লম্ব অক্ষ উপপাদ্য

পদার্থবিজ্ঞানে লম্ব অক্ষ উপপাদ্য বা সমতলীয় চিত্র উপপাদ্য (ইংরেজি: perpendicular axis theorem, plane figure theorem) হলো: "যেকোনো অক্ষ (z) এর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক অপর দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ (x ও y) সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টির সমান, যেখানে অক্ষত্রয় পরস্পর সমবিন্দু।" অন্যভাবে বললে "কোনো সমতল পাতের তলের উপর উপস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দুই অক্ষদ্বয়ের ছেদ বিন্দু দিয়ে এবং পাতের উপর লম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।"

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি অক্ষ যথাক্রমে $x$, $y$, $z$ বিবেচনা করা হলো। অক্ষত্রয় $O$ মূলবিন্দুতে পরস্পর মিলিত হয়। ধরা যাক, একটি বস্তু $xy$ তলে অবস্থান করে এবং তাহলে $z$ অক্ষটি এই তলের উপর লম্ব। এখন I_x, I_y ও I_z যদি যথাক্রমে x, y, z অক্ষত্রয় সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামক নির্দেশ করে, তাহলে লম্ব অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে,

$I_{z}=I_{x}+I_{y}$

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য এবং স্ট্রেচ রুল বা রুথের নিয়মের পাশাপাশি লম্ব অক্ষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে বিভিন্ন আকৃতির ঘূর্ণায়মান বস্তুর জন্য জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করা যায়।

যদি কোনো সমতলীয় বস্তুতে ঘূর্ণন প্রতিসমতা থাকে, যেমন যদি $I_{x}$ এবং $I_{y}$ পরস্পর সমান হয়, তাহলে:

$I_{z}=2I_{x}=2I_{y}$

প্রতিপাদন

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাহায্যে দেখানো যায়, একটি সমতলীয় বস্তুর ক্ষেত্রে এর $z$ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক:

$I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}$

তলের উপরিতলে $z=0$, তাই এই পদদুটি মূলত $x$ ও $y$ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক, যা মূলত লম্ব অক্ষ উপপাদ্য। এর বিপরীত উপপাদ্যটিও একই উপায়ে প্রতিপাদন করা যায়।

এখানে লক্ষ্যণীয় যে $\int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}$ কারণ $\int r^{2}\,dm$ এর ক্ষেত্রে $r$ মূলত ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্ব নির্দেশ করে। একই কথা y অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হবে, কারণ কোনো বিন্দুর ঘূর্ণন অক্ষ হতে দূরত্ব সেক্ষেত্রে x অক্ষের মানের সমান।

আরও দেখুন

• সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য
• স্ট্রেচ রুল