সিংমাস্টারের অনুমান

সিংমাস্টারের অনুমান (En: Singmaster's Conjecture) হল সংখ্যাতত্ত্বের একটি অনুমানভিত্তিক ধারণা, যা প্যাসকালের ত্রিভুজে (Pascal's triangle) বাইনোমিয়াল সংখ্যা ${\binom {n}{k}}$ গুলোর পুনরাবৃত্তি কতবার হতে পারে তার একটি সর্বোচ্চ সীমা নির্ধারণ করার প্রস্তাব দেয়। এই ধারণাটি ১৯৭১ সালে ডেভিড সিংমাস্টার প্রথম প্রস্তাব করেন।

ধারণা

প্যাসকালের ত্রিভুজে প্রতিটি উপাদান ${\binom {n}{k}}$ আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে $n$ ও $k$ স্বাভাবিক সংখ্যা। সিংমাস্টারের অনুমান অনুযায়ী, 1 ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে পুনরাবৃত্তি হয় যে তার পুনরাবৃত্তির সংখ্যা একটি সর্বোচ্চ ধ্রুবক $C$ দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকবে। অধিকাংশ গবেষক ধারণা করেন যে, $C=8$ হতে পারে, অর্থাৎ 1 ব্যতীত কোনো একটি সংখ্যা সর্বাধিক ৮ বার প্যাসকালের ত্রিভুজে দেখা যাবে।

উদাহরণস্বরূপ, প্যাসকালের ত্রিভুজে $1$ অসীম সংখ্যক বার উপস্থিত থাকে, তবে অন্যান্য সংখ্যা যেমন $6$, $10$, $20$ ইত্যাদি শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যকবারই পুনরাবৃত্তি হয়।

এখনো পর্যন্ত এটি অজানা যে কোনো সংখ্যা আটবারের বেশি উপস্থিত হয়েছে কিনা, কিংবা ৩০০৩ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা আদৌ কি এতবার (আটবার) দেখা গেছে কিনা! ধারণা করা হয়, এই সীমাটি সর্বোচ্চ ৮ পর্যন্ত হতে পারে, তবে সিংমাস্টার অনুমান করেছিলেন এটি ১০ বা ১২ও হতে পারে। তাছাড়া, কোনো সংখ্যা ঠিক পাঁচ বা সাতবার উপস্থিত হয়েছে কিনা—সেটিও এখনো রহস্যাবৃত্ত।

বিবৃতি

ধরা যাক,$N(a)$ হচ্ছে সেই সংখ্যা, যা নির্দেশ করে যে $a$ সংখ্যাটি (যেখানে $a>1$) প্যাসকালের ত্রিভুজে কতবার উপস্থিত হয়েছে। বড় O সংকেত অনুসারে, অনুমানটি হলো:

$N(a)=O(1).$

গাণিতিক ব্যাখ্যা

ধরা যাক, কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $m$ প্যাসকালের ত্রিভুজে বিভিন্ন $(n,k)$ জুটিতে প্রকাশিত হয়েছে, অর্থাৎ ${\binom {n}{k}}=m$ সমীকরণের সমাধান রয়েছে। সিংমাস্টারের অনুমান অনুসারে, $m\neq 1$ এর জন্য এই সমাধানগুলোর সংখ্যা এমন একটি সর্বোচ্চ ধ্রুবক $C$ দ্বারা আবদ্ধ থাকবে, অর্থাৎ $\#\{(n,k)\mid {\binom {n}{k}}=m\}\leq C.$

প্রাপ্ত সীমা

সিংমাস্টার (১৯৭১) দেখিয়েছেন যে,

$N(a)=O(\log a).$

অ্যাবট, এরডস, এবং হ্যানসন (১৯৭৪) এই অনুমানকে পরিমার্জিত করে লিখেছেন:

$N(a)=O\left({\frac {\log a}{\log \log a}}\right).$

বর্তমানে পরিচিত সর্বোত্তম (নিঃশর্ত) সীমা হলো,

$N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right),$

এবং এটি কেন (২০০৭)-এর দেওয়া। অ্যাবট, এরডস, এবং হ্যানসন উল্লেখ করেছেন যে, ক্রামারের অনুমান (ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ব্যবধান সম্পর্কিত) অনুযায়ী,

$N(a)=O\left((\log a)^{2/3+\varepsilon }\right)$

প্রতিটি $\varepsilon >0$-এর জন্য সঠিক।

সিংমাস্টার (১৯৭৫) দেখিয়েছেন যে, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

${n+1 \choose k+1}={n \choose k+2}$

দুটি চলক n এবং k-এর জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এটি থেকে বোঝা যায় যে, প্যাসকেলের ত্রিভুজে অন্তত ৬ বার উপস্থিত হওয়া অসীম সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে: যেকোনো অঋণাত্মক i-এর জন্য, প্যাসকেলের ত্রিভুজে ছয়বার উপস্থিত হওয়া একটি সংখ্যা a নিম্নলিখিত দুটি অভিব্যক্তির যেকোনো একটি দ্বারা দেওয়া যায়,

$n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,$

$k=F_{2i}F_{2i+3}-1,$

যেখানে F_j হলো j-তম ফিবোনাচ্চি সংখ্যা (এই সূচনায় F₀ = 0 এবং F₁ = 1 ধরা হয়েছে)। উপরের দুটি অভিব্যক্তি দুটি উপস্থিতির অবস্থান নির্দেশ করে; আরও দুটি উপস্থিতি ত্রিভুজে প্রতিসমভাবে অবস্থিত; এবং বাকি দুটি উপস্থিতি হলো ${a \choose 1}$ এবং ${a \choose a-1}.$-এ।

প্রাথমিক উদাহরণ

• ২ সংখ্যাটি শুধুমাত্র একবার দেখা যায়; ২-এর চেয়ে বড় সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা একাধিকবার দেখা যায়;
• ৩, ৪, ৫ প্রতিটি সংখ্যা দুইবার দেখা যায়; অসীম সংখ্যক সংখ্যা ঠিক দুইবার উপস্থিত হয়;
• সব বিজোড় মৌলিক সংখ্যা দুইবার দেখা যায়;
• ৬ সংখ্যাটি তিনবার দেখা যায়, এবং একইভাবে সব কেন্দ্রীয় দ্বিপদ সহগ (central binomial coefficient) ১ এবং ২ ছাড়া তিনবার দেখা যায়;
  (তাত্ত্বিকভাবে এটা সম্ভব যে এমন একটি সহগ পাঁচ, সাত বা তার বেশি বার দেখা যেতে পারে, কিন্তু এখনো পর্যন্ত এমন কোনো উদাহরণ জানা নেই);
• ${p \choose 2}$ আকারের সব সংখ্যা, যেখানে $p>3$ মৌলিক সংখ্যা, চারবার দেখা যায়;
• অসীম সংখ্যক সংখ্যা ঠিক ছয়বার দেখা যায়, যার মধ্যে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলো অন্তর্ভুক্ত:

$120={120 \choose 1}={120 \choose 119}={16 \choose 2}={16 \choose 14}={10 \choose 3}={10 \choose 7}$

$210={210 \choose 1}={210 \choose 209}={21 \choose 2}={21 \choose 19}={10 \choose 4}={10 \choose 6}$

$1540={1540 \choose 1}={1540 \choose 1539}={56 \choose 2}={56 \choose 54}={22 \choose 3}={22 \choose 19}$

$7140={7140 \choose 1}={7140 \choose 7139}={120 \choose 2}={120 \choose 118}={36 \choose 3}={36 \choose 33}$

$11628={11628 \choose 1}={11628 \choose 11627}={153 \choose 2}={153 \choose 151}={19 \choose 5}={19 \choose 14}$

$24310={24310 \choose 1}={24310 \choose 24309}={221 \choose 2}={221 \choose 219}={17 \choose 8}={17 \choose 9}$

সিংমাস্টারের অসীম পরিবারের পরবর্তী সংখ্যা (যা ফিবোনাচ্চি সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশিত) এবং ছয় বা তার বেশি বার উপস্থিত হওয়া পরবর্তী সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হলো $a=61218182743304701891431482520$:

$a={a \choose 1}={a \choose a-1}={104 \choose 39}={104 \choose 65}={103 \choose 40}={103 \choose 63}$

• আটবার উপস্থিত হওয়া সবচেয়ে ছোট সংখ্যা—এবং প্রকৃতপক্ষে, আটবার দেখা যাওয়া একমাত্র সংখ্যা—হলো ৩০০৩, যা সিংমাস্টারের অসীম পরিবারেরও একটি সদস্য, যেখানে সংখ্যাগুলোর গুণিতকতা অন্তত ৬:

$3003={3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}={14 \choose 8}={15 \choose 10}={78 \choose 76}={3003 \choose 3002}$

এটা জানা নেই যে অসীম সংখ্যক সংখ্যা আটবার উপস্থিত হয়েছে কিনা, এমনকি ৩০০৩ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা আটবার দেখা গেছে কিনা তাও অজানা।

প্যাসকেলের ত্রিভুজে n সংখ্যাটি যতবার উপস্থিত হয় তার সংখ্যা হলো: ∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... (ওইআইএস: A003016)

অ্যাবট, এরডস এবং হ্যানসনের (১৯৭৪) গবেষণা অনুযায়ী, x-এর চেয়ে বড় নয় এমন পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা, যেগুলো প্যাসকেলের ত্রিভুজে দুইবারের বেশি উপস্থিত হয়, তা হলো:$O(x^{\frac {1}{2}})$.

প্যাসকেলের ত্রিভুজে n বা তার বেশি বার উপস্থিত হওয়া ১-এর চেয়ে বড় সবচেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা হলো: 2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (ওইআইএস: A062527)

প্যাসকেলের ত্রিভুজে যেসব সংখ্যা অন্তত পাঁচবার দেখা যায় সেগুলো হলো: 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ... (ওইআইএস: A003015)

এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে, সিংমাস্টারের অসীম পরিবারে যেগুলো রয়েছে সেগুলো হলো:

1, 3003, 61218182743304701891431482520, ... (ওইআইএস: A090162)

গবেষণা ও বর্তমান অবস্থা

এখন পর্যন্ত বিভিন্ন গবেষণায় প্রমাণিত হয়েছে যে:

• বিশেষ কিছু ক্ষেত্রে বাইনোমিয়াল সংখ্যা পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সীমিত।
• পুনরাবৃত্তির সর্বোচ্চ সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ধারণের প্রচেষ্টা চলমান, তবে এখনও একটি সার্বিক প্রমাণ বা $C$ এর সঠিক মান নির্ধারণ করা যায়নি।

সিংমাস্টারের অনুমান এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসেবে রয়েছে এবং সংখ্যাতত্ত্ব ও কম্বিনেটরিক্সে ব্যাপক গবেষণা চলছে।

পরিশিষ্ট

সিংমাস্টারের অনুমান প্যাসকালের ত্রিভুজে সংখ্যাগুলোর পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সম্পর্কে গভীর ধারণা প্রদান করে। অনুমানটি সত্য হলে, তা গণিতের অনেক শাখায় গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলের সূত্রপাত করতে পারে, তবে এর প্রমাণ এখনও অনিশ্চিত এবং এটি ভবিষ্যতের গবেষণা ক্ষেত্রে একটি চ্যালেঞ্জ হিসেবে দাঁড়িয়েছে।

তথ্যসূত্র

• Singmaster, D. (১৯৭১), "Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient?", American Mathematical Monthly, 78 (4): 385–386, এমআর 1536288, জেস্টোর 2316907, ডিওআই:10.2307/2316907 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .

• Singmaster, D. (১৯৭৫), "Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers" (পিডিএফ), Fibonacci Quarterly, 13 (4): 295–298, এমআর 0412095, ডিওআই:10.1080/00150517.1975.12430610 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .

• Abbott, H. L.; Erdős, P.; Hanson, D. (১৯৭৪), "On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient", American Mathematical Monthly, 81 (3): 256–261, এমআর 0335283, জেস্টোর 2319526, ডিওআই:10.2307/2319526 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .

• Kane, Daniel M. (২০০৭), "Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient" (পিডিএফ), INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 7: #A53, এমআর 2373115 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .