লাইবনিজের সাধারণ নিয়ম

ক্যালকুলাসে, লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়ম,^[১] গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের নামানুসারে, গুণের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে (যা "লিবনিজের নিয়ম" নামেও পরিচিত)। এটা বলে যে যদি $f$ এবং $g$ হয় $n$ -বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন, তারপর পণ্য $fg$ এছাড়াও হয় $n$ -সময় পার্থক্যযোগ্য এবং তার $n$ তম ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়

(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},

যেখানে ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ হয় দ্বিপদী সহগ এবং $f^{(j)}$ নির্দেশ করে jএর ডেরিভেটিভ f (এবং বিশেষ করে $f^{(0)}=f$ ).

গুণের নিয়ম এবং গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে নিয়মটি প্রমাণ করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ

উদাহরণস্বরূপ, যদি, $n = 2$ , নিয়ম দুটি ফাংশনের একটি পণ্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য একটি রাশি দেয়:

(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).

দুটির বেশি গুণীতক

সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে m ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f₁,...,f_m.

(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).

যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত m -টুপল (k ₁ ,..., k _m) জুড়ে প্রসারিত হয় $\sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,$ এবং

\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,

বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ।

লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক, $f$ এবং $g$ হতে $n$ - বার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন। বেস কেস যখন $n=1$ দাবি করে যে:

(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.

যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে $n\geq 1,$ যে,

(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.

Then,

{\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}

এবং তাই প্রকাশটি $n+1,$ এর জন্য সঠিক এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ।

মাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha  \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).

এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, P এবং Q-কে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং $R=P\circ Q.$ যেহেতু R একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই R- এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে: