ফ্যাব্রি গ্যাপ উপপাদ্য

গণিতে ফ্যাব্রি গ্যাপ উপপাদ্য একটি জটিল ঘাতবিশিষ্ট ধারার বিশ্লেষণাত্মক সম্প্রসারণের ফল, যার অশূন্য পদগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট "ফাঁক" থাকে। এমন একটি পাওয়ার সিরিজ "খারাপ আচরণযুক্ত", কারণ এটি সঙ্ঘ চক্রের অংশব্যাসার্ধের সীমারেখার উপর কোথাও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হিসেবে সম্প্রসারিত করা সম্ভব নয়।

এই উপপাদ্যটি তুরানের পদ্ধতির প্রথম প্রধান উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হতে পারে।

উপপাদ্যের বিবৃতি

ধরা যাক, ০ < p_১ < p_২ < ... একটি পূর্ণসংখ্যার অনুক্রম, যাতে p_n/n অনন্তের দিকে বিচ্ছিন্ন হয়। ধরা যাক, (α_j)_j∈N একটি জটিল সংখ্যার অনুক্রম, যাতে পাওয়ার সিরিজ

$f(z)=\sum _{j\in \mathbf {N} }\alpha _{j}z^{p_{j}}$

এর সমাবেশ চক্রের অংশব্যাসার্ধ ১। তখন ঐ সিরিজ f-এর জন্য একক চক্র একটি প্রাকৃতিক সীমা।

বিপরীত

এই উপপাদ্যের একটি বিপরীত ফল জর্জ পোলিয়া প্রতিষ্ঠা করেন। যদি lim inf p_n/n সসীম হয়, তবে একটি পাওয়ার সিরিজ থাকা সম্ভব, যার সূচকের অনুক্রম p_n, অংশব্যাসার্ধ ১ এবং একক চক্র প্রাকৃতিক সীমা নয়।

তথ্যসূত্র

• Montgomery, Hugh L. (১৯৯৪)। Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis। Regional Conference Series in Mathematics। খণ্ড ৮৪। Providence, RI: American Mathematical Society। আইএসবিএন ০-৮২১৮-০৭৩৭-৪। জেবিএল 0814.11001।
• Erdős, Pál (১৯৪৫)। "Note on the converse of Fabry's gap theorem"। Transactions of the American Mathematical Society। ৫৭ (1): ১০২–১০৪। ডিওআই:10.2307/1990169। আইএসএসএন 0002-9947। জেস্টোর 1990169। জেবিএল 0060.20303।