ফার্মার ছোট উপপাদ্য

সংখ্যাতত্ত্বে, ফার্মার ছোট উপপাদ্য (En: Fermat's little theorem) বলে যে, যদি $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $a$ -এর জন্য $a p - a$ হলো $p$ -এর একটি গুণিতক। মডুলার পাটিগনিতে এটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: $a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.$

উদাহরণস্বরূপ, যদি $a = 2$ এবং $p = 7$ হয়, তবে $27 = 128$ এবং $128 - 2 = 126 = 7 \times 18$ , যা $7$ -এর একটি গুণিতক।

যদি $a$ , $p$ দ্বারা বিভাজ্য না হয়, অর্থাৎ $a$ যদি $p$ -এর সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে ফার্মার লিটল থিওরেম অনুযায়ী: $a p - 1 - 1$ হলো $p$ -এর একটি গুণিতক।

এটি প্রতীকীরূপে এভাবে প্রকাশ করা যায়:^[১]^[২] $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

উদাহরণস্বরূপ, যদি $a = 2$ এবং $p = 7$ হয়, তবে $26 = 64$ এবং $64 - 1 = 63 = 7 \times 9$ , যা $7$ -এর একটি গুণিতক।

ফার্মার লিটল থিওরেম ফার্মার মৌলিকতা পরীক্ষার ভিত্তি এবং প্রাথমিক সংখ্যাতত্ত্বের একটি মৌলিক ফলাফল। এই উপপাদ্যটি পিয়েরে দ্য ফার্মার নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৬৪০ সালে উপস্থাপন করেছিলেন। একে "লিটল থিওরেম" বলা হয় ফার্মার শেষ উপপাদ্য থেকে পার্থক্য করার জন্য।^[৩]

ইতিহাস

পিয়েরে দ্য ফার্মা প্রথম এই উপপাদ্যটি তাঁর বন্ধু এবং আস্থাভাজন ফ্রেনিকল দ্য বেসিকে ১৮ অক্টোবর, ১৬৪০ তারিখের একটি চিঠিতে লিখে পাঠান। তাতে লিখা ছিল:^[৩]

যদি $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং $a$ কোনো পূর্ণসংখ্যা যা $p$ দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে $a p - 1 - 1$ সংখ্যাটি $p$ দ্বারা বিভাজ্য।

ফার্মার মূল বিবৃতিটি ছিল

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances $-1$ de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné $-1$ ; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.

প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা [ $p$ ] যেকোনো [জ্যামিতিক] ক্রমবৃদ্ধি [ $a, a 2, a 3, \dots$ ] এর একটি ঘাতের একক বিয়োগ সংখ্যাকে অবশ্যই ভাগ করে [অর্থাৎ, এমন একটি $t$ আছে যেখানে $p$ , $a t - 1$ কে ভাগ করে], এবং এই ঘাতটি [ $t$ ] মৌলিক সংখ্যা একক বিয়োগের [ $p - 1$ এর] একটি ভাজক। প্রথম ঘাতটি [ $t$ ] পাওয়ার পর, যে সকল ঘাতগুলি প্রথম ঘাতের গুণিতক, তারাও একইভাবে শর্তটি পূরণ করে [অর্থাৎ, প্রথম $t$ এর সকল গুণিতকের একই ধর্ম রয়েছে]।

ফার্মা $a$ যে $p$ এর গুণিতক হতে পারে সেই ক্ষেত্রটি বিবেচনা করেননি এবং তাঁর বক্তব্যের প্রমাণও দেননি, শুধুমাত্র উল্লেখ করেছিলেন:^[৪]

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

(এবং এই প্রস্তাবনাটি সাধারণভাবে সকল ধারা [sic] এবং সকল মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য; আমি আপনাকে এর প্রমাণ পাঠাতাম, যদি না আমি এটি অত্যধিক দীর্ঘ হওয়ার আশঙ্কা করতাম।)^[৫]

অয়লার ১৭৩৬ সালে প্রথম প্রকাশিত প্রমাণ দেন, সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমির প্রসিডিংস এ "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio" (ইংরেজিতে: "মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু উপপাদ্যের প্রমাণ") শীর্ষক একটি প্রবন্ধে,^[৬]^[৭] তবে লিবনিজ ১৬৮৩ সালের আগে কোনো এক সময়ে একটি অপ্রকাশিত পাণ্ডুলিপিতে প্রায় একই প্রমাণ দিয়েছিলেন।^[৩]

"ফার্মার লিটল থিওরেম" শব্দবন্ধটি সম্ভবত প্রথম মুদ্রিত হয় কুর্ট হেনসেল এর Zahlentheorie-তে ১৯১৩ সালে:^[৮]

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist.

(প্রতিটি সীমিত গ্রুপের জন্য একটি মৌলিক উপপাদ্য রয়েছে, যা সাধারণত ফার্মার লিটল থিওরেম নামে পরিচিত, কারণ ফার্মা এর একটি বিশেষ অংশের প্রথম প্রমাণ দিয়েছিলেন।)

ইংরেজিতে প্রথম ব্যবহারগুলির মধ্যে একটি হল আব্রাহাম আদ্রিয়ান আলবার্ট এর Modern Higher Algebra (১৯৩৭), যেখানে ২০৬ পৃষ্ঠায় "তথাকথিত 'লিটল' ফার্মা উপপাদ্য" উল্লেখ করা হয়েছে।^[৯]

আরও ইতিহাস

কিছু গণিতবিদ স্বাধীনভাবে এ সম্পর্কিত একটি অনুমান করেছিলেন (যা কখনও কখনও ভুলভাবে চাইনিজ হাইপোথেসিস নামে পরিচিত) যে, $2 p \equiv 2 (mod p)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, "যদি" অংশটি সত্য, এবং এটি ফার্মার লিটল থিওরেমের একটি বিশেষ ক্ষেত্র। তবে, "কেবল যদি" অংশটি মিথ্যা: উদাহরণস্বরূপ, $2341 \equiv 2 (mod 341)$ , কিন্তু 341 = 11 × 31 হল ভিত্তি 2 এর একটি সুডোপ্রাইম। নিচে দেখুন।

তথ্যসূত্র

↑ Long 1972, পৃ. 87–88.
↑ Pettofrezzo ও Byrkit 1970, পৃ. 110–111.
↑ ^ক ^খ ^গ Burton 2011, পৃ. 514.
↑ Fermat, Pierre (১৮৯৪), Tannery, P.; Henry, C., সম্পাদকগণ, Oeuvres de Fermat. Tome 2: Correspondance, Paris: Gauthier-Villars, পৃষ্ঠা 206–212 (in French)
↑ Mahoney 1994, পৃ. 295 for the English translation
↑ Euler, Leonhard (১৭৩৬)। "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" [Proof of certain theorems relating to prime numbers]। Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memoirs of the Imperial Academy of Sciences in St. Petersburg) (Latin ভাষায়)। 8: 141–146।
↑ Ore 1988, পৃ. 273
↑ Hensel, Kurt (১৯১৩)। Zahlentheorie [Number Theory] (German ভাষায়)। Berlin and Leipzig, Germany: G. J. Göschen। পৃষ্ঠা 103।
↑ Albert 2015, পৃ. 206

[1] Long 1972, পৃ. 87–88.

[2] Pettofrezzo ও Byrkit 1970, পৃ. 110–111.

[Burton-3] ক ^খ ^গ Burton 2011, পৃ. 514.

[4] Fermat, Pierre (১৮৯৪), Tannery, P.; Henry, C., সম্পাদকগণ, Oeuvres de Fermat. Tome 2: Correspondance, Paris: Gauthier-Villars, পৃষ্ঠা 206–212 (in French)

[5] Mahoney 1994, পৃ. 295 for the English translation

[6] Euler, Leonhard (১৭৩৬)। "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" [Proof of certain theorems relating to prime numbers]। Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memoirs of the Imperial Academy of Sciences in St. Petersburg) (Latin ভাষায়)। 8: 141–146।

[7] Ore 1988, পৃ. 273

[8] Hensel, Kurt (১৯১৩)। Zahlentheorie [Number Theory] (German ভাষায়)। Berlin and Leipzig, Germany: G. J. Göschen। পৃষ্ঠা 103।

[9] Albert 2015, পৃ. 206

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]