্লিডের বেশ কিছু শতাব্দী পরবর্তী একজন গ্রিক গণিতবিদ ছিলেন, এলিমেণ্টস সম্পর্কে তার মন্তব্যে বলেছেন, ইউক্লিড যিনি এলিমেণ্টস একত্রিত করেছেন, তিনি ইউডক্সাসের অনেক উপপাদ্য সংগ্রহ করেছেন, থিয়েইটেটাসের অনেকগুলো ত্রুটিমূক্ত করেছেন, এবং অনেক অলঙ্ঘনীয় বর্ণনা দিয়েছেন তার বয়:র্জেষ্ঠরা দূর্বলভাবে প্রমাণ করেছেন।

ইউক্লিডের প্রোক্লোখ্যাত শিষ্যদের প্রকাশিত একটি সংস্করণ আরবি ভাষায় অনুবাদ করা হয় বিজানটিয়াম কর্তৃক আরবীয়দের কাছে পৌছানোর পর এবং সেই অনুবাদ থেকে পরে ল্যাটিন ভাষায় অনূদিত হয়। প্রথম মুদ্রিত সংস্করণ প্রকাশিত হয় ১৪৮২ সালে ([[জিওভান্নি ক্যাম্পানোর ১২৬০ সালের সংস্করণের উপর ভিত্তি করে), তখন থেকে এটি বহুভাষায় অনূদিত হয় এবং প্রায় সহস্রাধিক মূদ্রণ প্রকাশিত হয়। ১৫৭০ সালে জন ডি ব্যাপকভাবে প্রশংসিত “ম্যাথমেটিকাল প্রিফেস” এর সাথে সম্পুরক উপাদান যুক্ত করেন যা হেনরি বিলিংসলির প্রথম ইংরেজি সংস্করণে প্রকাশিত হয়।

গ্রিক গ্রন্থের কপি সংরক্ষিত আছে, ভ্যাটিকান লাইব্রেরি এবং অক্সফোর্ডএর বডলিয়ান লাইব্রেরিতে। এলিমেণ্টস থেকে সরাসরি গৃহীত লিপিসমূহ এবং অন্যান্য গাণিতিক সূত্রসমূহ যা বইটি লেখার সময়ে প্রচলিত ছিল তা এজন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এমন বিশ্লেষণ পাওয়া যায় জে. এল. হাইবার্গ ও স্যার টমাস লিটল হিথএর সংস্করণের লিপিতে। স্কলিয়া বা মূললিপির ব্যাখ্যাসমূহও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই বাড়তি অংশসমূহ, যেগুলো প্রায়শই মূল রচনা থেকে তাদের স্বাতন্ত্র্য প্রকাশ করে, বহুবছর ধরে সংযোজিত হয়েছে কোন জটিল জিনিষ ব্যাখ্যা করার প্রয়োজনীয়তা থেকে। এর কিছু অংশ গুরুত্বপূর্ণ হলেও অনেক অংশেরই কোন গুরুত্ব নেই।

[সম্পাদনা] ইউক্লিডের উপাদান সমূহের রুপখা

A proof from Euclid's Elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.

এলিমেণ্টসকে এখনো গণিতশাস্ত্রে যুক্তিবিদ্যা প্রয়োগ করার জন্য বিশেষায়িত করা হয় এবং ঐতিহাসিকভাবে এটি বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখাকে ব্যাপকভাবে প্রভাবিত করেছে। বইটির প্রভাব সম্পর্কে জোর দিয়ে কিছু বলা কঠিন। বিগ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি, নিকোলাস কোপারনিকাস, জোহানেস কেপলার এবং বিশেষভাবে আইজাক নিউটন সবাই এলিমেণ্টস দ্বারা প্রভাবিত হয়েছিলেন এবং বইটি থেকে লব্ধ গ্ঞান তাদের কাজে প্রয়োগ করেন। গণিতবিদ বার্ট্রাণ্ড রাসেল, আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড এবং দার্শনিক বারুচ স্পিনোজাও তাদের নিজস্ব এলিমেণ্টস তৈরি করবার প্রচেষ্টা চালান ডিডাকটিভ স্ট্রকচার স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করে। তারা তাদের নিজস্ব ক্ষেত্রসমূহে এই প্রয়াস চালান। আজও প্রাথমিক পর্যায়ের গণিত পাঠ্যবইসমূহে এলিমেণ্টস শব্দটি শিরোনাম হিসেবে ব্যবহৃত হয় (উদাহরণ এলিমেণ্টস অফ ইনফরমেশন থিউরি)।

এলিমেণ্টসের সাফল্যের মূল কারণ ইউক্লিডের কাছে থাকা গাণিতিক বিদ্যার যৌক্তিক বর্ণনা। এর অনেক অংশ তার নিজস্ব না হলেও ব্যাখ্যাগুলো তিনি নিজেই দিয়েছিলেন। পুরো এলিমেণ্টস জুড়ে ইউক্লিডের সিস্টেমেটিক উন্নতি এবং কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে গভীর ফলাফল অর্জনে তার ধারাবাহিকতার জন্য এটি প্রায় ২০০০ বছরজুড়ে পাঠ্য হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে। এলিমেণ্টস আধুনিক জ্যামিতির ব ইগুলোকেও প্রভাবিত করেছে। স্বতঃসিদ্ধ থেকে বইটির যৌক্তিক অগ্রগামিতা এবং এর নিখুঁত প্রমাণ গণিতের মাইলফলক হিসেবে গণ্য হয়।

এলিমেণ্টস প্রধানত জ্যামিতি নিয়ে কাজ করলেও এর কিছু ফলাফল বর্তমানে সংখ্যাতত্ত্বএর আওতায় পড়েছে। ইউক্লিড খুব সম্ভবত জ্যামিতির ব্যাপারগুলো সংখ্যাতত্ত্বে ব্যাখ্যা করেছিলেন কেননা তিনি পাটিগণিতের ধারণার ক্ষেত্রে বিশেষ উন্নতি করতে পারেননি। ইউক্লিডের যে কোন প্রমাণের কনস্ট্রাকশনের জন্য এমন কোন প্রমাণ প্রয়োজন যা বাস্তব।---

[সম্পাদনা] প্রাথমিক স্বীকার্যসমূহ

ইউক্লিডের প্রথম বই ২৩ টি সংগ্ঞা দ্বারা সূচীত হয় যার মধ্যে বিন্দু, সরলরেখা এবং তল। এরপর আছে পাঁচটি পস্টুলেট এবং পাঁচটি “কমন নোশন” একসাথে এখন যা স্বতঃসিদ্ধ নামে পরিচিত। এগুলোই পরবর্তী বিষয়সমূহের মূল ভিত্তি:

স্বীকার্যসমূহ

একটি সরল রেখাংশ যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোগে অংকন করা যাবে।
একটি সরল রেখাংশ অসীমভাবে বর্ধিত করে সরলেখায় পরিণত করা যাবে।
একটি প্রদত্ত রেখাংশ থেকে একটি বৃত্ত অংকন করা যাবে যার ব্যাসার্ধ হবে উক্ত রেখাংশটি এবং এর একপ্রান্ত বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
সকল সমকোণ সমপাতিত হয়।
যদি দুটি রেখা অংকন করা হয় যা তৃতীয় কোন রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যাতে তাদের একইদিকের অন্তঃস্থ কোণগুলো দুই সমকোণের চেয়ে ছোট হয় তবে উক্ত রেখাদুটি অবধারিতভাবে পরষ্পরকে ছেদ করবে যদি তাদের উপযুক্ত পরিমাণে বর্ধিত করা হয়।

সাধারণ ধারণা:

যদি কতিপয় বস্তু একই বস্তুর সমান হয় তারা পরষ্পরের মধ্যেও সমান হবে।
যদি সমান সমান অংশের সাথে সমান অংশ যোগ করা হয় তবে যোগফল সমান হবে।
যদি সমান সমান অংশ থেকে সমান অংশ বিয়োগ করা হয় তবে বিয়োগফল সমান থাকবে।
যেসব বস্তু পরষ্পরের উপর সমপাতিত হয় তারা পরষ্পর সমান।
সম্পুর্ণ বস্তুটি এর অংশবিশেষ থেকে বৃহত্তর।

এই মৌলিক স্বীকার্যসমূহ গঠনমূলক জ্যামিতি সম্পর্কে ইউক্লিড এবং তার সমসাময়িক গ্রিক ও হেলেনিস্টিক গণিতবিদদের ধারণার প্রতিফলন প্রকাশ করে। প্রথম তিনি কনস্ট্রাকশনের জন্য একটি কম্পাস এবং একটি দাগহীন স্কেল (রুলার) প্রয়োজন। দাগাঙ্কিত স্কেল যা নিউসিস কনস্ট্রাকশনএ ব্যবহৃত হয় তা ইউক্লিডের কনস্ট্রাকশন বহির্ভূত।

[সম্পাদনা] সমান্তরাল স্বীকার্য

ইউক্লিডের শেষ পাঁচটি স্বীকার্য বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য। বহুল আলোচিত সমান্তরাল স্বীকার্য অন্যান্য স্বীকার্য থেকে কম নিশ্চিত। ইউক্লিড নিজেও এটিকে এলিমেণ্টসের অন্যান্য অংশে অল্প ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যান্য স্বীকার্যসমূহ থেকে এটি প্রমাণ করা সম্ভব বলে অনেক জ্যামিতিবিদ মত দিলেও এর প্রমাণের সকল প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়েছে।১৯ শতকের মাঝামাঝি সময়ে দেখানো হয়েছে যে এমন কোন প্রমাণ থাকা সম্ভব নয়, একজন নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি কনস্ট্রাকট করতে পারেন যখন ইউক্লিডিয় জ্যামিতির পতন ঘটে। এই কারণে গণিতবিদেরা বলেন যে, প্যারালাল পস্টুলেট অন্যান্য স্বীকার্য থেকে স্বাধীন।নন-ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে সমান্তরাল স্বীকার্যের দুটি বিকল্প আছে: হয় হাইপারবোলিক জ্যামিতি (যা লোবাচেভস্কিয়ান জ্যামিতি নামেও পরিচিত) বা একলিপটিক জ্যামিতি (রিইমাননিয়ান জ্যামিতি)র সরলরেখায় না থাকা একটি বিন্দু থেকে অসীম সংখ্যক সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করা যাবে। অন্যান্য জ্যামিতি যুক্তিগতভাবে ধারবাহিক এবং তা বিগ্ঞনের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার, যার ব্যাপক প্রয়োগ বিগ্ঞান ও দর্শনের বিভিন্ন শাখায় দেখা যায়। আইনস্টাইনের সাধারণ অপেক্ষবাদ সূত্র প্রদর্শন করে যে, আমরা যে স্থানে বাস করি তা নন-ইউক্লিডিয় এবং সেজন্যই এতে একটি মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র রয়েছে।

[সম্পাদনা] সমালোচনা

বিশ্বব্যাপী গ্রহণযোগ্যতা পাবার পরও এলিমেণ্টস যুক্তিযুক্ত সমালোচনার শিকার হয়েছে। উদাহরণস্বরুপ, বর্ণিত টার্মগুলোকে পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা প্রদত্ত সংগ্ঞা দিয়ে সম্ভব নয়। প্রথম ব ইয়ের প্রথম কনস্ট্রাকশনে, ইউক্লিড একটি প্রিমাইস ব্যবহার করেন যা প্রমাণ করা বা স্বতঃসিদ্ধরুপে গ্রহণ করা সম্ভব নয়। এটি হল: দুটি বৃত্ত যা পরষ্পর থেকে তাদের ব্যাসার্ধের সমান দুরত্বে অবস্থিত তারা দুটি বিন্দুতে পরষ্পরকে ছেদ করবে। চতুর্থ কনস্ট্রাকশনে তিনি ত্রিভূজের স্থানান্তর ব্যবহার করে প্রমাণ করেন যে যদি দুটি বাহু এবং তাদের কোণ সমান হয়, তবে তারা সমপাতিত হবে। তিনি স্থানান্তরীকরণকে সংগ্ঞায়িত অথবা স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করেননি। নন-ইউক্লিডিয় জ্যামিতি ১৯ শতকের সমসাময়িক গণিতবিদদের আকর্ষিত করে। অগ্রণী গণিতবিদ রিচার্ড ডেডেকিণ্ড এবং ডেভিড হিলবার্ট এলিমেণ্টসের স্বতঃসিদ্ধ সমূহকে পূণর্গঠন করার চেষ্টা করেন। তারা ইউক্লিডিয় জ্যামিতিকে পরিপূর্ণতা প্রদানের জন্য ধারাবাহিকতা এবং সমপাতনের দুটি স্বীকার্য প্রদান করেন।

[সম্পাদনা] সংস্করণসমূহ

অনুবাদ

১৫০৫, জামবেরটি (ল্যাটিন)
১৫৪৩, ভেন্টুরিনো রাফিনেলি (ইটালিয়ান)
১৫৫৫, জোহান স্কিউবেল (জার্মান)
১৫৬২, জ্যাকব কানডিগ (জার্মান)
১৫৬৪, পিয়েরে ফরকাডেল ডি বেজিয়ার (ফ্রেঞ্চ)
১৫৭০, জন ডে (ইংরেজি)
১৫৭৬, রডরিগো ডি জামোরানো (স্প্যানিশ)
১৫৯৪, টিফোগ্রাফিয়া মেডিসিয়া (নাসির আল-দীন আল-টুসির আরবীয় অনুবাদের সংস্করণ)
১৬৬০, আইজাক ব্যারো (ইংরেজি)

[সম্পাদনা] বইয়ের পাঠ্যসূচী

প্রথম বইতে আছে মৌলিক বর্ণনা: পিথাগোরাসের সূত্র, কোণ ও স্থানের সাম্যতা, সামান্তরিকতা, একটি ত্রিভূজের কোণের সমুষ্টি এবং

তিনটি অবস্থা যাতে ত্রিভূজ সমূহ সমান হয় (অর্থাৎ তারা সমান স্থান দখল করে)

দ্বিতীয় ব ইটিকে সাধারণভাবে “জ্যামিতিক বীজগণিত”এর ব ই বলা হয় কেননা এই ব ইয়ের বিষয়গুলো বীজগণিতএর সাথে সরাসরি

সম্পর্কযুক্ত

তৃতীয় বইটি বৃত্ত ও তাদের গুণাবলীর বর্ণনা করে।
চতুর্থ বই বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ ত্রিভূজ ও নিয়মিত বহুভূজকে গুরুত্ব দেয়।

গণিতবিদ এবং ডব্লিউ ডব্লিউ রোজ বোল সমালোচনাকে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা চালান এবং উল্লেখ করেন, বাস্তবতা হল দু’হাজার বছর ধরে এলিমেণ্টস পাঠ্যবই ছিল এবং তা একটি দৃঢ় ধারণার জন্ম দেয় যে এটি সে উদ্দেশ্য পূরণের উপযুক্ত নয়।

[সম্পাদনা] টীকা

↑ Boyer (1991). "Euclid of Alexandria", , 101. “With the exception of the Sphere of Autolycus, surviving work by Euclid are the oldest Greek mathematical treatises extant; yet of what Euclid wrote more than half has been lost,”
↑ Ball (1960).
↑ The Historical Roots of Elementary Mathematics by Lucas Nicolaas Hendrik Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988), page 142. Dover publications. Quote:"the Elements became known to Western Europe via the Arabs and the Moors. There the Elements became the foundation of mathematical education. More than 1000 editions of the Elements are known. In all probability it is, next to the Bible, the most widely spread book in the civilization of the Western world."
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: অবৈধ <ref> ট্যাগ; Boyer_Influence_of_the_Elements নামের refগুলির জন্য কোন টেক্সট প্রদান করা হয়নি
↑ Encyclopedia of Ancient Greece (2006) by Nigel Guy Wilson, page 278. Published by Routledge Taylor and Francis Group. Quote:"Euclid's Elements subsequently became the basis of all mathematical education, not only in the Romand and Byzantine periods, but right down to the mid-20th century, and it could be argued that it is the most successful textbook ever written."
↑ Boyer (1991). "Euclid of Alexandria", , 100. “As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written - the Elements (Stoichia) of Euclid.”

[সম্পাদনা] তথ্যসূত্র

Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics, 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908], New York: Dover Publications, pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (3 vols.), 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925], New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0471543977.

[সম্পাদনা] বহিঃসংযোগ

Euclid [c. 300 BC] (David E. Joyce, ed. 1997). Elements. Retrieved on 2006-08-30. In HTML with Java-based interactive figures.
a bilingual edition (typset in PDF format, with the original Greek and an English translation on facing pages; free in PDF form, available in print)
Heath's English translation (HTML, without the figures) (accessed May 6 2007)
in ancient Greek (typeset in PDF format, public domain, available in print at Lulu.com as "Euclid's Elements".)
Oliver Byrne's 1847 edition - an unusual version using color rather than labels such as ABC (scanned page images, public domain)
Reading Euclid - a course in how to read Euclid in the original Greek, with English translations and commentaries (HTML with figures)
The First Six Books of the Elements by John Casey and Euclid scanned by Project Gutenberg.