পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে, একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে উপাদান দ্বারা উপাদান গুণনের ফলাফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানটি একটি পাটিগণিত ক্রমটির n তম উপাদান এবং একটি জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানের গুণফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজ হল এমন একটি পদের সমষ্টি যা একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান। অ্যারিথমেটিকো-জ্যামিতিক ক্রম এবং সিরিজগুলি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে উদ্ভূত হয়, যেমন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মানের গণনা, বিশেষ করে বার্নোলি প্রক্রিয়াগুলিতে ।

উদাহরণস্বরূপ, ক্রম

${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots$

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক উপাদানটি লবটিতে (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিকটি হর (সবুজ রঙে) প্রদর্শিত হয়। এই ক্রমটির অসীম উপাদানগুলির সিরিজ যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এটির মান 2। সাধারণভাবে,

$\sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\quad \mathrm {for\ } 0<r<1.$

</br> পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয় বৈশিষ্ট্যের সমন্বয়ে বিভিন্ন বস্তুকে পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের লেবেলও দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক-জ্যামিতিক অনুক্রমের ফরাসি ধারণাটি সেই ক্রমগুলিকে বোঝায় যা ফর্মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। $u_{n+1}=ru_{n}+d$, যা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একত্রিত করে $u_{n+1}=u_{n}+d$ পাটিগণিত ক্রম এবং জন্য $u_{n+1}=ru_{n}$ জ্যামিতিক ক্রমগুলির জন্য। এই ক্রমগুলি তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণের একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অবিচ্ছিন্ন প্রথম ক্রম রৈখিক পুনরাবৃত্তি সহ ধ্রুবক সহগ ।

উপাদান

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান $(A_{n}G_{n})_{n\geq 1}$ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির পণ্য $(A_{n})_{n\geq 1}$ (নীল রঙে) প্রাথমিক মান সহ $a$ এবং সাধারণ পার্থক্য $d$, $A_{n}=a+(n-1)d,$ জ্যামিতিক অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে $(G_{n})_{n\geq 1}$ (সবুজ রঙে) প্রাথমিক মান সহ $b$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$, $G_{n}=br^{n-1},$ যাতে

${\begin{aligned}A_{1}G_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\A_{2}G_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\A_{3}G_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\A_{n}G_{n}&=\color {blue}(a+(n-1)d)\color {green}br^{n-1}\color {black}.\end{aligned}}$

এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং তিনটিতে হ্রাস করা যেতে পারে: $ab,$$bd,$ এবং $r.$

উদাহরণ

ক্রম

${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots$

পরামিতি সহ পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম $d=b=1$, $a=0$, এবং $r=1/2$ .

সিরিজ

আংশিক যোগফল

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম n পদের যোগফলের ফর্ম আছে

${\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}A_{k}G_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a+(k-1)d\right)br^{k-1}=b\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+kd\right)r^{k}\\&=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}\end{aligned}}$

যেখানে ${\textstyle A_{i}}$ এবং ${\textstyle G_{i}}$ এগুলি যথাক্রমে পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের i তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি আছে

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}$

ডেরিভেশন

গুণ করা

$S_{n}=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}$

r দিয়ে দেয়

$rS_{n}=abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n}.$

S_n থেকে rS_n বিয়োগ করা, উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা $b$, এবং টেলিস্কোপিং সিরিজের কৌশল (দ্বিতীয় সমতা) এবং একটি সসীম জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (পঞ্চম সমতা) দেয়

${\begin{aligned}(1-r)S_{n}/b={}&\left(a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n-1}\right)\\[5pt]&{}-\left(ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n}\right)\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+(n-1)d\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\\S_{n}=&{\frac {b}{1-r}}\left(a-(a+nd)r^{n}+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}\right)\\=&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(b-br^{n})}{(1-r)^{2}}}\\=&{\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr(G_{1}-G_{n+1})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}$

যেমন দাবি করা হয়েছে।

অসীম সিরিজ

যদি −1 < r < 1 হয়, তাহলে পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল S, অর্থাৎ অনুক্রমের উপাদানগুলির আংশিক যোগফলের সীমা দ্বারা দেওয়া হয়।

${\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {drG_{1}}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}$

যদি r উপরের সীমার বাইরে হয়, b শূন্য নয়, এবং a এবং d উভয়ই শূন্য নয়, সীমাটি বিদ্যমান নেই এবং সিরিজটি ভিন্ন ।

উদাহরণ

যোগফল

$S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots$ ,

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি $d=b=1$, $a=0$, এবং $r={\frac {1}{2}}$, এবং এটি একত্রিত হয় $S=2$ . এই ক্রমটি "টেইল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা টসের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সম্ভাবনা $T_{k}$ টসে প্রথমবার টেল পাওয়া নিম্নরূপ:

$T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}$ .

অতএব, প্রথম "টেলস" পৌঁছানোর জন্য টসের প্রত্যাশিত সংখ্যা দেওয়া হয়

$\sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=2.$

একইভাবে, যোগফল

$S={\dfrac {\color {blue}{0}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{5/6}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{6/5}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{2}}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{3}}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{4}}}}+\cdots$

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি $d=1$, $a=0$, $b=(1/6)/(5/6)$, এবং $r=5/6$, এবং এটি 6-এ রূপান্তরিত হয়। এই ক্রমটি একটি ডাই রোলে একটি নির্দিষ্ট মান পেতে প্রয়োজনীয় ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাইস রোলের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ "5"। সাধারণভাবে, সঙ্গে এই সিরিজ $d=1$, $a=0$, $b=p/(1-p)$, এবং $r=(1-p)$ "সাফল্যের সম্ভাবনা" সহ বার্নৌলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার সংখ্যা" এর প্রত্যাশা দিন $p$ . প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা একটি জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং সিরিজের শর্তাবলীতে জ্যামিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে, যখন প্রতি ফলাফলের পরীক্ষার সংখ্যা শর্তাবলীতে গাণিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে।

নোট

• D. Khattar। The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New সংস্করণ)। Pearson Education India। পৃষ্ঠা 10.8। আইএসবিএন 81-317-2876-5। 
• P. Gupta। Comprehensive Mathematics XI। Laxmi Publications। পৃষ্ঠা 380। আইএসবিএন 81-7008-597-7।