সাইন ও কোসাইন

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
সাইন ও কোসাইন
Sine cosine one period.svg
General information
সূত্র
প্রয়োগত্রিকোণমিতি প্রভৃতি

গণিতে সাইন ও কোসাইন হলো কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক। এটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে বোঝানো হয়। কোনো কোণ এর জন্য উহার সাইন অপেক্ষককে ও কোসাইন অপেক্ষককে দ্বারা লেখা হয়।[১]

সংক্ষেপ[সম্পাদনা]

মূলত সাইনকে sin ও কোসাইনকে সংক্ষেপে cos লেখা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে ব্যাখ্যা[সম্পাদনা]

কোনো কোণ α হলে উহার সাইন অপেক্ষক কোণটির বিপরীত বাসার দৈর্ঘ্য ও অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত বোঝায়।

নিম্নে সূত্র দ্বারা লেখা হল:[২]

অভেদাবলী[সম্পাদনা]

পূরক কোণ[সম্পাদনা]

-র সকল মানের জন্য প্রযোজ্য।

অন্যোন্যক[সম্পাদনা]

সাইনের অন্যোন্যক হল কোসেকান্ট (cosecant) ও কোসাইনের ক্ষেত্রে সেকান্ট (secant), যা সংক্ষেপে cosec বা csc এবং sec দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

কলনবিদ্যা[সম্পাদনা]

অবকলন[সম্পাদনা]

সমাকলন[সম্পাদনা]

C হল সমাকল ধ্রুবক

পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্য[সম্পাদনা]

পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্যতে বলা হয়েছে যে:

যেখানে sin2(x) মানে [sin(x)]2

দ্বিগুণ কোণ[সম্পাদনা]

এখান থেকে sin2θ ও cos2θ পাওয়া যায়:[৩]

নীল রঙ সাইন অপেক্ষকের লেখচিত্র ও লাল রঙ সাইন অপেক্ষকের বর্গের লেখচিত্র নির্দেশ করে। X অক্ষে কোণের মান রেডিয়ানে।

পাদের সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতির চারটি পাদ

সাইন অপেক্ষকের পর্যাবৃত্ততা মেনে চলে যে সমীকরণ:

পাদ কোণ সাইন (sin) কোসাইন (cos)
ডিগ্রি রেডিয়ান চিহ্ন মনোটনি উত্তলতা চিহ্ন মনোটনি উত্তলতা
প্রথম পাদ, I বৃদ্ধিশীল অবতল হ্রাসশীল অবতল
দ্বিতীয় পাদ, II হ্রাসশীল অবতল হ্রাসশীল উত্তল
তৃতীয় পাদ, III হ্রাসশীল উত্তল বৃদ্ধিশীল উত্তল
চতুর্থ পাদ, IV বৃদ্ধিশীল উত্তল বৃদ্ধিশীল অবতল
একক বৃত্ত ও sin(x) এর পাদসমূহ, কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার সাহায্যে।
ডিগ্রি রেডিয়ান
মান বিন্দুর প্রকৃতি মান বিন্দুর প্রকৃতি
বীজ, ইনফ্লেকশন সর্বোচ্চ
সর্বোচ্চ বীজ, ইনফ্লেকশন
বীজ, ইনফ্লেকশন সর্বনিম্ন
সর্বনিম্ন বীজ, ইনফ্লেকশন

শ্রেণী ও প্রগতি[সম্পাদনা]

ঘাতে লেখা সংখ্যা বারংবার অবকলন বোঝায়।

টেলর ধারা অনুযায়ী,


চলমান ভগ্নাংশ[সম্পাদনা]

সাইন অপেক্ষক সাধারণ চলমান ভগ্নাংশ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়:


সাইনের নিয়ম[সম্পাদনা]

এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

যেখানে R ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ

কোসাইনের নিয়ম[সম্পাদনা]

এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

এক্ষেত্রে, এবং হলে, এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে বোঝায়। যেখানে c অতিভুজ।

কিছু মান[সম্পাদনা]

কিছু সাধারণ কোন (θ) একক বৃত্তে দেখানো হয়েছে। কোণের মান ডিগ্রি ও রেডিয়ানে দেওয়া, (cos(θ), sin(θ)) আকারে মান লেখা
কোণ, x sin(x) cos(x)
ডিগ্রি রেডিয়ান গ্রেডিয়ান ঘূর্ণন ভগ্নাংশ দশমিক ভগ্নাংশ দশমিক
0 0g 0 0 0 1 1
15° 1/12π 16 2/3g 1/24 0.2588 0.9659
30° 1/6π 33 1/3g 1/12 1/2 0.5 0.8660
45° 1/4π 50g 1/8 0.7071 0.7071
60° 1/3π 66 2/3g 1/6 0.8660 1/2 0.5
75° 5/12π 83 1/3g 5/24 0.9659 0.2588
90° 1/2π 100g 1/4 1 1 0 0

90° এর গুণিতক কোণগুলির মান:

x ডিগ্রিতে 90° 180° 270° 360°
x রেডিয়ানে 0 π/2 π 3π/2
x গ্রেডিয়ানে 0 100g 200g 300g 400g
x ঘূর্ণনে 0 1/4 1/2 3/4 1
sin x 0 1 0 −1 0
cos x 1 0 -1 0 1

জটিল সংখ্যার সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]

বাস্তব ও এর অবাস্তব অংশ

অয়লারের সূত্র অনুসারে,

সাইন ও কোসাইন কোনো জটিল সংখ্যার বাস্তব ও অবাস্তব অংশকে পোলার স্থানাংক ব্যবস্থার সাথে সংযুক্ত করে:

এদের বাস্তব ও অবাস্তব অংশ হল:

যেখানে rφ যথাক্রমে জটিল সংখ্যা z এর মান ও কোণকে বোঝায়।

তাই, অয়লারের সূত্র থেকে লেখা যায়,

z এর পোলার স্থানাঙ্ক (r, φ) হলে,

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. Weisstein, Eric W.। "Sine"mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৯ 
  2. "Sine, Cosine, Tangent"www.mathsisfun.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৯ 
  3. "Sine-squared function"। সংগ্রহের তারিখ আগস্ট ৯, ২০১৯ 

গ্রন্থপঞ্জি[সম্পাদনা]

  • Traupman, Ph.D., John C. (১৯৬৬), The New College Latin & English Dictionaryবিনামূল্যে নিবন্ধন প্রয়োজন, Toronto: Bantam, আইএসবিএন 0-553-27619-0 
  • Webster's Seventh New Collegiate Dictionary, Springfield: G. & C. Merriam Company, ১৯৬৯ 

বহিঃসংযোগ[সম্পাদনা]