ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
Jump to navigation Jump to search

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, কোন বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের (যে চতুর্ভুজ একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ) চার বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত থাকলে  ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র ব্যবহার করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। 

সূত্র[সম্পাদনা]

যদি কোন বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের চার বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c, d হয় তাহলে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রানুসারে সেই চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল K হবে,

যেখানে s হল চতুর্ভুজটির পরিবৃত্তের অর্ধপরিসীমা

এই সূত্রটি হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার হেরনের সূত্রের সাধারণ রূপ। কারণ একটি চতুর্ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হলে সেটি ত্রিভুজে পরিণত হয়। এই ধারণা থেকে থেকে ধরি চতুর্থ বাহুটির দৈর্ঘ্য d শূন্য হল। তাহলে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজে (সকল ত্রিভুজই বৃত্তস্থ) রূপান্তরিত হবে, এবং ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রটি হেরনের সূত্র প্রমাণ করবে।

যদি পরিবৃত্তের অর্ধপরিসীমা ব্যবহৃত না হয় তাহলে সূত্রটি হবে,

এই সূত্রটির আরও একটি রূপ হল,

প্রমাণ[সম্পাদনা]

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার DA, AB, BC, CD বাহুর দৈর্ঘ্য হল p, q, r এবং s

ত্রিকোণমিতির সাহায্যে প্রমাণ[সম্পাদনা]

ডানদিকে অঙ্কিত চিত্রটির সাহায্যে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রটি প্রমাণ করা হবে। এখানে চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল হল এবং কর্ণ দ্বারা বিভিক্ত দুটি ত্রিভুজ  এবং  এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফলের সমান।

কিন্তু যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই 

ত্রিভুজ  এবং  এর সাধারণ বাহু এর উপর কোসাইনের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

(যেহেতু কোণ এবং সম্পূরক কোণ) বসিয়ে পাই,

ক্ষেত্রফলের সমীকরণে এই সমীকরণটি বসিয়ে পাই,

সমীকরণের ডানপক্ষটি দুটি বর্গের বিয়োগফল। সেজন্য এটিকে  আকারে ভেঙে পাওয়া যায়,

প্রথম বন্ধনী তুলে দিয়ে সমীকরণটিকে সাজালে পাওয়া যায়, 

এবার অর্ধপরিসীমার রাশি  সমীকরণে বসিয়ে পাওয়া যায়,

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করলে নিন্মলিখিত সমীকরণটি পাওয়া যায়

বৃত্তস্থ নয় এমন চতুর্ভুজে প্রয়োগ[সম্পাদনা]

বৃত্তস্থ নয় এমন চতুর্ভুজে বিপরীতমুখী দুটি কোন জানা থাকলে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রের বর্ধিত রূপ প্রয়োগ করে পাওয়া যায়,

যেখানে θ হল দুটি বিপরীতমুখী কোণের সমষ্টির অর্ধেক। (এখনো যেকোনো দুটি বিপরীতমুখী কোন ধরলেই হবে, কারণ যদি অপর দুটি বিপরীতমুখী কোন নেওয়া হয় তাহলে তাদের সমষ্টির অর্ধেক হল , এখন , সুতরাং ; এই সাধারণ সমীকরণটি ব্রেটস্নাইডারের সূত্র নামে পরিচিত। 

কোনো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীতমুখী কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ () হয়। সুতরাং কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক হবে এক সমকোণ ()। অতএব,

সুতরাং এটি থেকে ব্রহ্মগুপ্তের সমীকরণে আসা যায়। এটির থেকে আরও জানা যায় যে চার বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত থাকলে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হয়। 

একজন আমেরিকান গণিতজ্ঞ জুলিয়ান কোলিজ একটি সমীকরণ প্রমাণ করেছিলেন, যেটির সাহায্যে যেকোনো কুব্জ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। সেটি হল,[১]

যেখানে এবং হল চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে চতুর্ভুজের , সুতরাং এই সমীকরণ দিয়েও ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র প্রমাণ করা যায়।

সম্পর্কিত উপপাদ্য[সম্পাদনা]

  • হেরনের সূত্রটি হল ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রের একটি বিশেষ রূপ যেখানে চতুর্ভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য ধরা হয়েছে।
  • যেভাবে কোসাইনের সূত্র থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্যে আসা যায় ঠিক সেইভাবে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রের বর্ধিত রূপ থেকে সাধারণ আকারে আসা যায়।

References[সম্পাদনা]

  1. J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.