বহুভুজ সংখ্যা

গণিতে বহুভুজ সংখ্যা বলতে সুষম বহুভুজের আকৃতিতে সজ্জিত বিন্দুসমূহের সংখ্যাগত প্রতিরূপকে বোঝায়^[১]^:2-3। এগুলি দ্বি-মাত্রিক চিত্রিত সংখ্যার একটি বিশেষ শ্রেণিভুক্ত।

প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদগণ খ্রিস্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম আয়তক্ষেত্রাকার সংখ্যা, ত্রিভুজাকার সংখ্যা ও বর্গ সংখ্যার গুণাবলী নিয়ে গবেষণা ও বিশ্লেষণের মাধ্যমে বহুভুজ সংখ্যার ধারণা উদ্ভাবন করেন^[১]^:1।

সংজ্ঞা ও উদাহরণ

উদাহরণস্বরূপ, ১০ সংখ্যাটি একটি ত্রিভুজাকার রূপে সজ্জিত হতে পারে:

কিন্তু ১০ সংখ্যাটি বর্গাকারে সজ্জিত করা যায় না। অন্যদিকে, ৯ সংখ্যাটি বর্গাকারে সজ্জিত করা সম্ভব (দেখুন):

কিছু সংখ্যা, যেমন ৩৬, একইসাথে বর্গাকার ও ত্রিভুজাকার উভয় রূপে সজ্জিত হতে পারে (দেখুন):

প্রচলিত রীতি অনুযায়ী, যেকোনো বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের জন্য ১ হল প্রথম বহুভুজ সংখ্যা। বহুভুজের আকার বৃদ্ধির নিয়ম হলো: দুটি সন্নিহিত বাহুকে একটি বিন্দু দ্বারা প্রসারিত করা এবং তারপর ঐ বিন্দুগুলির মধ্যে প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত বাহু যোগ করা। নিচের চিত্রগুলিতে প্রতিটি নতুন স্তর লাল রঙে চিহ্নিত হয়েছে।

ত্রিভুজাকার সংখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্রমে সজ্জিত সংখ্যাক্রমকে ত্রিভুজাকার সংখ্যা বলা হয়। এই সংখ্যাক্রমটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬, ৪৫, ইত্যাদি।

বর্গ সংখ্যা

পঞ্চভুজাকার সংখ্যা

পঞ্চভুজ বা উচ্চতর বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রেও এই নিয়ম প্রযোজ্য, যদিও এগুলির বিন্দুগুলি উপরের মতো নিখুঁত জালি গঠন করে না।

ষড়ভুজাকার সংখ্যা

সূত্র

যদি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা $s$ হয়, তাহলে $n$ -তম $s$ -ভুজাকার সংখ্যা $P(s,n)$ -এর সূত্র হলো:

$P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}$

$s$ -ভুজাকার সংখ্যার সাথে ত্রিভুজাকার সংখ্যা $T_{n}$ -এর সম্পর্ক নিম্নরূপ^[২]:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}$

এখান থেকে প্রাপ্ত গুরুত্বপূর্ণ সমতাগুলি: ${\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}},\\P(s+k,n)-P(s,n)&=k\cdot T_{n-1}=k\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}.\end{aligned}}$

কোনো $s$ -ভুজাকার সংখ্যা $P(s,n)=x$ প্রদত্ত হলে, $n$ নির্ণয়ের সূত্র: $n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}$

এবং $s$ নির্ণয়ের সূত্র: $s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}$

প্রতিটি ষড়ভুজাকার সংখ্যা একটি ত্রিভুজাকার সংখ্যা

চিত্রের মাধ্যমে প্রমাণ: যে ষড়ভুজাকার সংখ্যাগুলি একইসাথে বিজোড়-ক্রমিক ত্রিভুজাকার সংখ্যা

উপরের সূত্র প্রয়োগ করে: $P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n$

$s=6$ (ষড়ভুজ) বসালে: $P(6,n)=4T_{n-1}+n$

যেহেতু $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}$ , $P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}$

এটি প্রমাণ করে যে $n$ -তম ষড়ভুজাকার সংখ্যা $P(6,n)$ হলো $(2n-1)$ -তম ত্রিভুজাকার সংখ্যা $T_{2n-1}$ । অর্থাৎ, কেবল বিজোড় ক্রমিক ত্রিভুজাকার সংখ্যাগুলিই ষড়ভুজাকার সংখ্যা^[২]:

১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬, ৪৫, ৫৫, ৬৬, ...

মানের সারণী

প্রথম ৬টি বহুভুজ সংখ্যার (ত্রিভুজাকার থেকে অষ্টভুজাকার) "বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি" স্তম্ভের মানগুলি একটি প্রকাশিত গবেষণাপত্র থেকে গৃহীত, যা ডাইগামা ফাংশন^[৩] ব্যবহার করে যেকোনো বাহুর সংখ্যার জন্য সাধারণ সূত্র প্রদান করে।

$s$	নাম (সংখ্যা)	সূত্র	$n$										হারমোনিক সমষ্টি^[৩]^[৪]	ওইআইএস
$s$	নাম (সংখ্যা)	সূত্র	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯	১০	হারমোনিক সমষ্টি^[৩]^[৪]	ওইআইএস
২	স্বাভাবিক (সংখ্যারেখা)	${\frac {1}{2}}(0n^{2}+2n)=n$	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯	১০	$\infty$ (অপসারী)	(ওইআইএস: A000027)
৩	ত্রিভুজাকার	${\frac {1}{2}}(n^{2}+n)$	১	৩	৬	১০	১৫	২১	২৮	৩৬	৪৫	৫৫	$2$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000217)
৪	বর্গাকার	${\frac {1}{2}}(2n^{2}-0n)=n^{2}$	১	৪	৯	১৬	২৫	৩৬	৪৯	৬৪	৮১	১০০	${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000290)
৫	পঞ্চভুজাকার	${\frac {1}{2}}(3n^{2}-n)$	১	৫	১২	২২	৩৫	৫১	৭০	৯২	১১৭	১৪৫	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000326)
৬	ষড়ভুজাকার	${\frac {1}{2}}(4n^{2}-2n)=2n^{2}-n$	১	৬	১৫	২৮	৪৫	৬৬	৯১	১২০	১৫৩	১৯০	$2\ln 2$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000384)
৭	সপ্তভুজাকার	${\frac {1}{2}}(5n^{2}-3n)$	১	৭	১৮	৩৪	৫৫	৮১	১১২	১৪৮	১৮৯	২৩৫	${\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\ln 5+\\{\frac {1+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}+\\{\frac {1-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}+\\{\frac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000566)
৮	অষ্টভুজাকার	${\frac {1}{2}}(6n^{2}-4n)=3n^{2}-2n$	১	৮	২১	৪০	৬৫	৯৬	১৩৩	১৭৬	২২৫	২৮০	${\frac {3}{4}}\ln 3+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12}}$ ^[৩]	(ওইআইএস: A000567)
৯	নবভুজাকার	${\frac {1}{2}}(7n^{2}-5n)$	১	৯	২৪	৪৬	৭৫	১১১	১৫৪	২০৪	২৬১	৩২৫		(ওইআইএস: A001106)
১০	দশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(8n^{2}-6n)=4n^{2}-3n$	১	১০	২৭	৫২	৮৫	১২৬	১৭৫	২৩২	২৯৭	৩৭০	$\ln 2+{\frac {\pi }{6}}$	(ওইআইএস: A001107)
১১	একাদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(9n^{2}-7n)$	১	১১	৩০	৫৮	৯৫	১৪১	১৯৬	২৬০	৩৩৩	৪১৫		(ওইআইএস: A051682)
১২	দ্বাদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(10n^{2}-8n)$	১	১২	৩৩	৬৪	১০৫	১৫৬	২১৭	২৮৮	৩৬৯	৪৬০		(ওইআইএস: A051624)
১৩	ত্রয়োদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(11n^{2}-9n)$	১	১৩	৩৬	৭০	১১৫	১৭১	২৩৮	৩১৬	৪০৫	৫০৫		(ওইআইএস: A051865)
১৪	চতুর্দশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(12n^{2}-10n)$	১	১৪	৩৯	৭৬	১২৫	১৮৬	২৫৯	৩৪৪	৪৪১	৫৫০	${\frac {2}{5}}\ln 2+{\frac {3}{10}}\ln 3+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{10}}$	(ওইআইএস: A051866)
১৫	পঞ্চদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(13n^{2}-11n)$	১	১৫	৪২	৮২	১৩৫	২০১	২৮০	৩৭২	৪৭৭	৫৯৫		(ওইআইএস: A051867)
১৬	ষোড়শভুজাকার	${\frac {1}{2}}(14n^{2}-12n)$	১	১৬	৪৫	৮৮	১৪৫	২১৬	৩০১	৪০০	৫১৩	৬৪০		(ওইআইএস: A051868)
১৭	সপ্তদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(15n^{2}-13n)$	১	১৭	৪৮	৯৪	১৫৫	২৩১	৩২২	৪২৮	৫৪৯	৬৮৫		(ওইআইএস: A051869)
১৮	অষ্টাদশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(16n^{2}-14n)$	১	১৮	৫১	১০০	১৬৫	২৪৬	৩৪৩	৪৫৬	৫৮৫	৭৩০	${\frac {4}{7}}\ln 2-{\frac {\sqrt {2}}{14}}\ln(3-2{\sqrt {2}})+{\frac {\pi (1+{\sqrt {2}})}{14}}$	(ওইআইএস: A051870)
১৯	ঊনবিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(17n^{2}-15n)$	১	১৯	৫৪	১০৬	১৭৫	২৬১	৩৬৪	৪৮৪	৬২১	৭৭৫		(ওইআইএস: A051871)
২০	বিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(18n^{2}-16n)$	১	২০	৫৭	১১২	১৮৫	২৭৬	৩৮৫	৫১২	৬৫৭	৮২০		(ওইআইএস: A051872)
২১	একবিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(19n^{2}-17n)$	১	২১	৬০	১১৮	১৯৫	২৯১	৪০৬	৫৪০	৬৯৩	৮৬৫		(ওইআইএস: A051873)
২২	দ্বাবিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(20n^{2}-18n)$	১	২২	৬৩	১২৪	২০৫	৩০৬	৪২৭	৫৬৮	৭২৯	৯১০		(ওইআইএস: A051874)
২৩	ত্রয়োবিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(21n^{2}-19n)$	১	২৩	৬৬	১৩০	২১৫	৩২১	৪৪৮	৫৯৬	৭৬৫	৯৫৫		(ওইআইএস: A051875)
২৪	চতুর্বিংশভুজাকার	${\frac {1}{2}}(22n^{2}-20n)$	১	২৪	৬৯	১৩৬	২২৫	৩৩৬	৪৬৯	৬২৪	৮০১	১০০০		(ওইআইএস: A051876)
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
১০০০০	অযুতভুজাকার	${\frac {1}{2}}(9998n^{2}-9996n)$	১	১০০০০	২৯৯৯৭	৫৯৯৯২	৯৯৯৮৫	১৪৯৯৭৬	২০৯৯৬৫	২৭৯৯৫২	৩৫৯৯৩৭	৪৪৯৯২০		(ওইআইএস: A167149)

অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অব ইন্টিজার সিকোয়েন্সেসে গ্রিক উপসর্গযুক্ত শব্দ (যেমন "অষ্টভুজাকার") ব্যবহার না করে সংখ্যাভিত্তিক শব্দ (যেমন "৮-ভুজাকার") ব্যবহার করা হয়।

এই সারণির একটি বৈশিষ্ট্য নিম্নোক্ত অভেদ দ্বারা প্রকাশ করা হয় (ওইআইএস: A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

যেখানে $k=0,1,2,3,...,s-3$ ।

কম্বিনেশন

কিছু সংখ্যা একাধিক বহুভুজ সেটে অন্তর্ভুক্ত হতে পারে; যেমন ৩৬, যা একইসাথে বর্গাকার ও ত্রিভুজাকার। দুটি বহুভুজ সেটের জন্য উভয় সেটে থাকা সংখ্যাগুলি নির্ণয়ের সমস্যাটি পেল সমীকরণে পর্যবসিত হয়। এর সবচেয়ে সরল উদাহরণ হলো বর্গ-ত্রিভুজ সংখ্যাক্রম।

নিচের সারণিতে ক্ষুদ্রতম $s$ ও $t$ মানের জন্য $s$ -ভুজাকার $t$ -ভুজাকার সংখ্যাক্রম দেওয়া হলো:

$s$	$t$	ক্রম	ওইআইএস
৪	৩	১, ৩৬, ১২২৫, ৪১৬১৬, ১৪১৩৭২১, ৪৮০২৪৯০০, ১৬৩১৪৩২৮৮১, ৫৫৪২০৬৯৩০৫৬, ১৮৮২৬৭২১৩১০২৫, ৬৩৯৫৫৪৩১৭৬১৭৯৬, ২১৭২৬০২০০৭৭৭০০৪১, ৭৩৮০৪৫১২৮৩২৪১৯৬০০, ২৫০৭১৮০৮৩৪২৯৪৪৯৬৩৬১, ...	(ওইআইএস: A001110)
৫	৩	১, ২১০, ৪০৭৫৫, ৭৯০৬২৭৬, ১৫৩৩৭৭৬৮০৫, ২৯৭৫৪৪৭৯৩৯১০, ৫৭৭২২১৫৬২৪১৭৫১, ১১১৯৭৮০০৭৬৬১০৫৮০০, ২১৭২৩১৫৬২৬৪৬৮২৮৩৪৬৫, …	(ওইআইএস: A014979)
৫	৪	১, ৯৮০১, ৯৪১০৯৪০১, ৯০৩৬৩৮৪৫৮৮০১, ৮৬৭৬৭৩৬৩৮৭২৯৮০০১, ৮৩৩১৪০২১৮৮৭১৯৬৯৪৭০০১, ৭৯৯৯৮১২২৯৪৮৪১২৮৬৯৭৮০৫৮০১, ...	(ওইআইএস: A036353)
৬	৩	প্রতিটি ষড়ভুজাকার সংখ্যাই ত্রিভুজাকার (পূর্বে প্রমাণিত)	(ওইআইএস: A000384)
৬	৪	১, ১২২৫, ১৪১৩৭২১, ১৬৩১৪৩২৮৮১, ১৮৮২৬৭২১৩১০২৫, ২১৭২৬০২০০৭৭৭০০৪১, ২৫০৭১৮০৮৩৪২৯৪৪৯৬৩৬১, ২৮৯৩২৮৪৫১০১৭৩৮৪১০৩০৬২৫, ৩৩৩৮৮৪৭৮১৭৫৫৯৭৭৮২৫৪৮৪৪৯৬১, ...	(ওইআইএস: A046177)
৬	৫	১, ৪০৭৫৫, ১৫৩৩৭৭৬৮০৫, …	(ওইআইএস: A046180)
৭	৩	১, ৫৫, ১২১৭৭১, ৫৭২০৬৫৩, ১২৬২৫৪৭৮৯৬৫, ৫৯৩১২৮৭৬২৪৩৫, ১৩০৯০৩৪৯০৯৯৪৫৫০৩, ৬১৪৯৬৭৭৬৩৪১০৮৩১৬১, ১৩৫৭২৩৩৫৭৫২০৩৪৪১৮১২২৫, ...	(ওইআইএস: A046194)
৭	৪	১, ৮১, ৫৯২৯, ২৩০৭৩৬১, ১৬৮৬৬২১৬৯, ১২৩২৮৭৭১২২৫, ৪৭৯৭৮৩৯০১৭৬০৯, ৩৫০৭০৯৭০৫২৯০০২৫, ২৫৬৩৫৯৭৮৩৯২১৮৬৪৪৯, ...	(ওইআইএস: A036354)
৭	৫	১, ৪৩৪৭, ১৬৭০১৬৮৫, ৬৪১৬৭৮৬৯৯৩৫, …	(ওইআইএস: A048900)
৭	৬	১, ১২১৭৭১, ১২৬২৫৪৭৮৯৬৫, …	(ওইআইএস: A048903)
৮	৩	১, ২১, ১১৭৮১, ২০৩৮৪১, …	(ওইআইএস: A046183)
৮	৪	১, ২২৫, ৪৩৬৮১, ৮৪৭৩৯২১, ১৬৪৩৮৯৭০২৫, ৩১৮৯০৭৫৪৮৯৬১, ৬১৮৬৬৪২০৬০১৪৪১, ১২০০১৭৬৬৬৮৯১৩০৬২৫, ২৩২৮২৮০৮৭১২৭০৭৩৯৮৪১, ...	(ওইআইএস: A036428)
৮	৫	১, ১৭৬, ১৫৭৫৪২৫, ২৩৪৬৩১৩২০, …	(ওইআইএস: A046189)
৮	৬	১, ১১৭৮১, ১১৩১২৩৩৬১, …	(ওইআইএস: A046192)
৮	৭	১, ২৯৭০৪৫, ৬৯০১০১৫৩৩৪৫, …	(ওইআইএস: A048906)
৯	৩	১, ৩২৫, ৮২৬২১, ২০৯৮৫৪৮১, …	(ওইআইএস: A048909)
৯	৪	১, ৯, ১০৮৯, ৮২৮১, ৯৭৮১২১, ৭৪৩৬৫২৯, ৮৭৮৩৫১৭৬৯, ৬৬৭৭৯৯৪৯৬১, ৭৮৮৭৫৮৯১০৬৪১, ৫৯৯৬৮৩২০৩৮৬৪৯, ...	(ওইআইএস: A036411)
৯	৫	১, ৬৫১, ১৮০৮৬৮০৫১, …	(ওইআইএস: A048915)
৯	৬	১, ৩২৫, ৫৩৩০২২৯৬২৫, …	(ওইআইএস: A048918)
৯	৭	১, ২৬৮৮৪, ৫৪২০৪১৯৭৫, …	(ওইআইএস: A048921)
৯	৮	১, ৬৩১১২৫, ২৮৬৭০৩৮৫৫৩৬১, …	(ওইআইএস: A048924)

কিছু ক্ষেত্রে, যেমন $s=10$ ও $t=4$ , ১ ছাড়া উভয় সেটে কোনো সাধারণ সংখ্যা নেই।

তিনটি বহুভুজ সেটে থাকা সংখ্যা নির্ণয় আরও জটিল। পঞ্চভুজাকার-বর্গাকার-ত্রিভুজাকার সংখ্যার কম্পিউটার অনুসন্ধানে কেবল ১ পাওয়া গেছে, এবং এ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা নেই বলে প্রমাণ এখনো অজানা^[৫]।

১২২৫ সংখ্যাটি হেকাটোনিকোসিটেট্রাগনাল ( $s=124$ ), হেক্সাকোন্টাগনাল ( $s=60$ ), আইকোসিএনিগনাল ( $s=29$ ), ষড়ভুজাকার, বর্গাকার ও ত্রিভুজাকার— মোট ছয় প্রকার বহুভুজ সংখ্যা হিসেবে গণ্য হয়।

টীকা

1 2 Tattersall, James J. (২০০৫)। Elementary Number Theory in Nine Chapters (২য় সংস্করণ)। New York: Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫১১-৭৫৬৩৪-৪।
1 2 Conway, John H.; Guy, Richard (৬ ডিসেম্বর ২০১২)। The Book of Numbers (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। পৃ. ৩৮–৪১। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪৬১২-৪০৭২-৩।
1 2 3 4 5 6 7 8 "Sums of Reciprocals of Polygonal Numbers and a Theorem of Gauss" (পিডিএফ)। ১৫ জুন ২০১১ তারিখে মূল থেকে (পিডিএফ) আর্কাইভকৃত। সংগ্রহের তারিখ ১৩ জুন ২০১০।
↑ "Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers" (পিডিএফ)। ২৯ মে ২০১৩ তারিখে মূল থেকে (পিডিএফ) আর্কাইভকৃত। সংগ্রহের তারিখ ১৩ মে ২০১০।
↑ এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Pentagonal Square Triangular Number"।

তথ্যসূত্র

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (পেঙ্গুইন বুক্‌স, ১৯৯৭) আইএসবিএন ০-১৪-০২৬১৪৯-৪।
Polygonal numbers at PlanetMath ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০ ফেব্রুয়ারি ২০১৬ তারিখে
এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Polygonal Numbers"।
F. Tapson (১৯৯৯)। The Oxford Mathematics Study Dictionary (২য় সংস্করণ)। Oxford University Press। পৃ. ৮৮–৮৯। আইএসবিএন ০-১৯-৯১৪-৫৬৭-৯।

বহিঃসংযোগ

Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Polygonal number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৫৬০৮-০১০-৪
Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৯ এপ্রিল ২০১২ তারিখে
ইউটিউবে Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid
Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[tattersall2005-1] 1 2 Tattersall, James J. (২০০৫)। Elementary Number Theory in Nine Chapters (২য় সংস্করণ)। New York: Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫১১-৭৫৬৩৪-৪।

[:0-2] 1 2 Conway, John H.; Guy, Richard (৬ ডিসেম্বর ২০১২)। The Book of Numbers (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। পৃ. ৩৮–৪১। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪৬১২-৪০৭২-৩।

[siam_07-003s-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 "Sums of Reciprocals of Polygonal Numbers and a Theorem of Gauss" (পিডিএফ)। ১৫ জুন ২০১১ তারিখে মূল থেকে (পিডিএফ) আর্কাইভকৃত। সংগ্রহের তারিখ ১৩ জুন ২০১০।

[4] "Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers" (পিডিএফ)। ২৯ মে ২০১৩ তারিখে মূল থেকে (পিডিএফ) আর্কাইভকৃত। সংগ্রহের তারিখ ১৩ মে ২০১০।

[5] এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Pentagonal Square Triangular Number"।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]