ভাজিত সংখ্যা

ভাজিত সংখ্যা $H_{n}$ যেখানে $n=\lfloor x\rfloor$ (লাল রেখা) যার অসীমতট সীমা $\gamma +\ln(x)$ (নীল রেখা)। এখানে $\gamma$ অয়লার-মাশ্চেরনি ধ্রুবক ।

গণিতে, n -তম ভাজিত সংখ্যা হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি: $$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$$

n = 1 থেকে শুরু করে ভাজিত সংখ্যার ক্রম নিম্নরূপ:$$1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots$$

ভাজিত সংখ্যাসমূহ বিপরীত গড়ের সাথে সম্পর্কিত। n -তম ভাজিত সংখ্যা প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিপরীত গড়ের গুণাত্মক বিপরীতের n গুণ।

ভাজিত সংখ্যাগুলো প্রাচীনকাল থেকেই অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং সংখ্যা তত্ত্বের বিভিন্ন শাখায় এর গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে। কখনো কখনো এ সংখ্যাগুলোকে ভাজিত ধারা বলা হয় যা রিম্যান জেটা ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এসব সংখ্যা বিভিন্ন বিশেষ ফাংশনের অভিব্যক্তিতে নানাভাবে উপস্থিত হতে দেখা যায়।

ভাজিত সংখ্যা মোটামুটিভাবে প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশনের সাথে আনুমানিক এবং একইভাবে সংশ্লিষ্ট ভাজিত ধারা সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, যদিও ধীরে ধীরে। ১৭৩৭ সালে, লিওনার্ড অয়লার মৌলিক সংখ্যার অসীমতার একটি নতুন প্রমাণ প্রদান করতে ভাজিত ধারার অভিসৃতি ব্যবহার করেছিলেন। ১৮৫৯ সালে বার্নহার্ড রিম্যান তার এই পদ্ধতিটিকে জটিল সমতলে ব্যবহার করেছিলেন। যা সরাসরি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত বিখ্যাত রিম্যান হাইপোথিসিসের দিকে নিয়ে যায়।

যখন বৃহৎ পরিমাণ কোনো জিনিসের মান জিফ নীতি অনুযায়ী বন্টিত থাকে, তখন n (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস) এর মোট মান n -তম ভাজিত সংখ্যার সমানুপাতিক হয়। যার মাধ্যমে বিভিন্ন বিস্ময়কর সিদ্ধান্ত উপনীত হওয়া যায় যেমন লম্বা লেজ তত্ত্ব এবং নেটওয়ার্ক মান তত্ত্ব।

বার্ট্র্যান্ড-চেবিশেভ উপপাদ্য অনুসারে n = 1 ব্যতীত ভাজিত সংখ্যা কখনো পূর্ণসংখ্যা হয় না।

প্রথম ৪০টি ভাজিত সংখ্যা

n	ভাজিত সংখ্যা, Hn
	ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ		দশমিক মান	আপেক্ষিক আকার
1	1		1	1
2	3	/2	1.5	1.5
3	11	/6	~1.83333	1.83333
4	25	/12	~2.08333	2.08333
5	137	/60	~2.28333	2.28333
6	49	/20	2.45	2.45
7	363	/140	~2.59286	2.59286
8	761	/280	~2.71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~2.82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~2.92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~3.01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~3.10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~3.18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~3.25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~3.31823	3.31823
16	2 436 559	/720 720	~3.38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~3.43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~3.49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~3.54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~3.59774	3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~3.64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~3.69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~3.73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~3.85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~3.89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~3.92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~3.99499	3.99499
31	290 774 257 297 357	/72 201 776 446 800	~4.02725	4.02725
32	586 061 125 622 639	/144 403 552 893 600	~4.05850	4.0585
33	53 676 090 078 349	/13 127 595 717 600	~4.08880	4.0888
34	54 062 195 834 749	/13 127 595 717 600	~4.11821	4.11821
35	54 437 269 998 109	/13 127 595 717 600	~4.14678	4.14678
36	54 801 925 434 709	/13 127 595 717 600	~4.17456	4.17456
37	2 040 798 836 801 833	/485 721 041 551 200	~4.20159	4.20159
38	2 053 580 969 474 233	/485 721 041 551 200	~4.22790	4.2279
39	2 066 035 355 155 033	/485 721 041 551 200	~4.25354	4.25354
40	2 078 178 381 193 813	/485 721 041 551 200	~4.27854	4.27854

ভাজিত সংখ্যা সম্পর্কিত অভেদক

সংজ্ঞা অনুসারে, হারমোনিক সংখ্যাগুলি পুনরাবৃত্ত অন্বয়কে সন্তুষ্ট করে- $$H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.$$

ভাজিত সংখ্যা নিন্মোক্ত সম্পর্কের মাধ্যমে প্রথম ধরণের স্টার্লিং সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত- $$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$$

ভাজিত সংখ্যা নিম্নের ধারাগুলোকেও সন্তুষ্ট করে- $$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$$এবং $$\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.$$এই দুই ধারার ফলাফল সংশ্লিষ্ট সমাকলন ফলাফলের সাথে অত্যন্ত সাদৃশ্যপূর্ণ $$\int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x$$ এবং $$\int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.$$

এখানে বেশ কয়েকটি অসীম ধারার সমষ্টি রয়েছে যেখানে ভাজিত সংখ্যা এবং π অন্তর্ভুক্ত: $${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}$$