সাইন ও কোসাইন |
---|
 |
|
সূত্র | ![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]&\cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2762f231f5fdc1dcfacd59c303106f596ab2e1) |
---|
প্রয়োগ | ত্রিকোণমিতি প্রভৃতি |
---|
গণিতে সাইন ও কোসাইন হলো কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক। এটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে বোঝানো হয়। কোনো কোণ
এর জন্য উহার সাইন অপেক্ষককে
ও কোসাইন অপেক্ষককে
দ্বারা লেখা হয়।[১]
মূলত সাইনকে sin ও কোসাইনকে সংক্ষেপে cos লেখা হয়।
সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে ব্যাখ্যা[সম্পাদনা]
কোনো কোণ α হলে উহার সাইন অপেক্ষক কোণটির বিপরীত বাসার দৈর্ঘ্য ও অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত বোঝায়।
নিম্নে সূত্র দ্বারা লেখা হল:[২]
-র সকল মানের জন্য প্রযোজ্য।


সাইনের অন্যোন্যক হল কোসেকান্ট (cosecant) ও কোসাইনের ক্ষেত্রে সেকান্ট (secant), যা সংক্ষেপে cosec বা csc এবং sec দ্বারা প্রকাশ করা হয়।





C হল সমাকল ধ্রুবক।
পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্য[সম্পাদনা]
পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্যতে বলা হয়েছে যে:

যেখানে sin2(x) মানে [sin(x)]2।


এখান থেকে sin2θ ও cos2θ পাওয়া যায়:[৩]

নীল রঙ সাইন অপেক্ষকের লেখচিত্র ও লাল রঙ সাইন অপেক্ষকের বর্গের লেখচিত্র নির্দেশ করে। X অক্ষে কোণের মান রেডিয়ানে।
পাদের সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতির চারটি পাদ
সাইন অপেক্ষকের পর্যাবৃত্ততা মেনে চলে যে সমীকরণ:
পাদ
|
কোণ
|
সাইন (sin)
|
কোসাইন (cos)
|
ডিগ্রি
|
রেডিয়ান
|
চিহ্ন
|
মনোটনি
|
উত্তলতা
|
চিহ্ন
|
মনোটনি
|
উত্তলতা
|
প্রথম পাদ, I
|
|
|
|
বৃদ্ধিশীল
|
অবতল
|
|
হ্রাসশীল
|
অবতল
|
দ্বিতীয় পাদ, II
|
|
|
|
হ্রাসশীল
|
অবতল
|
|
হ্রাসশীল
|
উত্তল
|
তৃতীয় পাদ, III
|
|
|
|
হ্রাসশীল
|
উত্তল
|
|
বৃদ্ধিশীল
|
উত্তল
|
চতুর্থ পাদ, IV
|
|
|
|
বৃদ্ধিশীল
|
উত্তল
|
|
বৃদ্ধিশীল
|
অবতল
|
একক বৃত্ত ও sin(x) এর পাদসমূহ, কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার সাহায্যে।
ডিগ্রি
|
রেডিয়ান
|
|
|
মান
|
বিন্দুর প্রকৃতি
|
মান
|
বিন্দুর প্রকৃতি
|
|
|
|
বীজ, ইনফ্লেকশন
|
|
সর্বোচ্চ
|
|
|
|
সর্বোচ্চ
|
|
বীজ, ইনফ্লেকশন
|
|
|
|
বীজ, ইনফ্লেকশন
|
|
সর্বনিম্ন
|
|
|
|
সর্বনিম্ন
|
|
বীজ, ইনফ্লেকশন
|
শ্রেণী ও প্রগতি[সম্পাদনা]

ঘাতে লেখা সংখ্যা বারংবার অবকলন বোঝায়।
টেলর ধারা অনুযায়ী,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def345e147219a7892eb8140dfeb1c77b29dce38)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[8pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f8792e2fd4203f00339519200068cdd1652b08)
সাইন অপেক্ষক সাধারণ চলমান ভগ্নাংশ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়:


এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

যেখানে R ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ।
এই নিয়ম বলে যে, a,b,c বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজ এবং উহাদের বিপরীত কোণত্রয় যথাক্রমে A,B,C হলে:

এক্ষেত্রে,
এবং
হলে, এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে বোঝায়।
যেখানে c অতিভুজ।
কিছু সাধারণ কোন (θ) একক বৃত্তে দেখানো হয়েছে। কোণের মান ডিগ্রি ও রেডিয়ানে দেওয়া, (cos(θ), sin(θ)) আকারে মান লেখা
কোণ, x
|
sin(x)
|
cos(x)
|
ডিগ্রি
|
রেডিয়ান
|
গ্রেডিয়ান
|
ঘূর্ণন
|
ভগ্নাংশ
|
দশমিক
|
ভগ্নাংশ
|
দশমিক
|
0°
|
0
|
0g
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
15°
|
1/12π
|
16 2/3g
|
1/24
|
|
0.2588
|
|
0.9659
|
30°
|
1/6π
|
33 1/3g
|
1/12
|
1/2
|
0.5
|
|
0.8660
|
45°
|
1/4π
|
50g
|
1/8
|
|
0.7071
|
|
0.7071
|
60°
|
1/3π
|
66 2/3g
|
1/6
|
|
0.8660
|
1/2
|
0.5
|
75°
|
5/12π
|
83 1/3g
|
5/24
|
|
0.9659
|
|
0.2588
|
90°
|
1/2π
|
100g
|
1/4
|
1
|
1
|
0
|
0
|
90° এর গুণিতক কোণগুলির মান:
x ডিগ্রিতে
|
0° |
90° |
180° |
270° |
360°
|
x রেডিয়ানে
|
0 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π
|
x গ্রেডিয়ানে
|
0 |
100g |
200g |
300g |
400g
|
x ঘূর্ণনে
|
0 |
1/4 |
1/2 |
3/4 |
1
|
sin x
|
0 |
1 |
0 |
−1 |
0
|
cos x
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1
|
জটিল সংখ্যার সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]

ও
বাস্তব ও
এর অবাস্তব অংশ
অয়লারের সূত্র অনুসারে,

সাইন ও কোসাইন কোনো জটিল সংখ্যার বাস্তব ও অবাস্তব অংশকে পোলার স্থানাংক ব্যবস্থার সাথে সংযুক্ত করে:
![{\displaystyle z=r[\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae9b0859a90029d74656e08ecd7ebe99704c69c)
এদের বাস্তব ও অবাস্তব অংশ হল:


যেখানে r ও φ যথাক্রমে জটিল সংখ্যা z এর মান ও কোণকে বোঝায়।
তাই, অয়লারের সূত্র থেকে লেখা যায়,
z এর পোলার স্থানাঙ্ক (r, φ) হলে,
উইকিঅভিধানে
সাইন শব্দটি খুঁজুন।
উইকিঅভিধানে
কোসাইন শব্দটি খুঁজুন।