উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
প্রবাহী গতিবিজ্ঞানে , গুস্টাফ কিরশফের নামে নামকরণ করা কার্শফের সমীকরণগুলো একটি আদর্শ তরলে একটি অনমনীয় দেহের গতি বর্ণনা করে।
d
d
t
∂
T
∂
ω
→
=
∂
T
∂
ω
→
×
ω
→
+
∂
T
∂
v
→
×
v
→
+
Q
→
h
+
Q
→
,
d
d
t
∂
T
∂
v
→
=
∂
T
∂
v
→
×
ω
→
+
F
→
h
+
F
→
,
T
=
1
2
(
ω
→
T
I
~
ω
→
+
m
v
2
)
Q
→
h
=
−
∫
p
x
→
×
n
^
d
σ
,
F
→
h
=
−
∫
p
n
^
d
σ
{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}}
যেখানে
ω
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}}
এবং
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
বিন্দুতে কৌণিক এবং রৈখিক বেগ ভেক্টর
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
, যথাক্রমে;
I
~
{\displaystyle {\tilde {I}}}
জড়তা টেনসরের মুহূর্ত,
m
{\displaystyle m}
শরীরের ভর হয়;
n
^
{\displaystyle {\hat {n}}}
বিন্দুতে শরীরের পৃষ্ঠের স্বাভাবিক একটি ইউনিট
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
;
p
{\displaystyle p}
এই সময়ে একটি চাপ;
Q
→
h
{\displaystyle {\vec {Q}}_{h}}
এবং
F
→
h
{\displaystyle {\vec {F}}_{h}}
হাইড্রোডাইনামিক টর্ক এবং বল শরীরের উপর কাজ করে, যথাক্রমে;
Q
→
{\displaystyle {\vec {Q}}}
এবং
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
একইভাবে শরীরের উপর কাজ করে এমন অন্যান্য সমস্ত টর্ক এবং শক্তিকে বোঝায়। ইন্টিগ্রেশন শরীরের পৃষ্ঠের তরল-উন্মুক্ত অংশের উপর সঞ্চালিত হয়।
যদি শরীর সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত হয় একটি অসীম বিশাল আয়তনের অঘূর্ণাত্মক, অসংকোচনীয়, অসান্দ্র তরল, যা অসীমে বিশ্রামে থাকে, তাহলে ভেক্টরগুলি
Q
→
h
{\displaystyle {\vec {Q}}_{h}}
এবং
F
→
h
{\displaystyle {\vec {F}}_{h}}
সুস্পষ্ট একীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে, এবং শরীরের গতিবিদ্যা কিরশফ - ক্লেবশ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:
d
d
t
∂
L
∂
ω
→
=
∂
L
∂
ω
→
×
ω
→
+
∂
L
∂
v
→
×
v
→
,
d
d
t
∂
L
∂
v
→
=
∂
L
∂
v
→
×
ω
→
,
{\displaystyle {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},}
L
(
ω
→
,
v
→
)
=
1
2
(
A
ω
→
,
ω
→
)
+
(
B
ω
→
,
v
→
)
+
1
2
(
C
v
→
,
v
→
)
+
(
k
→
,
ω
→
)
+
(
l
→
,
v
→
)
.
{\displaystyle L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).}
তাদের প্রথম সমাকলন
J
0
=
(
∂
L
∂
ω
→
,
ω
→
)
+
(
∂
L
∂
v
→
,
v
→
)
−
L
,
J
1
=
(
∂
L
∂
ω
→
,
∂
L
∂
v
→
)
,
J
2
=
(
∂
L
∂
v
→
,
∂
L
∂
v
→
)
.
{\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).}
আরও একীকরণ অবস্থান এবং বেগের জন্য সুস্পষ্ট অভিব্যক্তি তৈরি করে।
Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
Lamb, H., Hydrodynamics . Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.