সাইন ও কোসাইন

সাইন ও কোসাইন
সাধারণ তথ্যসমূহ
সূত্র	${\begin{aligned}&\sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]&\cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]\end{aligned}}$
প্রয়োগ	ত্রিকোণমিতি প্রভৃতি

গণিতে সাইন ও কোসাইন হলো কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক। এটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে বোঝানো হয়। কোনো কোণ $\theta$ এর জন্য উহার সাইন অপেক্ষককে $\sin \theta$ ও কোসাইন অপেক্ষককে $\cos \theta$ দ্বারা লেখা হয়।

সংক্ষেপ

মূল নিবন্ধ: ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক § সমকোণী ত্রিভুজীয় সংজ্ঞা

মূলত সাইনকে sin ও কোসাইনকে সংক্ষেপে cos লেখা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে ব্যাখ্যা

কোনো কোণ α হলে উহার সাইন অপেক্ষক কোণটির বিপরীত বাসার দৈর্ঘ্য ও অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত বোঝায়।

নিম্নে সূত্র দ্বারা লেখা হল:

${\begin{aligned}&\sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]&\cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]\end{aligned}}$

অভেদাবলী

পূরক কোণ

$\theta$-র সকল মানের জন্য প্রযোজ্য।

$\sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)$

$\cos(\theta )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)$

অন্যোন্যক

সাইনের অন্যোন্যক হল কোসেকান্ট (cosecant) ও কোসাইনের ক্ষেত্রে সেকান্ট (secant), যা সংক্ষেপে cosec বা csc এবং sec দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$\csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}$

$\sec(A)={\frac {1}{\cos(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}$

কলনবিদ্যা

অবকলন

মূল নিবন্ধ: ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের অবকলন

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

সমাকলন

মূল নিবন্ধ: ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমাকলন

$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$

C হল সমাকল ধ্রুবক।

পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্য

পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্যতে বলা হয়েছে যে:

$\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1$

যেখানে sin²(x) মানে [sin(x)]²।

দ্বিগুণ কোণ

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1=1-2\sin ^{2}(\theta )$

এখান থেকে sin²θ ও cos²θ পাওয়া যায়:

$\sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$

নীল রঙ সাইন অপেক্ষকের লেখচিত্র ও লাল রঙ সাইন অপেক্ষকের বর্গের লেখচিত্র নির্দেশ করে। X অক্ষে কোণের মান রেডিয়ানে।

পাদের সাথে সম্পর্ক

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতির চারটি পাদ

সাইন অপেক্ষকের পর্যাবৃত্ততা মেনে চলে যে সমীকরণ: $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$

পাদ	কোণ		সাইন (sin)			কোসাইন (cos)
	ডিগ্রি	রেডিয়ান	চিহ্ন	মনোটনি	উত্তলতা	চিহ্ন	মনোটনি	উত্তলতা
প্রথম পাদ, I	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<{\frac {\pi }{2}}$	$+$	বৃদ্ধিশীল	অবতল	$+$	হ্রাসশীল	অবতল
দ্বিতীয় পাদ, II	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}<x<\pi$	$+$	হ্রাসশীল	অবতল	$-$	হ্রাসশীল	উত্তল
তৃতীয় পাদ, III	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<{\frac {3\pi }{2}}$	$-$	হ্রাসশীল	উত্তল	$-$	বৃদ্ধিশীল	উত্তল
চতুর্থ পাদ, IV	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi$	$-$	বৃদ্ধিশীল	উত্তল	$+$	বৃদ্ধিশীল	অবতল

একক বৃত্ত ও sin(x) এর পাদসমূহ, কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার সাহায্যে।

ডিগ্রি	রেডিয়ান	$\sin(x)$		$\cos(x)$
		মান	বিন্দুর প্রকৃতি	মান	বিন্দুর প্রকৃতি
$0^{\circ }$	$0$	$0$	বীজ, ইনফ্লেকশন	$1$	সর্বোচ্চ
$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	$1$	সর্বোচ্চ	$0$	বীজ, ইনফ্লেকশন
$180^{\circ }$	$\pi$	$0$	বীজ, ইনফ্লেকশন	$-1$	সর্বনিম্ন
$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	$-1$	সর্বনিম্ন	$0$	বীজ, ইনফ্লেকশন

শ্রেণী ও প্রগতি

$\sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}$

ঘাতে লেখা সংখ্যা বারংবার অবকলন বোঝায়।

টেলর ধারা অনুযায়ী,

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

---

${\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[8pt]\end{aligned}}$

চলমান ভগ্নাংশ

সাইন অপেক্ষক সাধারণ চলমান ভগ্নাংশ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়:

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

---

$\cos(x)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

সাইনের নিয়ম

মূল নিবন্ধ: সাইন নিয়ম

এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

যেখানে R ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ।

কোসাইনের নিয়ম

মূল নিবন্ধ: কোসাইনের সূত্র

এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}$

এক্ষেত্রে, $C=\pi /2$ এবং $\cos(C)=0$ হলে, এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে বোঝায়। $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ যেখানে c অতিভুজ।

কিছু মান

কিছু সাধারণ কোন (θ) একক বৃত্তে দেখানো হয়েছে। কোণের মান ডিগ্রি ও রেডিয়ানে দেওয়া, (cos(θ), sin(θ)) আকারে মান লেখা

কোণ, x				sin(x)		cos(x)
ডিগ্রি	রেডিয়ান	গ্রেডিয়ান	ঘূর্ণন	ভগ্নাংশ	দশমিক	ভগ্নাংশ	দশমিক
0°	0	0g	0	0	0	1	1
15°	1/12π	16 2/3g	1/24	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	0.2588	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	0.9659
30°	1/6π	33 1/3g	1/12	1/2	0.5	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0.8660
45°	1/4π	50g	1/8	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0.7071	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0.7071
60°	1/3π	66 2/3g	1/6	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0.8660	1/2	0.5
75°	5/12π	83 1/3g	5/24	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	0.9659	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	0.2588
90°	1/2π	100g	1/4	1	1	0	0

90° এর গুণিতক কোণগুলির মান:

x ডিগ্রিতে	0°	90°	180°	270°	360°
x রেডিয়ানে	0	π/2	π	3π/2	2π
x গ্রেডিয়ানে	0	100g	200g	300g	400g
x ঘূর্ণনে	0	1/4	1/2	3/4	1
sin x	0	1	0	−1	0
cos x	1	0	-1	0	1

জটিল সংখ্যার সাথে সম্পর্ক

$\cos(\theta )$ ও $\sin(\theta )$ বাস্তব ও $e^{i\theta }$ এর অবাস্তব অংশ

অয়লারের সূত্র অনুসারে,

$e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$

সাইন ও কোসাইন কোনো জটিল সংখ্যার বাস্তব ও অবাস্তব অংশকে পোলার স্থানাংক ব্যবস্থার সাথে সংযুক্ত করে:

$z=r[\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )]$

এদের বাস্তব ও অবাস্তব অংশ হল:

$\operatorname {Re} (z)=r\cos(\varphi )$

$\operatorname {Im} (z)=r\sin(\varphi )$

যেখানে r ও φ যথাক্রমে জটিল সংখ্যা z এর মান ও কোণকে বোঝায়।

তাই, অয়লারের সূত্র থেকে লেখা যায়,

z এর পোলার স্থানাঙ্ক (r, φ) হলে, $z=re^{i\varphi }$

গ্রন্থপঞ্জি

• Traupman, Ph.D., John C. (১৯৬৬), The New College Latin & English Dictionary, Toronto: Bantam, আইএসবিএন 0-553-27619-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Webster's Seventh New Collegiate Dictionary, Springfield: G. & C. Merriam Company, ১৯৬৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)