পাই

পাই এর প্রতীক π

পাই (প্রতীক π, প্রাচীন গ্রিক ভাষায় পি) অথবা π একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধ্রুবক, মোটামুটিভাবে এর মান ৩.১৪১৫৯তে। ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে এর diameterতে যেকোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে এই ধ্রুবক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে একইভাবে এটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সঙ্গে এর ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাতের সমান। গণিত, বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যার অনেক সূত্রে পাই-এর দেখা পাওয়া যায়। পাই এইটি একটি অমূলদ সংখ্যা, অর্থাৎ এটিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না। অন্যভাবে বলা যায় এটিকে দশমিক আকারে সম্পূর্ণ প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তার মানে আবার এও নয় যে, এটিতে কিছু অঙ্ক পর্যাবৃত্ত বা পৌন:পুনিক আকারে আসে। বরং দশমিকের পরের অঙ্কগুলো দৈবভাবেই পাওয়া যায়। পাই যে কেবল অশূলদ তা নয়, এটি একই সঙ্গে একটি তুরীয় সংখ্যা, অর্থাৎ এটিকে কোন বহুপদী সমীকরণের মূল হিসাবেও গণনা করা যায় না। গণিতের ইতিহাস জুড়ে, নির্ভুলভাবে পাই-এর মাণ নির্ণয়ের ব্যাপক চেষ্টা করা হয়েছে। এমনকী এই ধরণের প্রচষ্টা কখনো কখনো সংস্কৃতির অংশও হয়েছে। গ্রিক বর্ণ পাই, গ্রিক পরিধি (perimeter, περίμετρος ) থেকে এসেছে। সম্ভবত ১৭০৬ সালে উইলিয়াম জোনস প্রথম এটি ব্যবহার করেন। পরবর্তীতে লিওনার্দ অয়েলার এটিকে জনপ্রিয় করেন। পাইকে গণিতে ব্যাবহারের সময় ইংরেজী পাই (pie) হিসেবে উচ্চারণ করা হয় যদিও এর গ্রিক উচ্চারণ পি। এটিকে কোনো কোনো সময় বৃত্তীয় ধ্রুবক, আর্কিমিডিসের ধ্রুবকও বলা হয়।

মৌলিক তথ্য

বর্ণ π

যখন গ্রিক বর্ণ π পাওয়া যায় না, তখন পাই অথবা pi ব্যবহার করা হয়। এর ইংরেজী উচ্চারণ পাই হলেও গ্রিক উচ্চারণ কিছুটা ভিন্ন। আর এই ধ্রুবকের নাম π কারণ গ্রিক περιφέρειαয় (periphery) এবং περίμετρος (perimeter) এর প্রথম বর্ণ এটি। এছাড়া এটি ইউনিকোড অক্ষর U+03C0 .

সংজ্ঞা

Circumference = π × diameter

ইউক্লিডিয় সমতলীয জ্যামিতিতে, বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

$\pi ={\frac {c}{d}}$

লক্ষনীয় যে, পরিধি/ব্যাস বৃত্তের মাপের ওপর নির্ভর করে না। যদি একটি বৃত্তের ব্যাস অন্য একটি বৃত্তের ব্যাসের দ্বিগুন হয়, তাহলে সেই বৃত্তের পরিধি পরের বৃত্তের পরিধির দ্বিগুন হবে। অর্থাৎ পরিধি/ব্যাস একই থাকবে। এই ঘটনাটি সমস্ত বৃত্তের similarityএর একটি consequence।

Area of the circle = π × area of the shaded square

অন্যভাবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও যে বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান তার ক্ষেত্রফলের অনুপাত হিসাবেও প্রকাশ করা যায়।

$\pi ={\frac {A}{r^{2}}}$

অমূলদত্ব ও তুরীয়ত্ব

ধ্রুবক π একটি অমূলদ সংখ্যা ; মানে এইটিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে লেখা যাবে না। ১৭৬১ সালে জোহান হেনরিখ ল্যাম্বার্ট এটি প্রমাণ করেন । বিশ শতকে, এমন সা প্রমাণ বের করা হল যা বোঝার জন্য ক্যালকুলাস সম্পর্কে সাধারণ জ্ঞান থ্কলেই চলে। এর মধ্যে আইভান নিভেন-এর প্রমাণটি সর্বজনবিদিত । এর আগের আর একটি প্রমাণ করেন মেরি কার্টরাইট

১৮৮২ সালে ফার্দিনান্ড ভন লিনডেম্যান প্রমাণ করেন যে পাই একটি তুরীয় সংখ্যা। এর মানে মূলদ সহগবিশিষ্ট এমন কোন বহুপদী সমীকরণ নেই, π যার মূল । তাহলে এর আর একটি বৈশিষ্ট্য দাড়ালো যে, কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে পাই আছে এমন সমতূল কিছু আঁকা যাবে না। মানে হল কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র কখনো আঁকা যাবে না।

সাংখ্যিক মান

দশমিকের পর পঞ্চাশ ঘর পর্যন্ত পাই-এর মান নিচে দেওয়া হল।

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

দশমিকের পর ট্রিলিয়নের (১ এর পর ১২টি শূন্য, 10¹²) বেশি ঘর পর্যন্ত পাই-এর মান বের করা হলেও সাধারণ কাজে দশমিকের পর ১২ ঘরের বেশি মান তেমন একটা প্রয়োজন হয় না। জানা দুনিয়ায় সবচেয়ে বড় বৃত্তের পরিধি গণনার জন্য ৩৯ ঘরের মান ব্যবহার করলে তার সুক্ষতা হবে হাইড্রোজেন পরমাণুর সমান।

π নিজেই একটি অসীম দশমিক বর্ধন কারণ π একটি অমূলদ সংখ্যা, এর দশমিক বর্ধন কখনো শেষ হয় না বা পুনরাবৃত্তি করে না। এই অসীম ধারাটি গণিতজ্ঞ ও সাধরণ মানুষকে যুগে যুগে চমৎকৃত করেছে। তাই সবাই চেষ্টা করেছে এর সঠিক মান বের করার জন্য। কেবল যে বিশ্লেশণী কাজ হয়েছ তা নয়, এই কাজে এমনকী সুপার কম্পিউটারও ব্যবহার করা হয়েছে।সুপার কম্পিউটার ব্যবহার করে দশমিকের পর লক্ষ কোটি ঘর পর্যন্ত হিসাব করে কোন পুনরাবৃত্তি পাওযঅ যায় নি।

পাই গণনা

একটি বড় বৃত্ত একে তার ব্যাস ও পরিধি মেপে π-এর মান গণনা করা যায় । এছাড়া আর একটি পদ্ধতি রয়েছে যেখানে ও বৃত্ত আর বহুভূচ আঁকতে হয়। এটি আর্কিমিডিসের পদ্ধতি। একটি বৃত্তের মধ্যে সুষম বহুভূজ আঁকতে হবে। বাহুর সংখ্যা যতো বেশি হবে বহুভূজের ক্ষেত্রফল বৃত্তের ক্ষেত্রফলের ততো কাছাকাছি হবে। তারপর বৃত্তের ব্যাসার্ধের সঙ্গে এর ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক থেকে π গণনা করা যাবে। Then, using the relationship that the area A of a circle is π times the square of the radius r, π can be approximated by using:

$\pi \approx {\frac {A_{polygon}}{r^{2}}}\!$

বিশুদ্ধ গাণিতিক পদ্ধতিতেও π গণনা করা যায়। তবে π গণনার বেশিরভাগ সীত্রাবলী বোধার জন্য ত্রিকোণমিতি ও ক্যালকুলাস -এর ধারণা থাকা দরকার। আবার কোনো কোনোটি বেশ সহজ। যেমন গ্রেগরি-লিবনিৎজ ধারা।

$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \!$.

এই ধারাটি লিখতে এ গণনা করতে সহজ হলেও এই থেকে -এর মান কেন পাওয়া যাবে তা তাৎ‍ক্ষণিকভাবে বোধগম্য হওয়া কঠিন। এটি এতো ধীরে কেন্দ্রীভূত হয় যে, এর ৩০০টি পদ নিয়েও দশমিকের পর দুইঘর মানএ সঠিকভাবে পাওযা যায় না।

ইতিহাস

πএর ইতিহাস আর গণিতের উন্নতিসাধনের সামগ্রিক ইতিহাস প্রায় সমান্তরাল। । বিভিন্ন লেখক পাই-এর ইতিহাসকে তিনভাগে ভাগ করেছেন – জ্যামিতি প্রয়োগের প্রাচীনকালের জ্যামিতি যুগ, সম্পদশ শতকে ইউরোপে ক্যালকুলাস আবিস্কারের পর সনাতণী যুগ এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের পর কম্পিউটার যুগ।

জ্যামিতি যুগ

পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত যে সব বৃত্তের জন্য সমান ও ৩ এর বড় এই সত্য প্রাচীন মিশরীয়, ব্যাবিলণীয়, ভারতীয় ও গ্রিক জ্যামিতজ্ঞদের জাসা ছিল। সবচেয়ে পুরোনো গণনার কথা জনা যাচ্ছে খ্রিস্টপূর্ব ১৯০০ বছর আগের। এর মধ্যে রয়েছে ব্যাবিলনীয় (25/8) ও মিশরীয়দের (256/81) মান প্রকৃত মানের ১ শতাংশের মধ্যে। ভারতীয় পুস্তক ( Shatapatha Brahmana)-এ π -এর মান ৩৩৯/১০৮≈ ৩..৩১৯ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। খ্রিস্টপূর্ব ৬০০ সালে প্রকাশিত বুকস অব কিং-এ π -এর মান ৩ হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছে। আর্কিমিডিস (খ্রিস্টপূর্ব ২৮৭‌২১২)) প্রথম rigorously পাই-এর মান গণনা করেন। তিনি প্রথমে পাই মানের সীমা বের করলেন। বৃত্তর ভিতরে সুষম বহুভূজের পরিসীমা বের করে তিনি এই কাজটি সমাধা করেন।

৯৬ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজ একে তিনি দেখালেন 223/71 < π < 22/7 । এই দুই-এর গড় নিয়ে পাই-এর একটি মান পাওয়া গেল ৩.১৪১৯. পরবর্তী শতকগুলোতে ভারত ও চীনে বেশ কাজ হয়েছ। মোটামুটি ৪৮০ সালে চীনা গণিতজ্ঞ জু চোঙ্গজি পাই‌এর আসন্ন মান বের করলেন ৩৫৫/১১৩ এবং প্রমাণ করলেন 3.1415926 < π < 3.1415927 যা কিনা পরবর্তী ৯০০ বছর পর্যন্ত সবচেয়ে সঠিক হিসাবে বিবেচিত হয়েছে।

সনাতনী যুগ

দ্বিতীয় সহস্রাব্দ শুরুর আগে পাই এর মান দশমিকের পর ১০ ঘর পর্যন্ত জানা ছিল। পাই গবেষণার পরবর্তী উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি ঘটে ক্যালকুলাস বিশেষ করে অসীম ধারা আবিস্কারের পর থেকে। অসীম ধারা থেকে বোঝা গেল বেশি বেশি পদ যোগ করে পাইর মান অধিকতর সূক্ষতায় বের করা যাবে। ১৪০০ সালের দিকে সংগমাগ্রামার মাধবপ্রথম সেরকম ধারা খুঁজে পান।

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \!$

এই ধারাটি এখন গ্রেগরি‌-লিবনিৎজ ধারা নামে পরিচিত কারণ সম্পদশ শতকে এটি তাদের দ্বারা পুন আবিস্কৃত হয়। দুঃখের বিষয় এর কেন্দ্রীভুতীর হার খুবই ধীর। এমনকী আর্কিমিডিসের সমান সূক্ষতার জন্য প্রয় ৪০০০ পদের যোগফল নেওয়া দরকার হয়ে পড়ে। যাহোক সিরিজটিকে নিচের ধারায় রূপান্তরিত করে

$\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!$

মাধব π=3.14159265359, বের করেন যা ১১ ঘর পর্যন্ত সঠিক। ১৪২৪ সালে ইরানের জ্যোতির্বিদ জামশিদ আল-কাশি ১৬ ঘর পর্যন্ত π-এর মান বের করলে মাধবের রেকর্ড ভেঙ্গে যায়। জার্মান গণিতজ্ঞ লুডলফ ভন চিউলেন আর্কিমিডিসের পর প্রথম ইউরোপীয় হিসাবে পাই গণনায় শরীক হোন। তিনি জ্যামিতিক পদ্ধতিতে দশমিকের পর ৩২ ঘর পর্যন্ত সঠিকভাবে পাই গণনা করেন। এই গণনা করে তিনি এত বেশি আনন্দিত ও গর্বিত হোন যে, মৃত্যুর পর তার সমাধিতে সেটি উৎকীর্ণ করা হয়। এই সময়ে ইউরোপে ক্যালকুলাস, অসীম ধারার সমাধান ও জ্যামিতিক গুণন পদ্ধতির আবির্ভাব হয়। সেরক, প্রথম হলো ভিয়েতের সূত্র যা তিনি ১৫৯৩ সালে আবিস্কার করেন।।

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!$

আর একটি বিখ্যাত ফল হলো ১৬৫৫ সালে জন ওয়ালির সূত্রবদ্ধ ওয়ালির গুনফল

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!$

আইজ্যাক নিউটনও π -এর জন্য ধারা লিখেছেন এবং ১৫ ঘর পর্যন্ত মান বের করেছেন।

জন মাচিন হলেন প্রথম ব্যক্তি যিনি কী না ১০০ ঝর পর্যন্ত পাই-এর মান বের করেন। তিনি

${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$

সূত্রের সঙ্গে নিচের সূত্রটিও ব্যবহার করেন।

$\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!$

এই ধরণের সূত্রকে এখন মাচিন তূল্য সূত্র বলা হয়। মাচিন-তুল্য সীত্র সমূহ কম্পিউটার আগমনের আগ পর্যন্ত পাই গণনায় সবচেয়ে সফল। সেরকম অনেক সীত্র তখন প্রচলিত ছিল। সেরকম একটি সূত্রের সাহায্যে ১৮৪৪ সালে জাকারিয়াস ডাসে মুখে মেখে ২০০ ঘর পর্যন্ত গণনা করে সবাইকে তাক লাগিয়ে দেন। ১৯ শতকে সবচেয়ে ভালো সাফল্য উইলিয়াম শাঙ্ক-এর. ১৫ বছরে তিনি দশমিকের পর ৭০৭ ঘর পর্যন্ত গণনা করেন। তবে পরে দেখা যায় সামান্য ভুলের জন্য ৫২৭ ঘর পর্যন্ত তার হিসাব সীটক ছিল। (এই ধরণের ভুল এড়ানোর জন্য এখন কমপক্ষে দুইভাবে গণনা করে দেখা হয় সঠিক আছে কী না। ) আঠারো শতকে তত্বীয় আগ্রগতি থেকে জানা গেল কেবল গাণিতিক গণনা করে পাই এর মান বের করা যাবে না।১৭৬১ সালে জোহান হেনরিক ল্যাম্বার্ট আবিস্কার করলেন π একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৭৯৪ সালে আদ্রে-মারি লেজেন্ড্রে আরো একধাপ অগ্রসর হয়ে দেখালেন π² ও একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৭৩৫ সালে বেসেলের সমস্যা সমাধান করে লিওনার্দ অয়েলার

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots \!$

এর প্রকৃত মান বের করেন যা কীনা π²/6। তিনি π ও মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ভালো সম্পর্ক খুঁজে পান। অয়েলার ও লেজেন্ড্রে দুইজনই ধারণা করেছিলেন যে π একটি সীমাতিক্রান্ত সংখ্যা হতে পারে। বস্তুত ১৮৮২ সালে ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডারম্যান এটি প্রমাণ করেণ। উইলিয়াম জোনস তার A New Introduction to Mathematics বইতে প্রথম এই ধ্রুবক প্রকাশে π ব্যবহার করেন। তবে এটি জনপ্রিয় হয় ১৭৩৭ সালে অয়েলার যখন এটিগ্রহণ করেন।

আধুনিক ডিজিটাল যুগ

বিশ শতকে কম্পিউটারের উদ্ভাবনের পর π গণনায় নতুন জোয়ার আসে। জন ভন নিউম্যান ১৯৪৯ সালে ২০৩৭ ঘর পর্যন্ত গণনা করেন। এনিয়াক কম্পিউটারে এই গণনার জন্য মাত্র ৭০ ঘন্টা সময় লেগেছিল। বিশ শতকের শুরুতে ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজন π গণনার বেশ কটি নতুন সূত্র বের করেন। তার একটি বিখ্যাত সিরিজ হল

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!$

${\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!$

যা কীনা প্রতি পদে ১৪ ঘর করে মান বের করতে পারে।

গণিত ও বিজ্ঞানে ব্যবহার

গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে π ব্যবহৃত হয়। এমনকি বিশুদ্ধ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির গণ্ডি পেরিয়ে পাই অন্য সব শাখাতে প্রবেশ করেছে।

জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতি

r ব্যাসার্ধ্য এবং d=2r ব্যাসবিশিষ্ট এএটি বৃত্তের পরিধি হচ্ছে πd এবং তার ক্ষেত্রফল হল πr²। এছাড়া বৃত্তকে কেন্দ্র করে গড়ে ওঠা আরও বেশ কিছু আকৃতি ও গড়নের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ে পাই ব্যবহৃত হয়। এর মধ্যে রয়েছে উপবৃত্ত, গোলক, কোণ এবং টোরাস। একই সাথে পাই নির্দিষ্ট যোগজে পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তন প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত হয়। বৃত্তের বিভিন্ন সজ্জার মাধ্যমেই সৃষ্ট পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তনই এখানে বিবেচ্য। যেমন, একটি একক চাকতির ক্ষেত্রফলের সমীকরণটি হচ্ছে:

$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

এবং

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\pi$

সমীকরণটি দ্বারা একক বৃত্তের পরিধির অর্ধেক নির্ণয় করা যায়। আরও জটিল সমীকরণ পাইয়ের সহায়তায় যোগজীকরণ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে সলিড্‌ অফ রিভলিউশন এর প্রয়োজন পড়ে।

ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের একক বৃত্ত সংজ্ঞা থেকে জানা যায়, সাইন এবং কোসাইন অপেক্ষকের পর্যায় হচ্ছে 2π। অর্থাৎ, সকল চলক x এবং সকল পূর্ণ সংখ্যা n এর জন্য sin(x) = sin(x + 2πn) এবং cos(x) = cos(x + 2πn)। কারণ, সকল পূর্ণ সংখ্যা n এর জন্য sin(0) = 0, sin(2πn) = 0। অন্যদিকে আবার, ১৮০° কোণ মানের দিক থেকে π রেডিয়ানের সমান। অন্য কথায় ১° = (π/১৮০) রেডিয়ান।

আধুনিক গণিতে, অনেক সময়ই ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করে পাইয়ের সংজ্ঞা দেয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, sin x = 0 সমীকরণটির কথা ধরা যাক। x-এর যে ক্ষুদ্রতম অশূন্য ধনাত্মক মানের জন্য এই সমীকরণটি সত্য হবে তাকে পাইয়ের সংজ্ঞা হিসেবে ধরা যায়। কারণ sin π = 0। এভাবে সংজ্ঞায়িত করে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ও সমাকলনের অপ্রয়োজনীয় ঝামেলা এড়ানো যায়। একইভাবে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করেও এ ধরণের সংজ্ঞা দেয়া যায়। একটি উদাহরণ দেয়া যাক, π = 2 arccos(0) or π = 4 arctan(1)। পাইয়ের অসীম ধারা প্রতিপাদন করার জন্যও বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করা হয়। বিপরীত ত্রিককণমিতিক অপেক্ষক বর্ধিত করার মাধ্যমেই এই প্রতিপাদনটি করা সম্ভব।

উচ্চতর বিশ্লেষণ ও সংখ্যা তত্ত্ব

জটিল বিশ্লেষণে পাই ধ্রুবকটি অনেক বেশী ব্যবহৃত হয়।

আরো দেখন

• ২২/৭ পাই-এর চেয়ে বড় তার প্রমাণ

বহিসংযোগ

• The Joy of Pi by David Blatner
• Decimal expansions of Pi and related links at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• J J O'Connor and E F Robertson: A history of pi. Mac Tutor project
• Lots of formulas for π at MathWorld
• PlanetMath: Pi
• Finding the value of π
• Determination of π at cut-the-knot
• BBC Radio Program about π
• Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI
• First 4 Million Digits of π - Warning - Roughly 2 megabytes will be transferred.
• One million digits of pi at piday.org
• Project Gutenberg E-Text containing a million digits of π
• Search the first 200 million digits of π for arbitrary strings of numbers
• Source code for calculating the digits of π
• π is Wrong! An opinion column on why 2π is more useful in mathematics.
• 70 Billion digits of Pi(π) downloads.
• Pi-memory