ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন

একটি ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন

গণিতে, একটি বাস্তব চলকের একটি ব্যবকলনযোগ্য বা অন্তরীকরণযোগ্য বা ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার ডেরিভেটিভ তার ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দুতে বিদ্যমান। অন্য কথায়, একটি ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনের গ্রাফের ডোমেইনের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে একটি অ-উল্লম্ব স্পর্শক রেখা থাকে। একটি ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন মসৃণ (ফাংশনটি স্থানীয়ভাবে ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দুতে একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে ধরা হয়) এবং এতে কোনও বিরতি, কোণ বা চূড়া থাকে না।

যদি একটি ফাংশন f এর ডোমেইনের কোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দু x₀ হয়, তখন f কে x₀ বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি ডেরিভেটিভ $f'(x_{0})$ বিদ্যমান থাকে। অন্যভাবে বলতে গেলে, f এর গ্রাফে (x₀, f(x₀)) বিন্দুতে একটি আনুভূমিক নয় এমন স্পর্শক রেখা থাকবে। f কে U ব্যবধি-তে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি এটি U-এর প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য হয়। f কে একই সাথে ধারাবাহিক ও অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি এর ডেরিভেটিভও ফাংশনের ডোমেইন বরাবর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়। সাধারণভাবে, f কে $C^{k}$ শ্রেণীর বলা হয় যদি এর প্রথম kটি ডেরিভেটিভ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ থাকে এবং ফাংশন f-এর ডোমেইনে ধারাবাহিক হয়।

একটি ফাংশন $f:U\to \mathbb {R}$, যা একটি খোলা সেট ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$-এ সংজ্ঞায়িত, বল হয় যে এটি $a\in U$-এ ডিফারেনশিয়েবল যদি ডেরিভেটিভ

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

বিদ্যমান থাকে। যার অর্থ ফাংশনটি a বিন্দুতে একই সাথে ধারাবাহিক (continuous)।

অন্তরীকরণযোগ্যতা ও ধারাবাহিকতা

অ্যাবসোলিউট ভ্যালু (পরম মান) ফাংশনটিকে ধারাাবাহিক বলা হয় (অর্থাৎ এর মধ্যে কোনো ফাঁক নেই)। এটি সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল, শুধুমাত্র x = 0 বিন্দুটি ব্যতীত, যেখানে এটি y-অক্ষ ছাড়িয়ে যাওয়ার সময় একটি তীব্র মোড় নেয়।

একটি ধারাবাহিক ফাংশনের গ্রাফে একটি চূড়া বিন্দু হলো শুন্য। শূন্য বিন্দুটিতে, ফাংশনটি ধারাবাহিক হলেও ডিফারেনশিয়েবল নয়।

একটি ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন

গণিতে, একটি বাস্তব চলকের একটি ব্যবকলনযোগ্য বা অন্তরীকরণযোগ্য বা ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার ডেরিভেটিভ তার ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দুতে বিদ্যমান। অন্য কথায়, একটি ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনের গ্রাফের ডোমেইনের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে একটি অ-উল্লম্ব স্পর্শক রেখা থাকে। একটি ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন মসৃণ (ফাংশনটি স্থানীয়ভাবে ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দুতে একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে ধরা হয়) এবং এতে কোনও বিরতি, কোণ বা চূড়া থাকে না।

একটি ফাংশন $f:U\to \mathbb {R}$, যা একটি খোলা সেট ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$-এ সংজ্ঞায়িত, বল হয় যে এটি $a\in U$-এ ডিফারেনশিয়েবল যদি ডেরিভেটিভ

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

আরো দেখুন

• ডেরিভেটিভের সাধারণীকরণ
• আধা-পার্থক্যযোগ্যতা
• ডিফারেনশিয়াবল প্রোগ্রামিং