ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন

ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশনের প্রকৃত শাখাসমূহের রেখাচিত্র

গণিতের ভাষায় ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন এর অপর নাম হচ্ছে ওমেগা ফাংশন অথবা প্রোডাক্ট লগারিদম। এটা বিপরীত সম্পর্ক এর একটি শাখা। অন্য কথায় ফাংশন $f(z)=ze^{z}$ যেখানে $ez$ এক্সপোনেনশনাল ফাংশন এবং $z$ হল কোন জটিল সংখ্যা। অন্যভাবে বলা যায়:

$z=f^{-1}(ze^{z})=W(ze^{z})$

$z_{0}=ze^{z}$- এ উপরের সমীকরণটি প্রতিস্থাপন করে, আমরা W ফাংশন (এবং সাধারণভাবে W সম্পর্কের জন্য) জন্য সংজ্ঞায়িত সমীকরণ পাই:

$z_{0}=W(z_{0})e^{W(z_{0})}$

কোন জটিল সংখ্যা $z_{0}$ এর জন্য।

যেহেতু ফাংশন ƒ ইনজেক্টিভ নয় তাই, সম্পর্ক W multivalued হয় (0 ছাড়া)। যদি আমরা প্রকৃত মূল্যবান W- এর উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করি তবে জটিল ভেরিয়েবল Z তারপর প্রকৃত ভেরিয়েবল x দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং সম্পর্কটি কেবল x ≥ −1/e এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং (−1/e, 0) এর দ্বিগুণ)। অতিরিক্ত সংকোচন W ≥ −1 একটি একক-মান সম্পন্ন ফাংশন W₀(x) সংজ্ঞায়িত করে। আমরা W₀(0) = 0 এবং W₀(−1/e) = −1 পাই। এদিকে, নিম্ন শাখাটি W ≤ −1 এবং W₋₁(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। এটি W₋₁(−1/e) = −1 থেকে W₋₁(0⁻) = −∞ এ হ্রাস পায়।

$x={\frac {W[\ln(a)z]}{\ln(a)}}$ ব্যবহার করে একে $z=xa^{x}$ পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে।

ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ রিলেশনটি প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, গাছের সংখ্যা গণনা করার জন্য এটি যৌগিক পদার্থের উপযোগী। এটি এক্সপোনেনশিয়াল (যেমন প্লাংক, বোস-আইনস্টাইন, এবং ফারমার-ডারাক ডিস্ট্রিবিউশনগুলির সর্বোচ্চ মান) সমন্বিত বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং ডিফল্ট সমীকরণগুলির সমাধান যেমন- y'(t) = a y(t − 1) জৈব রসায়ন এবং বিশেষত এনজাইম গতিবিদ্যাতে, মাইকেলিস-মেন্টেন ক্যাটাটিক্সের সময়সীমার গতিবিজ্ঞান বিশ্লেষণের জন্য একটি বন্ধ-ফর্ম সমাধান ল্যাম্বার্ট ডাব্লিউ ফাংশনের শর্তে বর্ণিত হয়।