প্রাথমিক প্রমাণ

গণিতে, একটি প্রাথমিক প্রমাণ হলো একধরনের গাণিতিক প্রমাণ যা শুধুমাত্র মৌলিক কৌশল ব্যবহার করে। আরও নির্দিষ্টভাবে বলা যায়, শব্দটি সংখ্যা তত্ত্বে এমন প্রমাণগুলি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা জটিল বিশ্লেষণের কোন ব্যবহার করে না। ঐতিহাসিকভাবে, এটা একবার মনে করা হতো যে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের মত কিছু উপপাদ্য শুধুমাত্র "উচ্চতর" গাণিতিক উপপাদ্য বা কৌশল প্রয়োগ করে প্রমাণ করা যেতে পারে। যাইহোক, সময়ের অগ্রগতির সাথে সাথে, এই ফলাফলগুলির মধ্যে অনেকগুলি পরবর্তীতে শুধুমাত্র প্রাথমিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে পুনরুদ্ধার করা হয়েছে।

যদিও প্রাথমিক হিসাবে কী গণনা করা হয় সে সম্পর্কে সাধারণত কোনও ঐক্যমত্য নেই, তবুও শব্দটি গাণিতিক জারগনের একটি সাধারণ অংশ। একটি প্রাথমিক প্রমাণ অগত্যা সহজ নয়, বোঝা সহজ বা তুচ্ছ অর্থে। প্রকৃতপক্ষে, কিছু প্রাথমিক প্রমাণ বেশ জটিল হতে পারে এবং এটি বিশেষভাবে সত্য যখন উল্লেখযোগ্য গুরুত্বের একটি বিবৃতি জড়িত থাকে।

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য

প্রাথমিক এবং অ-প্রাথমিক প্রমাণের মধ্যে পার্থক্যটি মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের ক্ষেত্রে বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়েছে। এই উপপাদ্যটি ১৮৯৬ সালে জ্যাক হাডামার্ড এবং চার্লস জিন দে লা ভ্যালি-পাউসিন জটিল বিশ্লেষণ ব্যবহার করে প্রথম প্রমাণ করেছিলেন। তখন অনেক গণিতবিদ সফল না হয়ে উপপাদ্যটির প্রাথমিক প্রমাণ তৈরি করার চেষ্টা করেছিলেন। জিএইচ হার্ডি দৃঢ় সংযম প্রকাশ করেছেন; তিনি বিবেচনা করেছিলেন যে ফলাফলের অপরিহার্য " গভীরতা " প্রাথমিক প্রমাণগুলি বাতিল করে:

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের কোন প্রাথমিক প্রমাণ জানা নেই, এবং কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে এটি আশা করা যুক্তিসঙ্গত কিনা। এখন আমরা জানি যে উপপাদ্যটি একটি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন সম্পর্কে একটি উপপাদ্যের সমতুল্য, যে উপপাদ্যটি যে রিম্যানের জিটা ফাংশন একটি নির্দিষ্ট লাইন। এই ধরনের একটি উপপাদ্যের প্রমাণ, মৌলিকভাবে ফাংশন তত্ত্বের উপর নির্ভরশীল নয়, আমার কাছে অসাধারণভাবে অসম্ভাব্য বলে মনে হয়। গাণিতিক উপপাদ্যকে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে প্রমাণ করা যাবে না বলে দাবী করাটা তাড়াহুড়ো। কিন্তু একটা জিনিস বেশ পরিষ্কার মনে হচ্ছে। তত্ত্বের যুক্তি সম্পর্কে আমাদের নির্দিষ্ট মতামত আছে; আমরা মনে করি যে কিছু উপপাদ্য, যেমন আমরা বলি "গভীর মিথ্যা" এবং অন্যগুলি পৃষ্ঠের কাছাকাছি। যদি কেউ মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের একটি প্রাথমিক প্রমাণ তৈরি করে, তবে তিনি দেখাবেন যে এই মতামতগুলি ভুল, বিষয়টি আমাদের অনুমিত উপায়ে একসাথে ঝুলে যায় না, এবং বইগুলিকে একপাশে ফেলে দেওয়ার সময় এসেছে। তত্ত্ব পুনর্লিখন করা হবে।

— G. H. Hardy (1921). Lecture to Mathematical Society of Copenhagen. Quoted in Goldfeld (2003), p. 3

যাইহোক, ১৯৪৮ সালে, অ্যাটল সেলবার্গ নতুন পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন যা তাকে এবং পল এরডসকে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের প্রাথমিক প্রমাণ খুঁজে পেতে পরিচালিত করেছিল।

ফ্রিডম্যানের অনুমান

হার্ভে ফ্রিডম্যান অনুমান করেছিলেন, " অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্সে প্রকাশিত প্রতিটি উপপাদ্য যার বিবৃতিতে শুধুমাত্র অন্তিম গাণিতিক বস্তু জড়িত থাকে (অর্থাৎ, যুক্তিবিদরা যাকে গাণিতিক বিবৃতি বলে) প্রাথমিক পাটিগণিতেই প্রমাণ করা যেতে পারে।" এই অনুমানে উল্লেখ করা প্রাথমিক পাটিগণিতের ফর্মটিকে পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক এবং গাণিতিক আবেশ সম্পর্কিত স্বতঃসিদ্ধের একটি ছোট সেট দ্বারা আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এই অনুমান অনুসারে, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের একটি প্রাথমিক প্রমাণ থাকা উচিত; ফেরমাট এর শেষ উপপাদ্যের ওয়িলসের এর প্রমাণ প্রাথমিক নয়। যাইহোক, পাটিগণিত সম্পর্কে অন্যান্য সরল বিবৃতি রয়েছে যেমন পুনরাবৃত্ত সূচকীয় ফাংশনের অস্তিত্ব যা এই তত্ত্বে প্রমাণ করা যায় না।