যমজ মৌলিক সংখ্যা

একটি যমজ মৌলিক সংখ্যা হলো একটি মৌলিক সংখ্যা যা অন্য একটি মৌলিক সংখ্যার চেয়ে হয় ২ কম বা ২ বেশি—উদাহরণস্বরূপ, যমজ মৌলিক জোড়ের $(১৭, ১৯)$ বা $(৪১, ৪৩)$ এর অনুরূপ যেকোনো সদস্য। অর্থাৎ ক্রমিক মৌলিক সংখ্যাদ্বয় মূলত যমজ মৌলিক জোড়। অন্যভাবে বলতে গেলে, যমজ মৌলিক সংখ্যা হলো এমন একটি মৌলিক সংখ্যা যার মৌলিক ব্যবধান দুই। কখনো কখনো যমজ মৌলিক সংখ্যা শব্দটি যমজ মৌলিক সংখ্যার একটি জোড়ের জন্য ব্যবহৃত হয়; এর জন্য একটি বিকল্প নাম হলো মৌলিক যমজ বা মৌলিক জোড়।

যমজ মৌলিক সংখ্যাগুলো বৃহত্তর পরিসর পরীক্ষা করার সাথে সাথে ক্রমশ বিরল হয়ে ওঠে, যা সংলগ্ন মৌলিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ব্যবধান সংখ্যাগুলো নিজেরাই বড় হওয়ার সাথে সাথে বৃহত্তর হওয়ার সাধারণ প্রবণতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তবে, অসীম সংখ্যক যমজ মৌলিক সংখ্যা আছে কিনা (তথাকথিত যমজ মৌলিক অনুমান) বা সবচেয়ে বড় জোড় আছে কিনা তা অজানা। ইটাং ঝাং-এর ২০১৩ সালের যুগান্তকারী^[১] কাজ, পাশাপাশি জেমস মেয়নার্ড, টেরেন্স টাও এবং অন্যদের কাজ, অসীম সংখ্যক যমজ মৌলিক সংখ্যা আছে তা প্রমাণ করার দিকে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি সাধন করেছে, কিন্তু বর্তমানে এটি অমীমাংসিত রয়ে গেছে।^[২]

অপ্রমাণিত গণিত সমস্যা

অসীম সংখ্যক যমজ মৌলিক সংখ্যা আছে কি?

আরও গণিত অসমাধিত সমস্যা

বৈশিষ্ট্য

সাধারণত $(২, ৩)$ জোড়কে যমজ মৌলিক সংখ্যার জোড় হিসেবে বিবেচনা করা হয় না।^[৩] যেহেতু ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা, তাই এই জোড়টি একমাত্র মৌলিক সংখ্যার জোড় যা এক দ্বারা পৃথক; এইভাবে যমজ মৌলিক সংখ্যাগুলো অন্য যেকোনো দুটি মৌলিক সংখ্যার জন্য যতটা সম্ভব কাছাকাছি দূরত্বে অবস্থিত।

প্রথম কয়েকটি যমজ মৌলিক জোড় হলো

(৩, ৫), (৫, ৭), (১১, ১৩),

(১৭, ১৯), (২৯, ৩১), (৪১, ৪৩),

(৫৯, ৬১), (৭১, ৭৩), (১০১, ১০৩),

(১০৭, ১০৯), (১৩৭, ১৩৯), ...

(ওইআইএস: A077800)।

পাঁচ হলো একমাত্র মৌলিক সংখ্যা যা দুটি জোড়ের অন্তর্গত, কারণ $(৩, ৫)$ এর চেয়ে বড় প্রতিটি যমজ মৌলিক জোড় $(6n-1,6n+1)$ আকারে থাকে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ এর জন্য; অর্থাৎ, দুটি মৌলিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা ৬ এর গুণিতক।^[৪] ফলস্বরূপ, যেকোনো যমজ মৌলিক জোড়ের (৩ এবং ৫ ব্যতীত) যোগফল ১২ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্রুনের উপপাদ্য

১৯১৫ সালে, ভিগো ব্রুন দেখিয়েছিলেন যে যমজ মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণোত্তর বিপরীত-এর যোগফল অভিসারী ছিল।^[৫] এই বিখ্যাত ফলাফল, যা ব্রুনের উপপাদ্য নামে পরিচিত, ব্রুন চালনী এর প্রথম ব্যবহার ছিল এবং আধুনিক চালনী তত্ত্ব এর উন্নয়নে সহায়তা করেছিল। ব্রুনের যুক্তির আধুনিক সংস্করণ ব্যবহার করে দেখানো যায় যে $N$ এর চেয়ে কম যমজ মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অতিক্রম করে না : ${\frac {CN}{(\log N)^{2}}}$

কোনো পরম ধ্রুবক $C$ > 0 এর জন্য।^[৬] প্রকৃতপক্ষে, এটি উপরে দ্বারা আবদ্ধ ${\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],$ যেখানে $C_{2}$ হলো যমজ মৌলিক ধ্রুবক (২/৩ এর চেয়ে সামান্য কম), নিচে দেওয়া।^[৭]

যমজ মৌলিক অনুমান

অসীম সংখ্যক যমজ মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব আছে কি না এই প্রশ্নটি বহু বছর ধরে উন্মুক্ত প্রশ্ন হিসেবে সংখ্যাতত্ত্বের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। এটিই যমজ মৌলিক অনুমান এর মূল বিষয়বস্তু, যা বলে যে অসংখ্য মৌলিক সংখ্যা $p$ বিদ্যমান যেখানে ( $p + 2$ )ও একটি মৌলিক সংখ্যা। ১৮৪৯ সালে, দ্য পলিনিয়াক আরও সাধারণ একটি অনুমান প্রদান করেন যে প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা $k$ এর জন্য, অসংখ্য মৌলিক সংখ্যা $p$ বিদ্যমান যেখানে ( $p + 2 k$ )ও একটি মৌলিক সংখ্যা।^[৮] দ্য পলিনিয়াকের অনুমানের $k$ = 1 ক্ষেত্রটিই যমজ মৌলিক অনুমান হিসেবে স্বীকৃত।

যমজ মৌলিক অনুমানের একটি শক্তিশালী রূপ, হার্ডি-লিটলউড অনুমান, যমজ মৌলিক সংখ্যাগুলির জন্য মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের অনুরূপ একটি বণ্টন নিয়ম প্রস্তাব করে।

১৭ এপ্রিল ২০১৩ সালে, ইটাং ঝাং একটি প্রমাণ ঘোষণা করেন যে একটি পূর্ণসংখ্যা $N$ বিদ্যমান যা ৭০ মিলিয়নের চেয়ে কম, যেখানে অসংখ্য মৌলিক সংখ্যার জোড়া রয়েছে যাদের পার্থক্য $N$ ।^[৯] ঝাং এর গবেষণাপত্র ২০১৩ সালের মে মাসের শুরুতে গৃহীত হয়।^[১০] টেরেন্স টাও পরবর্তীতে ঝাং এর সীমা উন্নত করার জন্য একটি পলিম্যাথ প্রকল্প তথা সহযোগিতামূলক প্রচেষ্টার প্রস্তাব করেন।^[১১]

ঝাং এর ঘোষণার এক বছর পর, সীমাটি ২৪৬ এ হ্রাস পেয়েছিল, যা অদ্যাবধি রয়ে গেছে।^[১২] এই উন্নত সীমাগুলি ঝাং এর চেয়ে সহজ একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে আবিষ্কৃত হয়েছিল এবং জেমস মেয়নার্ড ও টেরেন্স টাও দ্বারা স্বাধীনভাবে আবিষ্কৃত হয়েছিল। এই দ্বিতীয় পদ্ধতি ক্ষুদ্রতম $f (m)$ এর জন্যও সীমা প্রদান করেছিল যা নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজন যে $f (m)$ প্রস্থের অসংখ্য ব্যবধানে কমপক্ষে $m$ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। তাছাড়া এলিয়ট-হালবারস্টাম অনুমান এবং এর সাধারণীকৃত রূপ অনুমান করে, পলিম্যাথ প্রকল্প উইকি বলে যে সীমা যথাক্রমে ১২ এবং ৬।^[১২]

গোল্ডবাখের অনুমানের একটি শক্তিশালী রূপ, যদি প্রমাণিত হয়, তাহলে এটিও প্রমাণ করবে যে অসংখ্য যমজ মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, যেমনটি সিগেল শূন্যের অস্তিত্বও করবে।

বৃহৎ মান

২০০৭ সাল থেকে শুরু করে দুটি বণ্টনকৃত কম্পিউটিং প্রকল্প, যমজ মৌলিক অনুসন্ধান এবং প্রাইমগ্রিড, একাধিক রেকর্ড ভঙ্গকারী বৃহত্তম যমজ মৌলিক সংখ্যা আবিষ্কার করেছে। ২০২৫ সালের জানুয়ারি পর্যন্ত সর্ববৃহৎ জানা যমজ মৌলিক জোড়াটি হল ২৯৯৬৮৬৩০৩৪৮৯৫ × ২^{১২৯০০০০} ± ১ ,^[১৩] সংখ্যাটিতে ৩,৮৮,৩৪২টি অঙ্ক রয়েছে। এটি আবিষ্কৃত হয়েছিল সেপ্টেম্বর ২০১৬-এ।^[১৪]

$১০ ১৮$ -এর নিচে মোট ৮০৮,৬৭৫,৮৮৮,৫৭৭,৪৩৬টি যমজ মৌলিক জোড়া রয়েছে।^[১৫]^[১৬]

$৪.৩৫ \times ১০ ১৫$ পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক জোড়ার একটি প্রায়োগিক বিশ্লেষণে দেখা গেছে—যদি $x$ -এর চেয়ে ছোট যমজ জোড়ার সংখ্যাকে $f (x) \cdot x /(log x) 2$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে $f (x)$ প্রায় ১.৭ (ক্ষুদ্র $x$ -এর জন্য) এবং $x$ অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে ১.৩-এর কাছাকাছি হ্রাস পায়। হার্ডি–লিটলউড অনুমান অনুসারে, $f (x)$ -এর সীমাবদ্ধ মান যমজ মৌলিক ধ্রুবকের দ্বিগুণ (ওইআইএস: A114907) বলে ধারণা করা হয় (ব্রুনের ধ্রুবক থেকে ভিন্ন)।

তথ্যসূত্র

↑ টেমপ্লেট:Cite periodical
↑ Tao, Terry, Ph.D. (উপস্থাপক) (৭ অক্টোবর ২০১৪)। Small and large gaps between the primes (ভিডিও বক্তৃতা)। UCLA Department of Mathematics – YouTube-এর মাধ্যমে।
↑ "The first 100,000 twin primes (only first member of pair)" (plain text)। Lists। The Prime Pages (primes.utm.edu)। Martin, TN: U.T. Martin।
↑ Caldwell, Chris K.। "Are all primes (past 2 and 3) of the forms $6 n +1$ and $6 n -1$ ?"। The Prime Pages (primes.utm.edu)। Martin, TN: U.T. Martin। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৯-২৭।
↑ Brun, V. (১৯১৫)। "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare" [On Goldbach's rule and the number of prime number pairs]। Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (জার্মান ভাষায়)। 34 (8): 3–19। আইএসএসএন 0365-4524। জেএফএম 45.0330.16।
↑ Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (২০০৪)। Analytic Number Theory। World Scientific। পৃষ্ঠা 313 and 334–335। Zbl 1074.11001। আইএসবিএন 981-256-080-7।
↑ Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon (২০১০)। Sieve Methods। Dover Publications। পৃষ্ঠা 117।
↑ de Polignac, A. (১৮৪৯)। "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [মৌলিক সংখ্যার উপর নতুন গবেষণা]। Comptes rendus (ফরাসি ভাষায়)। 29: 397–401। [পৃষ্ঠা ৪০০ হতে] "1^er Théorème. Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ..." (১ম উপপাদ্য। প্রতিটি জোড় সংখ্যা অসংখ্য উপায়ে দুটি ক্রমাগত মৌলিক সংখ্যার পার্থক্যের সমান ...)
↑ McKee, Maggie (১৪ মে ২০১৩)। "First proof that infinitely many prime numbers come in pairs"। Nature। আইএসএসএন 0028-0836। ডিওআই:10.1038/nature.2013.12989।
↑ Zhang, Yitang (২০১৪)। "Bounded gaps between primes"। Annals of Mathematics। 179 (3): 1121–1174। এমআর 3171761। ডিওআই:10.4007/annals.2014.179.3.7 ।
↑ Tao, Terence (৪ জুন ২০১৩)। "Polymath proposal: Bounded gaps between primes"।
↑ ^ক ^খ "Bounded gaps between primes"। Polymath (michaelnielsen.org)। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-০৩-২৭।
↑ কাল্ডওয়েল, ক্রিস কে.। " ২৯৯৬৮৬৩০৩৪৮৯৫ × ২^{১২৯০০০০} − ১ "। The Prime Database। মার্টিন, টিএন: ইউটি মার্টিন।
↑ "বিশ্ব রেকর্ড যমজ মৌলিক সংখ্যা পাওয়া গেছে!"। primegrid.com। ২০ সেপ্টেম্বর ২০১৬।
↑ স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক)। "Sequence A007508 ( $১০ n$ -এর নিচে যমজ মৌলিক জোড়ার সংখ্যা)"। দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স। ওইআইএস ফাউন্ডেশন। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১১-০১।
↑ অলিভেইরা ই সিলভা, টমাস (৭ এপ্রিল ২০০৮)। " $π (x)$ এবং $π ২ (x)$ -এর মানের সারণি"। আভেইরো বিশ্ববিদ্যালয়। সংগ্রহের তারিখ ৭ জানুয়ারি ২০১১।

Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (২০০৪)। Analytic Number Theory। World Scientific। Zbl 1074.11001। আইএসবিএন 981-256-080-7।

[1] টেমপ্লেট:Cite periodical

[2] Tao, Terry, Ph.D. (উপস্থাপক) (৭ অক্টোবর ২০১৪)। Small and large gaps between the primes (ভিডিও বক্তৃতা)। UCLA Department of Mathematics – YouTube-এর মাধ্যমে।

[3] "The first 100,000 twin primes (only first member of pair)" (plain text)। Lists। The Prime Pages (primes.utm.edu)। Martin, TN: U.T. Martin।

[4] Caldwell, Chris K.। "Are all primes (past 2 and 3) of the forms $6 n +1$ and $6 n -1$ ?"। The Prime Pages (primes.utm.edu)। Martin, TN: U.T. Martin। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৯-২৭।

[Brun-1915-5] Brun, V. (১৯১৫)। "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare" [On Goldbach's rule and the number of prime number pairs]। Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (জার্মান ভাষায়)। 34 (8): 3–19। আইএসএসএন 0365-4524। জেএফএম 45.0330.16।

[Bateman-Diamond-2004-6] Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (২০০৪)। Analytic Number Theory। World Scientific। পৃষ্ঠা 313 and 334–335। Zbl 1074.11001। আইএসবিএন 981-256-080-7।

[7] Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon (২০১০)। Sieve Methods। Dover Publications। পৃষ্ঠা 117।

[dePolignac-1849-8] Polignac, A. (১৮৪৯)। "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [মৌলিক সংখ্যার উপর নতুন গবেষণা]। Comptes rendus (ফরাসি ভাষায়)। 29: 397–401। [পৃষ্ঠা ৪০০ হতে] "1^er Théorème. Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ..." (১ম উপপাদ্য। প্রতিটি জোড় সংখ্যা অসংখ্য উপায়ে দুটি ক্রমাগত মৌলিক সংখ্যার পার্থক্যের সমান ...)

[9] McKee, Maggie (১৪ মে ২০১৩)। "First proof that infinitely many prime numbers come in pairs"। Nature। আইএসএসএন 0028-0836। ডিওআই:10.1038/nature.2013.12989।

[10] Zhang, Yitang (২০১৪)। "Bounded gaps between primes"। Annals of Mathematics। 179 (3): 1121–1174। এমআর 3171761। ডিওআই:10.4007/annals.2014.179.3.7 ।

[11] Tao, Terence (৪ জুন ২০১৩)। "Polymath proposal: Bounded gaps between primes"।

[nielsen-bd-gaps-12] ক ^খ "Bounded gaps between primes"। Polymath (michaelnielsen.org)। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-০৩-২৭।

[13] কাল্ডওয়েল, ক্রিস কে.। " ২৯৯৬৮৬৩০৩৪৮৯৫ × ২^{১২৯০০০০} − ১ "। The Prime Database। মার্টিন, টিএন: ইউটি মার্টিন।

[14] "বিশ্ব রেকর্ড যমজ মৌলিক সংখ্যা পাওয়া গেছে!"। primegrid.com। ২০ সেপ্টেম্বর ২০১৬।

[15] স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক)। "Sequence A007508 ( $১০ n$ -এর নিচে যমজ মৌলিক জোড়ার সংখ্যা)"। দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স। ওইআইএস ফাউন্ডেশন। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১১-০১।

[16] অলিভেইরা ই সিলভা, টমাস (৭ এপ্রিল ২০০৮)। " $π (x)$ এবং $π ২ (x)$ -এর মানের সারণি"। আভেইরো বিশ্ববিদ্যালয়। সংগ্রহের তারিখ ৭ জানুয়ারি ২০১১।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]