লাইবনিজের সাধারণ নিয়ম

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

ক্যালকুলাসে, লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়ম,[১] গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের নামানুসারে, গুণের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে (যা "লিবনিজের নিয়ম" নামেও পরিচিত)। এটা বলে যে যদি এবং হয় -বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন, তারপর পণ্য এছাড়াও হয় -সময় পার্থক্যযোগ্য এবং তার তম ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়

যেখানে হয় দ্বিপদী সহগ এবং নির্দেশ করে jএর ডেরিভেটিভ f (এবং বিশেষ করে ).

গুণের নিয়ম এবং গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে নিয়মটি প্রমাণ করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ[সম্পাদনা]

উদাহরণস্বরূপ, যদি, n = 2, নিয়ম দুটি ফাংশনের একটি পণ্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য একটি রাশি দেয়:

দুটির বেশি গুণীতক[সম্পাদনা]

সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে m ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f1,...,fm.

যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত m -টুপল (k 1 ,..., k m) জুড়ে প্রসারিত হয় এবং

বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ।

লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক, এবং হতে - বার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন। বেস কেস যখন দাবি করে যে:

যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে যে,

Then,

এবং তাই প্রকাশটি এর জন্য সঠিক এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ।

মাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস[সম্পাদনা]

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে:

এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, P এবং Q-কে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং যেহেতু R একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই R- এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে:

একটি সরাসরি গণনা এখন দেয়:

এই সূত্রটি সাধারণত লাইবনিজ সূত্র নামে পরিচিত। এটি চিহ্নগুলোর স্থানের মধ্যে গঠনটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যার ফলে রিং কাঠামো প্ররোচিত হয়।

আরো দেখুন[সম্পাদনা]

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. Olver, Peter J. (২০০০)। Applications of Lie Groups to Differential Equations। Springer। পৃষ্ঠা 318–319। আইএসবিএন 9780387950006 

টেমপ্লেট:Calculus topics