পিথাগোরীয় ত্রয়ী

একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $a$ , $b$ , এবং $c$ নিয়ে গঠিত, যেখানে $a 2 + b 2 = c 2$ । এই ধরনের একটি ত্রয়ী সাধারণত $(a, b, c)$ আকারে লেখা হয়, একটি সুপরিচিত উদাহরণ হল $(3, 4, 5)$ । যদি $(a, b, c)$ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী হয়, তাহলে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$ -এর জন্য $(ka, kb, kc)$ ও একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী। যে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী তা একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং একে পিথাগোরীয় ত্রিভুজ বলা হয়।

একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী হলো এমন একটি ত্রয়ী যেখানে $a$ , $b$ এবং $c$ সহমৌলিক (অর্থাৎ, ১ এর চেয়ে বড় কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই)।^[১] উদাহরণস্বরূপ, $(3, 4, 5)$ একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী কিন্তু $(6, 8, 10)$ নয়। প্রতিটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী $(a, b, c)$ কে তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক দিয়ে ভাগ করে একটি অনন্য প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীতে রূপান্তরিত করা যায়। বিপরীতভাবে, একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর উপাদানগুলিকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করে (তিনটি উপাদানের জন্য একই সংখ্যা দ্বারা) যেকোনো পিথাগোরীয় ত্রয়ী পাওয়া যায়।

এই নামটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে এসেছে, যা বলে যে প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ হলে $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ সূত্রটিকে সিদ্ধ করে; এভাবে, পিথাগোরীয় ত্রয়ী একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি পূর্ণসংখ্যা বাহুর দৈর্ঘ্যকে বর্ণনা করে। তবে, পূর্ণসংখ্যা নয় এমন বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে না। উদাহরণস্বরূপ, $a=b=1$ এবং $c={\sqrt {2}}$ বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, কিন্তু $(1,1,{\sqrt {2}})$ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী নয় কারণ $2$ এর বর্গমূল একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। তাছাড়া, $1$ এবং ${\sqrt {2}}$ এর কোনো পূর্ণসংখ্যা সাধারণ গুণিতক নেই কারণ ${\sqrt {2}}$ অমূলদ।

পিথাগোরীয় ত্রয়ী প্রাচীনকাল থেকেই পরিচিত। সবচেয়ে পুরাতন পরিচিত রেকর্ড প্লিম্পটন ৩২২ থেকে পাওয়া যায়, যা আনুমানিক ১৮০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দের একটি ব্যাবিলনীয় মাটির ফলক, যা ষষ্টিক সংখ্যা ব্যবস্থায় লেখা।^[২]

সমীকরণ $a 2 + b 2 = c 2$ একটি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ। এভাবে পিথাগোরীয় ত্রয়ী একটি অরৈখিক ডায়োফান্টাইন সমীকরণের প্রাচীনতম পরিচিত সমাধানগুলির মধ্যে অন্যতম।

উদাহরণ

১০০ পর্যন্ত সংখ্যার ১৬টি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী রয়েছে:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

এই প্রতিটি বিন্দু (তাদের গুণিতকসহ) ডানদিকের বিন্দু লেখচিত্রে একটি বিকিরণকারী রেখা গঠন করে। আবার, ৩০০ পর্যন্ত সংখ্যার বাকি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীগুলি নিম্নরূপ:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

ত্রয়ী উৎপাদন

একটি গ্রাফে ত্রিভুজ হিসেবে প্রদর্শিত প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীসমূহ — প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীসমূহ। বিজোড় বাহু $a$ অনুভূমিক অক্ষে এবং জোড় বাহু $b$ উল্লম্ব অক্ষে অঙ্কিত। বক্ররৈখিক গ্রিডটি ইউক্লিডের সূত্রে ধ্রুব $m - n$ এবং ধ্রুব $m + n$ এর বক্ররেখা দ্বারা গঠিত।

ইউক্লিডের সূত্র^[৩] হলো দুটি পূর্ণসংখ্যা $m$ এবং $n$ প্রদত্ত পিথাগোরীয় ত্রয়ী উৎপাদনের একটি মৌলিক সূত্র, যেখানে $m > n > 0$ । সূত্রটি বিবৃত করে যে পূর্ণসংখ্যাগুলি

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত

m=2,\ \,n=1

প্রারম্ভিক ত্রয়ী (3,4,5) উৎপন্ন করে:

a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.

ইউক্লিড এর সূত্র দ্বারা উৎপন্ন ত্রয়ীটি প্রারম্ভিক হবে যদি এবং কেবল যদি $m$ এবং $n$ সহমৌলিক হয় এবং তাদের মধ্যে ঠিক একটি জোড় হয়। যখন $m$ এবং $n$ উভয়ই বিজোড় হয়, তখন $a$ , $b$ , এবং $c$ জোড় হবে এবং ত্রয়ীটি প্রারম্ভিক হবে না; তবে, $a$ , $b$ , এবং $c$ কে 2 দ্বারা ভাগ করলে একটি প্রারম্ভিক ত্রয়ী পাওয়া যাবে যখন $m$ এবং $n$ সহমৌলিক হয়।^[৪]

প্রতিটি প্রারম্ভিক ত্রয়ী ( $a$ এবং $b$ এর বিনিময়ের পর, যদি $a$ জোড় হয়) সহমৌলিক সংখ্যার একটি অনন্য জোড় $m$ , $n$ থেকে উদ্ভূত হয়, যাদের মধ্যে একটি জোড়। সুতরাং বলা যায়, অসীমসংখ্যক প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান। ইউক্লিডের সূত্র থেকে $a$ , $b$ এবং $c$ এর সাথে $m$ এবং $n$ এর এই সম্পর্কটি এই নিবন্ধের বাকি অংশ জুড়ে উল্লেখ করা হয়েছে।

সমস্ত প্রারম্ভিক ত্রয়ী উৎপন্ন করলেও, ইউক্লিডের সূত্র সমস্ত ত্রয়ী উৎপন্ন করে না—উদাহরণস্বরূপ, (9, 12, 15) পূর্ণসংখ্যা $m$ এবং $n$ ব্যবহার করে উৎপন্ন করা যাবে না। এটি সূত্রে একটি অতিরিক্ত প্যারামিটার $k$ সন্নিবেশিত করে সংশোধন করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত সূত্রটি সমস্ত পিথাগোরীয় ত্রয়ী অনন্যভাবে উৎপন্ন করবে:

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})

যেখানে $m$ , $n$ , এবং $k$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাদের $m > n$ , এবং $m$ ও $n$ সহমৌলিক এবং উভয়ই বিজোড় নয়।

এই সূত্রগুলি পিথাগোরীয় ত্রয়ী উৎপন্ন করে তা যাচাই করা যেতে পারে প্রাথমিক বীজগণিত ব্যবহার করে $a 2 + b 2$ সম্প্রসারণ করে এবং যাচাই করে যে ফলাফলটি $c 2$ এর সমান কিনা। যেহেতু প্রতিটি পিথাগোরীয় ত্রয়ীকে কিছু পূর্ণসংখ্যা $k$ দ্বারা ভাগ করে একটি প্রারম্ভিক ত্রয়ী পাওয়া যায়, তাই প্রতিটি ত্রয়ী অনন্যভাবে উৎপন্ন করা যেতে পারে তার প্রারম্ভিক অংশীদার উৎপন্ন করতে $m$ এবং $n$ ব্যবহার করে সূত্রটি ব্যবহার করে এবং তারপর শেষ সমীকরণের মতো $k$ দ্বারা গুণ করে।

নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা অনুক্রম থেকে $m$ এবং $n$ নির্বাচন করলে আকর্ষণীয় ফলাফল পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $m$ এবং $n$ পরপর পেল সংখ্যা হয়, তবে $a$ এবং $b$ 1 দ্বারা পৃথক হবে।^[৫]

ইউক্লিডের সময় থেকে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত ত্রয়ী উৎপাদনের জন্য অনেক সূত্র তৈরি করা হয়েছে।

ইউক্লিডের সূত্রের প্রমাণ

a, b, c দ্বারা ইউক্লিডের সূত্র সিদ্ধ হওয়ায় ত্রিভুজটি পিথাগোরীয় হওয়ার জন্য পর্যাপ্ত তা সুস্পষ্ট এই সত্য থেকে যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $m$ এবং $n$ এর জন্য, যেখানে $m > n$ , সূত্র দ্বারা প্রদত্ত $a$ , $b$ , এবং $c$ সকলেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং এই সত্য থেকে যে

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.

যেকোন প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীের জন্য a, b, c কে ইউক্লিডের সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা আবশ্যক তার একটি প্রমাণ নিম্নরূপ।^[৬] সমস্ত এইরূপ প্রারম্ভিক ত্রয়ীকে $(a, b, c)$ হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে $a 2 + b 2 = c 2$ এবং $a$ , $b$ , $c$ সহমৌলিক। সুতরাং $a$ , $b$ , $c$ জোড়াভিত্তিক সহমৌলিক (যদি একটি মৌলিক সংখ্যা তাদের দুটিকে ভাগ করে, তবে এটি তৃতীয়টিকেও ভাগ করতে বাধ্য হবে)। যেহেতু $a$ এবং $b$ সহমৌলিক, তাদের মধ্যে অন্তত একটি বিজোড়। যদি আমরা ধরে নিই যে $a$ বিজোড়, তবে $b$ জোড় এবং $c$ বিজোড় (যদি $a$ এবং $b$ উভয়ই বিজোড় হত, $c$ জোড় হত, এবং $c 2$ 4 এর গুণিতক হত, যেখানে $a 2 + b 2$ 4 মডুলো 2 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হত, কারণ একটি বিজোড় বর্গ 4 মডুলো 1 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ)।

$a^{2}+b^{2}=c^{2},$ থেকে, ধরে নিন $a$ বিজোড়। আমরা পাই $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ এবং তাই $(c-a)(c+a)=b^{2}.$ তারপর ${\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}.$ যেহেতু ${\tfrac {(c+a)}{b}}$ মূলদ, আমরা এটিকে সর্বনিম্ন পদে ${\tfrac {m}{n}}$ এর সমান সেট করি। এইভাবে ${\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}},$ যা ${\tfrac {(c+a)}{b}}$ এর পারস্পরিক। তারপর

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

${\tfrac {c}{b}}$ এবং ${\tfrac {a}{b}}$ এর জন্য সমাধান করলে দেয়

{\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

যেহেতু ${\tfrac {m}{n}}$ সম্পূর্ণরূপে সংক্ষিপ্ত, $m$ এবং $n$ সহমৌলিক, এবং তারা উভয়ই জোড় হতে পারে না। যদি তারা উভয়ই বিজোড় হত, তবে ${\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}$ এর লবটি 4 এর গুণিতক হত (কারণ একটি বিজোড় বর্গ 4 মডুলো 1 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ), এবং হর 2mn 4 এর গুণিতক হত না। যেহেতু 4 হবে লবের সম্ভাব্য সর্বনিম্ন জোড় গুণনীয়ক এবং 2 হরটির সম্ভাব্য সর্বোচ্চ জোড় গুণনীয়ক হবে, এটি $a$ কে বিজোড় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা সত্ত্বেও জোড় হতে বাধ্য করবে। এইভাবে $m$ এবং $n$ এর মধ্যে একটি বিজোড় এবং অন্যটি জোড়, এবং হর 2mn সহ দুটি ভগ্নাংশের লব বিজোড়। এইভাবে এই ভগ্নাংশগুলি সম্পূর্ণরূপে সংক্ষিপ্ত (এই হরকে ভাগ করা একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা $m$ এবং $n$ এর একটিকে ভাগ করে কিন্তু অন্যটিকে নয়; এইভাবে এটি $m 2 \pm n 2$ কে ভাগ করে না)। কেউ তাই লবের সাথে লব এবং হরের সাথে হর সমান করতে পারে, যার ফলে ইউক্লিডের সূত্র পাওয়া যায়:

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

যেখানে

m

এবং

n

সহমৌলিক এবং বিপরীত সমতা বিশিষ্ট।

একটি দীর্ঘতর কিন্তু অধিক প্রচলিত প্রমাণ মাওর (২০০৭)^[৭] এবং সিয়েরপিনস্কি (২০০৩) এ দেওয়া হয়েছে।^[৮] আরেকটি প্রমাণ দেওয়া হয়েছে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ § পিথাগোরীয় ত্রয়ীর উদাহরণে, একটি সাধারণ পদ্ধতির একটি দৃষ্টান্ত হিসাবে যা প্রতিটি সমঘাতী দ্বিতীয় ডিগ্রির ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে প্রযোজ্য।

ইউক্লিডের সূত্রে পরামিতিসমূহের ব্যাখ্যা

ধরুন একটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $m 2 - n 2$ , $2 mn$ , এবং $m 2 + n 2$ , এবং ধরুন $m 2 - n 2$ দৈর্ঘ্যের বাহু এবং $m 2 + n 2$ দৈর্ঘ্যের অতিভুজ এর মধ্যবর্তী কোণটিকে $β$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তাহলে $\tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}$ এবং পূর্ণ কোণের ত্রিকোণমিতিক মানগুলি হল $\sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}$ , $\cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}$ , এবং ⁠ $\tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}$ ⁠।^[৯]

একটি প্রকরণ

ইউক্লিডের সূত্রের নিম্নলিখিত প্রকরণটি কখনও কখনও বেশি সুবিধাজনক, কারণ এটি $m$ এবং $n$ এর মধ্যে বেশি প্রতিসম ( $m$ এবং $n$ এর উপর একই সমতার শর্ত)।

যদি $m$ এবং $n$ দুটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হয় যাতে $m > n$ , তবে

a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}

তিনটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে, যা প্রারম্ভিক হবে যদি এবং কেবল যদি $m$ এবং $n$ সহমৌলিক হয়। বিপরীতক্রমে, প্রতিটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী ( $a$ এবং $b$ এর বিনিময়ের পর, যদি $a$ জোড় হয়) সহমৌলিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যার একটি অনন্য জোড় $m > n > 0$ থেকে উদ্ভূত হয়।

a এবং b এর বিনিময় না করে

উপরে উল্লিখিত উপস্থাপনায়, এটি বলা হয়েছে যে a এবং b এর বিনিময়ের পরে সকল পিথাগোরীয় ত্রয়ী ইউক্লিডের সূত্র থেকে অনন্যভাবে প্রাপ্ত হয় , যদি a জোড় হয়। এই বিনিময় এড়াতে ইউক্লিডের সূত্র এবং উপরের প্রকরণটি নিম্নরূপে একীভূত করা যেতে পারে, যা নিম্নলিখিত ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

প্রতিটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীকে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারে:

a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),

যেখানে $m$ এবং $n$ ধনাত্মক সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা, এবং $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ যদি $m$ এবং $n$ উভয়ই বিজোড় হয়, অন্যথায় $\varepsilon =1$ । সমতুল্যভাবে, $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ যদি $a$ বিজোড় হয়, এবং $\varepsilon =1$ যদি $a$ জোড় হয়।

প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য

সাধারণ বৈশিষ্ট্য

একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী $(a, b, c)$ যেখানে $a < b < c$ ( $a$ অথবা $b$ এর মধ্যে কোনটি জোড় এবং কোনটি বিজোড় তা নির্দিষ্ট না করে) এর বৈশিষ্ট্যগুলি:

${\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}$ সর্বদা একটি পূর্ণবর্গ।^[১০] যেহেতু এটি কেবল একটি প্রয়োজনীয় শর্ত কিন্তু পর্যাপ্ত নয়, এটি একটি প্রদত্ত সংখ্যাত্রয় পিথাগোরীয় ত্রয়ী নয় কিনা তা পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ${6, 12, 18$ এবং ${1, 8, 9$ ত্রয়ীগুলি প্রত্যেকে এই পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয় যে $(c - a)(c - b)/2$ একটি পূর্ণবর্গ, কিন্তু কোনটিই পিথাগোরীয় ত্রয়ী নয়।

যখন তিনটি সংখ্যা $a$ , $b$ এবং $c$ একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে, তখন $(c minus the even leg)$ এবং $(c minus the odd leg)$ এর অর্ধেক উভয়ই পূর্ণবর্গ; তবে এটি একটি পর্যাপ্ত শর্ত নয়, কারণ ${1, 8, 9$ সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গের পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয় কিন্তু পিথাগোরীয় ত্রয়ী নয় যেহেতু $12 + 8 2 \neq 9 2$ ।

$a$ , $b$ , $c$ এর মধ্যে সর্বোচ্চ একটি বর্গ।^[১১]

একটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ^[১২]^{:p. ১৭} অথবা দ্বিগুণ বর্গ^[১২]^{:p. ২১} হতে পারে না।

$a$ , $b$ এর মধ্যে ঠিক একটি ২ দ্বারা বিভাজ্য (অর্থাৎ জোড়), এবং কর্ণ $c$ সর্বদা বিজোড়।^[১৩]

$a$ , $b$ এর মধ্যে ঠিক একটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু $c$ কখনো নয়।^[১৪]^[৮]^{:২৩–২৫}

$a$ , $b$ এর মধ্যে ঠিক একটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য,^[৮] কিন্তু $c$ কখনো নয় (কারণ $c$ কখনো জোড় নয়)।

$a$ , $b$ , $c$ এর মধ্যে ঠিক একটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।^[৮]

সর্বদা abc কে বিভাজ্য করে এমন বৃহত্তম সংখ্যা হল ৬০।^[১৫]

$2 m +1$ আকারের যেকোনো বিজোড় সংখ্যা, যেখানে $m$ একটি পূর্ণসংখ্যা এবং $m >1$ , একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর বিজোড় বাহু হতে পারে। নিচের (প্রায়-সমদ্বিবাহু প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী) অংশ দেখুন। তবে, কেবল ৪ দ্বারা বিভাজ্য জোড় সংখ্যাগুলি একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর জোড় বাহু হতে পারে। এর কারণ হল ইউক্লিডের সূত্র অনুযায়ী উপরে প্রদত্ত জোড় বাহুটি $2 mn$ এবং $m$ অথবা $n$ এর মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় হতে হবে।

কর্ণ $c$ (যা সর্বদা বিজোড়) দুটি বর্গের সমষ্টি। এর জন্য প্রয়োজন যে এর সকল মূল উৎপাদক $4 n + 1$ আকারের মৌলিক সংখ্যা।^[১৬] অতএব, c হল $4 n + 1$ আকারের। একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর জন্য সম্ভাব্য কর্ণ সংখ্যাগুলির একটি ক্রম (ওইআইএস: A008846) এ পাওয়া যেতে পারে।

ক্ষেত্রফল $(K = ab /2)$ একটি সর্বসম সংখ্যা^[১৭] যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রতিটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজে, অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং তিনটি বহির্বৃত্তের ব্যাসার্ধ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। বিশেষভাবে, একটি প্রারম্ভিক ত্রয়ীর জন্য অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = n (m - n)$ , এবং বাহুগুলি $m 2 - n 2$ , 2mn, এবং কর্ণ $m 2 + n 2$ এর বিপরীত বহির্বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলি যথাক্রমে $m (m - n)$ , $n (m + n)$ , এবং $m (m + n)$ ।^[১৮]

যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের মতো, থেলিসের উপপাদ্যের বিপরীত বলে যে পরিবৃত্তের ব্যাস কর্ণের সমান; অতএব প্রারম্ভিক ত্রয়ীর জন্য পরিব্যাস $m 2 + n 2$ , এবং পরিব্যাসার্ধ এর অর্ধেক এবং এইভাবে মূলদ কিন্তু অ-পূর্ণসংখ্যা (যেহেতু $m$ এবং $n$ এর বিপরীত সমতা রয়েছে)।

যখন একটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার অন্তর্বৃত্ত এবং ৩টি বহির্বৃত্তের বক্রতা দ্বারা গুণিত হয়, তখন ফলাফল চারটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $w > x > y > z$ , যথাক্রমে। পূর্ণসংখ্যা $- w, x, y, z$ দেকার্তের বৃত্ত সমীকরণ সন্তুষ্ট করে।^[১৯] সমভাবে, যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের বহির্বর্তী সডি বৃত্তের ব্যাসার্ধ তার অর্ধপরিসীমার সমান। বহির্বর্তী সডি কেন্দ্র $D$ তে অবস্থিত, যেখানে $ACBD$ একটি আয়তক্ষেত্র, $ACB$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $AB$ তার কর্ণ।^[১৯]^{:p. ৬}

একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর কেবল দুটি বাহু একসাথে মৌলিক হতে পারে কারণ ইউক্লিডের সূত্র অনুযায়ী একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী উৎপাদনের জন্য, একটি বাহু অবশ্যই যৌগিক এবং জোড় হতে হবে।^[২০] তবে, কেবল একটি বাহু $p\geq 2$ এর পূর্ণ ঘাতের পূর্ণসংখ্যা হতে পারে কারণ যদি দুটি বাহু সমান সূচক $p$ এর পূর্ণ ঘাতের পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে তা এই সত্যের বিরোধিতা করবে যে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ $x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}$ এর কোনো পূর্ণসংখ্যা সমাধান নেই, যেখানে $x$ , $y$ এবং $z$ জোড়ায় জোড়ায় সহমৌলিক।^[২১]

এমন কোনো পিথাগোরীয় ত্রিভুজ নেই যেখানে কর্ণ এবং একটি বাহু অন্য একটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজের বাহু; এটি ফার্মার সমকোণী ত্রিভুজ উপপাদ্যের একটি সমতুল্য রূপ।^[১২]^{:p. ১৪}

প্রতিটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, $K$ , এর বর্গকৃত অর্ধপরিসীমা, $s$ এর অনুপাত রয়েছে যা নিজের জন্য অনন্য এবং নিম্নরূপ প্রদত্ত^[২২]

{\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.

কোনো প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রিভুজে কর্ণ থেকে পূর্ণসংখ্যার উচ্চতা নেই; অর্থাৎ, প্রতিটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রিভুজ অবিভাজ্য।^[২৩]

সমস্ত প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর সেট একটি প্রাকৃতিক উপায়ে একটি মূলযুক্ত ত্রিনাভিত্তিক বৃক্ষ গঠন করে; প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর বৃক্ষ দেখুন।

একটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজের কোনো সূক্ষ্মকোণই ডিগ্রিতে মূলদ সংখ্যা হতে পারে না।^[২৪] (এটি নিভেনের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে।)

বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ

উপরন্তু, নির্দিষ্ট অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ বিশেষ পিথাগোরীয় ত্রয়ীর অস্তিত্ব নিশ্চিত করা যেতে পারে:

২ এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা যা 2 mod 4 এর সঙ্গে সর্বসম নয় (অন্য কথায়, ২ এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা যা $4 k + 2$ আকারের নয়) একটি প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর অংশ। (যদি পূর্ণসংখ্যাটি $4 k$ আকারের হয়, তবে ইউক্লিডের সূত্রে $n = 1$ এবং $m = 2 k$ নেওয়া যেতে পারে; যদি পূর্ণসংখ্যাটি $2 k + 1$ হয়, তবে $n = k$ এবং $m = k + 1$ নেওয়া যেতে পারে।)

২ এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি প্রারম্ভিক বা অ-প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ীর অংশ। উদাহরণস্বরূপ, ৬, ১০, ১৪, এবং ১৮ পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রারম্ভিক ত্রয়ীর অংশ নয়, কিন্তু অ-প্রারম্ভিক ত্রয়ী $(6, 8, 10)$ , $(14, 48, 50)$ এবং $(18, 80, 82)$ এর অংশ।

অসংখ্য পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যেখানে কর্ণ এবং দীর্ঘতম বাহুর মধ্যে ঠিক একের পার্থক্য। এই ধরনের ত্রয়ীগুলি অবশ্যই প্রারম্ভিক এবং $(2 n + 1, 2 n 2 + 2 n, 2 n 2 + 2 n +1)$ আকারের। এটি ইউক্লিডের সূত্র থেকে উদ্ভূত হয় এই উল্লেখ করে যে শর্তটি বোঝায় যে ত্রয়ীটি প্রারম্ভিক এবং অবশ্যই $(m 2 + n 2) - 2 mn = 1$ যাচাই করতে হবে। এটি $(m - n) 2 = 1$ বোঝায়, এবং এইভাবে $m = n + 1$ । ত্রয়ীগুলির উপরোক্ত রূপ এইভাবে ইউক্লিডের সূত্রে $m$ এর জন্য $n + 1$ প্রতিস্থাপনের ফলাফল।

অসংখ্য প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যেখানে কর্ণ এবং দীর্ঘতম বাহুর মধ্যে ঠিক দুইয়ের পার্থক্য। এগুলি সবই প্রারম্ভিক, এবং ইউক্লিডের সূত্রে $n = 1$ রেখে পাওয়া যায়। আরো সাধারণভাবে, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা $k > 0$ এর জন্য, অসংখ্য প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যেখানে কর্ণ এবং বিজোড় বাহুর মধ্যে $2 k 2$ এর পার্থক্য। এগুলি ইউক্লিডের সূত্রে $n = k$ রেখে পাওয়া যায়।

অসংখ্য পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যেখানে দুটি বাহুর মধ্যে ঠিক একের পার্থক্য। উদাহরণস্বরূপ, 20² + 21² = 29²; এগুলি ইউক্লিডের সূত্র দ্বারা উৎপন্ন হয় যখন ${\tfrac {m-n}{n}}$ হল ${\sqrt {2}}$ এর একটি অভিসারী।

প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$ এর জন্য, $k$ সংখ্যক পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যাদের ভিন্ন কর্ণ কিন্তু একই ক্ষেত্রফল।

প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$ এর জন্য, কমপক্ষে $k$ সংখ্যক ভিন্ন প্রারম্ভিক পিথাগোরীয় ত্রয়ী বিদ্যমান যাদের একই বাহু $a$ , যেখানে $a$ কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (জোড় বাহুর দৈর্ঘ্য 2mn, এবং অনেক উৎপাদকীকরণ সহ $a$ বেছে নেওয়াই যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ $a = 4 b$ , যেখানে $b$ হল $k$ সংখ্যক ভিন্ন বিজোড় মৌলিক সংখ্যার গুণফল; এটি কমপক্ষে $2 k$ সংখ্যক ভিন্ন প্রারম্ভিক ত্রয়ী উৎপাদন করে)।^[৮]^:৩০

তথ্যসূত্র

↑ Long (1972, p. 48)
↑ Robson, Eleanor (২০০২), "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322" (পিডিএফ), The American Mathematical Monthly, 109 (2): 105–120, এসটুসিআইডি 33907668, ডিওআই:10.1080/00029890.2002.11919845, ২০ জুলাই ২০২২ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২ জুন ২০২৫
↑ Joyce, D. E. (জুন ১৯৯৭), "Book X, Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University
↑ Mitchell, Douglas W. (জুলাই ২০০১), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette, 85 (503): 273–5, এসটুসিআইডি 126059099, জেস্টোর 3622017, ডিওআই:10.2307/3622017
↑ স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক), "Sequence A000129 (Pell numbers)", দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স, ওইআইএস ফাউন্ডেশন
↑ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (২০০০), "Parametric representation of primitive Pythagorean triples", Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking, II, Mathematical Association of America, পৃষ্ঠা 120, আইএসবিএন 978-0-88385-721-2, ওসিএলসি 807785075
↑ Maor, Eli, The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, 2007: Appendix B.
↑ ^ক ^খ ^গ ^ঘ ^ঙ Sierpiński, Wacław (২০০৩), Pythagorean Triangles, Dover, pp. iv–vii, আইএসবিএন 978-0-486-43278-6
↑ Houston, David (১৯৯৩), "Pythagorean triples via double-angle formulas", Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, পৃষ্ঠা 141, আইএসবিএন 978-0-88385-700-7, ওসিএলসি 29664480
↑ Posamentier, Alfred S. (২০১০), The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty, Prometheus Books, পৃষ্ঠা 156, আইএসবিএন 9781616141813 .
↑ For the nonexistence of solutions where $a$ and $b$ are both square, originally proved by Fermat, see Koshy, Thomas (২০০২), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, পৃষ্ঠা 545, আইএসবিএন 9780124211711 . For the other case, in which $c$ is one of the squares, see Stillwell, John (১৯৯৮), Numbers and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, পৃষ্ঠা 133, আইএসবিএন 9780387982892 .
↑ ^ক ^খ ^গ Carmichael, Robert D. (১৯১৫), Diophantine Analysis, John Wiley & Sons
↑ Sierpiński 2003, পৃ. 4–6
↑ Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20, Utilitas Mathematica Pub, ১৯৯০, পৃষ্ঠা 141, আইএসবিএন 9780919628700
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; MacHale নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ Sally, Judith D. (২০০৭), Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, American Mathematical Society, পৃষ্ঠা 74–75, আইএসবিএন 9780821872673 .
↑ This follows immediately from the fact that ab is divisible by twelve, together with the definition of congruent numbers as the areas of rational-sided right triangles. See e.g. Koblitz, Neal (১৯৯৩), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics, 97, Springer, পৃষ্ঠা 3, আইএসবিএন 9780387979663 .
↑ Baragar, Arthur (২০০১), A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities, Prentice Hall, Exercise 15.3, p. 301, আইএসবিএন 9780130143181
↑ ^ক ^খ Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (২০০৫), Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles, arXiv:math/0701624 
↑ স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক), "Sequence A237518 (Least primes that together with prime(n) forms a Heronian triangle)", দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স, ওইআইএস ফাউন্ডেশন
↑ H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat's Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (মে ২০০৮), "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher, 101: 656–663, ডিওআই:10.5951/MT.101.9.0656
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Yiu নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Rational Triangle"।

[1] Long (1972, p. 48)

[2] Robson, Eleanor (২০০২), "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322" (পিডিএফ), The American Mathematical Monthly, 109 (2): 105–120, এসটুসিআইডি 33907668, ডিওআই:10.1080/00029890.2002.11919845, ২০ জুলাই ২০২২ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২ জুন ২০২৫

[3] Joyce, D. E. (জুন ১৯৯৭), "Book X, Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University

[4] Mitchell, Douglas W. (জুলাই ২০০১), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette, 85 (503): 273–5, এসটুসিআইডি 126059099, জেস্টোর 3622017, ডিওআই:10.2307/3622017

[5] স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক), "Sequence A000129 (Pell numbers)", দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স, ওইআইএস ফাউন্ডেশন

[6] Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (২০০০), "Parametric representation of primitive Pythagorean triples", Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking, II, Mathematical Association of America, পৃষ্ঠা 120, আইএসবিএন 978-0-88385-721-2, ওসিএলসি 807785075

[7] Maor, Eli, The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, 2007: Appendix B.

[Sierpinski-8] ক ^খ ^গ ^ঘ ^ঙ Sierpiński, Wacław (২০০৩), Pythagorean Triangles, Dover, pp. iv–vii, আইএসবিএন 978-0-486-43278-6

[9] Houston, David (১৯৯৩), "Pythagorean triples via double-angle formulas", Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, পৃষ্ঠা 141, আইএসবিএন 978-0-88385-700-7, ওসিএলসি 29664480

[10] Posamentier, Alfred S. (২০১০), The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty, Prometheus Books, পৃষ্ঠা 156, আইএসবিএন 9781616141813 .

[11] For the nonexistence of solutions where $a$ and $b$ are both square, originally proved by Fermat, see Koshy, Thomas (২০০২), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, পৃষ্ঠা 545, আইএসবিএন 9780124211711 . For the other case, in which $c$ is one of the squares, see Stillwell, John (১৯৯৮), Numbers and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, পৃষ্ঠা 133, আইএসবিএন 9780387982892 .

[Carmichael-12] ক ^খ ^গ Carmichael, Robert D. (১৯১৫), Diophantine Analysis, John Wiley & Sons

[Sierpinski6-13] Sierpiński 2003, পৃ. 4–6

[14] Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20, Utilitas Mathematica Pub, ১৯৯০, পৃষ্ঠা 141, আইএসবিএন 9780919628700

[MacHale-15] উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; MacHale নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি

[16] Sally, Judith D. (২০০৭), Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, American Mathematical Society, পৃষ্ঠা 74–75, আইএসবিএন 9780821872673 .

[17] This follows immediately from the fact that ab is divisible by twelve, together with the definition of congruent numbers as the areas of rational-sided right triangles. See e.g. Koblitz, Neal (১৯৯৩), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics, 97, Springer, পৃষ্ঠা 3, আইএসবিএন 9780387979663 .

[18] Baragar, Arthur (২০০১), A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities, Prentice Hall, Exercise 15.3, p. 301, আইএসবিএন 9780130143181

[Bernhart-19] ক ^খ Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (২০০৫), Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles, arXiv:math/0701624 

[20] স্লোয়েন, এন. জে. এ. (সম্পাদক), "Sequence A237518 (Least primes that together with prime(n) forms a Heronian triangle)", দ্য অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স, ওইআইএস ফাউন্ডেশন

[DM-21] H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat's Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.

[22] Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (মে ২০০৮), "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher, 101: 656–663, ডিওআই:10.5951/MT.101.9.0656

[Yiu-23] উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Yiu নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি

[24] এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Rational Triangle"।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]

[১৭]

[১৮]

[১৯]

[২০]

[২১]

[২২]

[২৩]

[২৪]