ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ

ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ
	ফেইগেনবাউম ধ্রুবক δ expresses the limit of the ratio of distances between consecutive bifurcation diagram on Li /Li + 1.
মূলদীয়তা	অজানা
প্রতীক	δ এবং α
উপস্থাপনা
বাইনারি	৪.৬৬৯২... এবং ২.৫০২৯...

গণিতে, বিশেষত দ্বিখণ্ডন তত্ত্ব, ফেইগেনবাউম ধ্রুবক /ˈfaɪɡənˌbaʊm/ ^[১] হলো $δ$ এবং $α$ দুটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা উভয়ই একটি অ-রৈখিক মানচিত্রের জন্য একটি দ্বিবিভাজন চিত্রে অনুপাত প্রকাশ করে। পদার্থবিজ্ঞানী মিচেল জে. ফেইগেনবাউমের নামে নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস

ফেইগেনবাউম মূলত লজিস্টিক মানচিত্রে পিরিয়ড- দ্বিখণ্ডনের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ধ্রুবক। তবে এটিকে একক দ্বিগুণ সর্বোচ্চ এক-মাত্রিক মানচিত্রের জন্যও ধরা যায়। সাধারণ ফলস্বরূপ হলো এই বর্ণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি বিশৃঙ্খল সিস্টেম একই হারে বিভাজিত হয়। ফেইগেনবাউম ১৯৭৫ সালে এটি আবিষ্কার করেন। ^[২]^[৩] ১৯৭৮ সালে তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রকাশ করেন। ^[৪]

প্রথম ধ্রুবক

প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা সহজভাবে ফেইগেনবাউম ধ্রুবক ^[৫] $δ$ হল প্রতিটি বিভাজন ব্যবধানের সীমিত অনুপাতকে প্রতিটি পিরিয়ড দ্বিগুণ করার মধ্য থেকে পরের একটি এক- প্যারামিটার মানচিত্রকে নির্দেশ করে। যেমন-

f(x)=a-x^{2}.

যেখানে $f (x)$ হল একটি ফাংশন, যা বিভাজন পরামিতি $a$ দ্বারা পরিমাপিত।

এটি একটি সীমা দ্বারা দেওয়া হয়:^[৬]

\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}

যেখানে $a n$ হল $n$ তম সময়ের দ্বিগুণে $a$ এর বিচ্ছিন্ন মান।

এর সংখ্যাসূচক মান : (ওইআইএস: A006890)

$\delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466...,$

একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত অনুমান হল:+৬২১/১৩৩ যা ৫টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক (যখন তা ঘুরানো হয়)। আরো নির্ভুল ব্যবহারের জন্য+১২২৮/২৬৩, যা ৭টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক।
$+ ১০ / π - ১$ প্রায় সমান ০.০০৪৭% এর ত্রুটি।

ব্যাখ্যা

অ-রৈখিক মানচিত্র

এই সংখ্যাটি কীভাবে উত্থিত হয় তা দেখতে, বাস্তব এক-প্যারামিটার মানচিত্রটি বিবেচনা করা দরকার:

f(x)=ax(1-x)

এখানে $a$ হল দ্বিখণ্ডন প্যারামিটার, $x$ হল ভেরিয়েবল। $a$ এর মান যার জন্য পিরিয়ড দ্বিগুণ হয় (যেমন পিরিয়ড-২ কক্ষপথবিহীন $a$ এর সবচেয়ে বড় মান, বা পিরিয়ড-৪, কক্ষপথ ছাড়াই বৃহত্তম $a$ ), $a 1$ , $a 2$ ইত্যাদি। এগুলোকে নীচে সারণীতে দেয়া হলো:

$n$	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারামিটার ( $a n$ )	অনুপাত $+ a n -১ - a n -২ / a n - a n -১$
১	২	০.৭৫	—
২	৪	১.২৫	—
৩	৮	১.৩৬৮০৯৮৯	৪.২৩৩৭
৪	১৬	১.৩৯৪০৪৬২	৪.৫৫১৫
৫	৩২	১.৩৯৯৬৩১২	৪.৬৪৫৮
৬	৬৪	১.৪০০৮২৮৬	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	১.৪০১০৮৫৩	৪.৬৬৮২
৮	২৫৬	১.৪০১১৪০২	৪.৬৬৮৯

শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে মিলিত হয়। লজিস্টিক মানচিত্রের জন্য একই সংখ্যা দেখা দেয়। যেমন:

x_{i+1}=f(x_{i}),

বাস্তব প্যারামিটার $a$ এবং পরিবর্তনশীল $x$ বিভাজন মান একটি টেবিলে দেয়া হলো :

নেতিবাচক $x$ দিকে প্যান করার সময় একটি বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্যে জুম করে দেখানো ম্যান্ডেলব্রট সেটে স্ব-সাম্য । ডিসপ্লে সেন্টার প্যান থেকে (-১, ০) থেকে (−১.৩১, ০) যখন ভিউ ০.৫ থেকে বড় হয় × ০.৫ থেকে ০.১২ × আনুমানিক **ফেইগেনবাউম** অনুপাত ০.১২.

জটিল দ্বি-ঘাত বহুপদীর জন্য ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্ষেত্র হলো:

$n$	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারাটিার ( $a n$ )	অনুপাত $+ a n -১ - a n -২ / a n - a n -১$
১	২	৩	—
২	৪	৩.৪৪৯৪৮৯৭	—
৩	৮	৩.৫৪৪০৯০৩	৪.৭৫১৪
৪	১৬	৩.৫৬৪৪০৭৩	৪.৬৫৬২
৫	৩২	৩.৫৬৮৭৫৯৪	৪.৬৬৮৩
৬	৬৪	৩.৫৬৯৬৯১৬	৪.৬৬৮৬
৭	১২৮	৩.৫৬৯৮৯১৩	৪.৬৬৮০
৮	২৫৬	৩.৫৬৯৯৩৪০	৪.৬৭৬8

f(z)=z^{2}+c

ফেইগেনবাউম ধ্রুবক হল জটিল সমতলে বাস্তব অক্ষের ধারাবাহিক বৃত্তের ব্যাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ অনুপাত (ডানদিকে অ্যানিমেশন দেখুন)।

$n$	পিরিয়ড = $2 n$	Bifurcation প্যারামিটার ( $c n$ )	অনুপাত $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
১	২	−০.৭৫	—
২	৪	−১.২৫	—
৩	৮	−১.৩৬৮০৯৮৯	৪.২৩৩৭
৪	১৬	−১.৩৯৪০৪৬২	৪.৫৫১৫
৫	৩২	−১.৩৯৯৬৩১২	৪.৬৪৫৯
৬	৬৪	−১.৪০০৮২৮৭	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	−১.৪০১০৮৫৩	৪.৬৬৬৮
৮	২৫৬	−১.৪০১১৪০২	৪.৬৭৪০
৯	৫১২	−১.৪০১১৫১৯৮২০২৯	৪.৬৫৯৬
১০	১০২৪	−১.৪০১১৫৪৫০২২৩৭	৪.৬৭৫০
...	...	...	...
$\infty$		−১.৪০১১৫৫১৮৯০...

বিভাজন প্যারামিটার হল সময়কালের একটি মূল বিন্দু- $2 n$ উপাদান। এই সিরিজটি ফেইগেনবাউম পয়েন্ট $c$ = −১.৪০১১৫৫১ ...... এ একত্রিত হয়। শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে একত্রিত হয়।

অন্যান্য মানচিত্রও এই অনুপাত পুনরুত্পাদন করে; এই অর্থে দ্বি-খণ্ডন তত্ত্বে ফিজেনবাউম ধ্রুবক জ্যামিতিতে $π$ এবং ক্যালকুলাসে $e$ সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

দ্বিতীয় ধ্রুবক

দ্বিতীয় ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা ফেইগেনবাউম হ্রাস পরামিতি ^[৫] $α$ দ্বারা দেওয়া হয়: ( (ওইআইএস: A০০৬৮৯১1)

\alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,

এটি একটি টাইনের প্রস্থ এবং এর দুটি সাবটাইনের একটির প্রস্থের মধ্যে অনুপাত (ভাঁজের সবচেয়ে কাছের টানটি ছাড়া)। একটি নেতিবাচক চিহ্ন $α$ তে প্রয়োগ করা হয়। যখন নিম্ন সাবটাইন এবং টাইনের প্রস্থের মধ্যে অনুপাত পরিমাপ করা হয়। ^[৭]

এই সংখ্যাগুলি গতিশীল সিস্টেমের একটি বৃহৎ শ্রেণীর জন্য প্রযোজ্য (উদাহরণস্বরূপ, জনসংখ্যা বৃদ্ধির জন্য ড্রিপিং কল)। ^[৭]

একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত আনুমানিক হয়। +১৩/১১ × +১৭/১১ × +৩৭/২৭ = +৮১৭৭/৩২৬৭

বৈশিষ্ট্য

উভয় সংখ্যাই অতীন্দ্রিয় বলে মনে করা হয়। যদিও তারা তা প্রমাণিত হয়নি। প্রকৃতপক্ষে, ধ্রুবক অযৌক্তিক যার কোন প্রমাণ নেই।

ফ গেনবাম ধ্রুবকগুলির সর্বজনীনতার প্রথম প্রমাণ অস্কার ল্যানফোর্ড দ্বারা পরিচালিত হয়। কম্পিউটারের সহায়তায় — ১৯৮২ সালে ^[৮] (১৯৮৭ সালে জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়ের জিন-পিয়ের একম্যান এবং পিটার উইটওয়ারের দ্বারা একটি ছোট সংশোধন হয় ^[৯] ) বছরের পর বছর ধরে, প্রমাণের বিভিন্ন অংশের জন্য অ-সংখ্যাসূচক পদ্ধতি আবিষ্কৃত হয়। যা মিখাইল লিউবিচকে প্রথম সম্পূর্ণ অ-সংখ্যাসূচক প্রমাণ তৈরি করতে সহায়তা করে। ^[১০]

অন্যান্য মান

লজিস্টিক মানচিত্রের পিরিয়ড-৩ উইন্ডোতে বিশৃঙ্খলার জন্য একটি পিরিয়ড-ডাবলিং রুট রয়েছে, যেখানে বিশৃঙ্খলা পৌঁছায় $r=3.854077963591\dots$ , এবং এর নিজস্ব দুটি ফিইগেনবাম ধ্রুবক রয়েছে: $\delta =55.26,\alpha =9.277$ .^[১১]^[১২] ^{(Appendix F.2)}

নোট

↑ The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (ইংরেজি ভাষায়), ১৬ জানুয়ারি ২০১৭, সংগ্রহের তারিখ ৭ ফেব্রুয়ারি ২০২৩
↑ Feigenbaum, M. J. (১৯৭৬)। "Universality in complex discrete dynamics" (পিডিএফ)। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
↑ Alligood, K. T.; Sauer, T. D. (১৯৯৬)। Chaos: An Introduction to Dynamical Systems। Springer। আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৪৬৭৭-২।
↑ Feigenbaum, Mitchell J. (১৯৭৮)। "Quantitative universality for a class of nonlinear transformations": ২৫–৫২। ডিওআই:10.1007/BF01020332। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
1 2 Weisstein, Eric W.। "Feigenbaum Constant"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ৬ অক্টোবর ২০২৪।
↑ Jordan, D. W.; Smith, P. (২০০৭)। Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th সংস্করণ)। Oxford University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৯২০৮২৫-৮।
1 2 Strogatz, Steven H. (১৯৯৪)। Nonlinear Dynamics and Chaos। Studies in Nonlinearity। Perseus Books। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭৩৮২-০৪৫৩-৬।
↑ Lanford III, Oscar (১৯৮২)। "A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures": ৪২৭–৪৩৪। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
↑ Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (১৯৮৭)। "A complete proof of the Feigenbaum conjectures": ৪৫৫। ডিওআই:10.1007/BF01013368। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
↑ Lyubich, Mikhail (১৯৯৯)। "Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture": ৩১৯–৪২০। আরজাইভ:math/9903201। ডিওআই:10.2307/120968। জেস্টোর 120968। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
↑ Delbourgo, R.; Hart, W. (১ জানুয়ারি ১৯৮৫)। "Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps" (ইংরেজি ভাষায়): ৫১৪–৫১৬। ডিওআই:10.1103/PhysRevA.31.514। আইএসএসএন 0556-2791। পিএমআইডি 9895509। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)
↑ Hilborn, Robert C. (২০০০)। Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers (2nd সংস্করণ)। Oxford University Press। পৃ. ৫৭৮। আইএসবিএন ০-১৯-৮৫০৭২৩-২। ওসিএলসি 44737300।

তথ্যসূত্র

Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭৯৪-৬৭৭-১
Briggs, Keith (জুলাই ১৯৯১)। "A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants" (পিডিএফ)। Mathematics of Computation। ৫৭ (195): ৪৩৫–৪৩৯। বিবকোড:1991MaCom..57..435B। ডিওআই:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6।
Briggs, Keith (১৯৯৭)। Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (পিডিএফ) (অভিসন্দর্ভ)। University of Melbourne।
Broadhurst, David (২২ মার্চ ১৯৯৯)। "Feigenbaum constants to 1018 decimal places"।

এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Feigenbaum Constant"।

[1] The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (ইংরেজি ভাষায়), ১৬ জানুয়ারি ২০১৭, সংগ্রহের তারিখ ৭ ফেব্রুয়ারি ২০২৩

[2] Feigenbaum, M. J. (১৯৭৬)। "Universality in complex discrete dynamics" (পিডিএফ)। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[3] Alligood, K. T.; Sauer, T. D. (১৯৯৬)। Chaos: An Introduction to Dynamical Systems। Springer। আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৪৬৭৭-২।

[4] Feigenbaum, Mitchell J. (১৯৭৮)। "Quantitative universality for a class of nonlinear transformations": ২৫–৫২। ডিওআই:10.1007/BF01020332। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[:0-5] 1 2 Weisstein, Eric W.। "Feigenbaum Constant"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ৬ অক্টোবর ২০২৪।

[6] Jordan, D. W.; Smith, P. (২০০৭)। Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th সংস্করণ)। Oxford University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৯২০৮২৫-৮।

[NonlinearDynamics-7] 1 2 Strogatz, Steven H. (১৯৯৪)। Nonlinear Dynamics and Chaos। Studies in Nonlinearity। Perseus Books। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭৩৮২-০৪৫৩-৬।

[8] Lanford III, Oscar (১৯৮২)। "A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures": ৪২৭–৪৩৪। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[9] Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (১৯৮৭)। "A complete proof of the Feigenbaum conjectures": ৪৫৫। ডিওআই:10.1007/BF01013368। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[10] Lyubich, Mikhail (১৯৯৯)। "Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture": ৩১৯–৪২০। আরজাইভ:math/9903201। ডিওআই:10.2307/120968। জেস্টোর 120968। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[11] Delbourgo, R.; Hart, W. (১ জানুয়ারি ১৯৮৫)। "Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps" (ইংরেজি ভাষায়): ৫১৪–৫১৬। ডিওআই:10.1103/PhysRevA.31.514। আইএসএসএন 0556-2791। পিএমআইডি 9895509। {{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি journal এর জন্য |journal= প্রয়োজন (সাহায্য)

[12] Hilborn, Robert C. (২০০০)। Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers (2nd সংস্করণ)। Oxford University Press। পৃ. ৫৭৮। আইএসবিএন ০-১৯-৮৫০৭২৩-২। ওসিএলসি 44737300।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]