পর্যায়ক্রমিক ধারা

গণিতে, একটি পরিবর্তনশীল ধারা হল একটি ইনফিনিট ধারা, যার পদগুলো একবার ধনাত্মক এবং পরেরবার ঋণাত্মক চিহ্নে থাকে। ক্যাপিটাল-সিগমা নোটেশনে এটি প্রকাশ করা হয় $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$$ অথবা $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$$ যেখানে a_n > 0 সমস্ত n-এর জন্য।

যেকোনো ধারার মতো, একটি পরিবর্তনশীল ধারা সসীম ধারা হবে তখনই, যদি ধারাটির আংশিক সমষ্টিগুলোর ধারা একটি সসীম মানে পৌঁছায়। পরিবর্তনশীল ধারা পরীক্ষা নিশ্চিত করে যে একটি পরিবর্তনশীল ধারা সসীম হবে যদি a_n-এর মান ০-র দিকে একঘাতভাবে ছোটতে থাকে, কিন্তু এটি সসীম হওয়ার জন্য অপরিহার্য শর্ত নয়।

উদাহরণ

জ্যামিতিক ধারা +১/২ − +১/৪ + +১/৮ − +১/১৬ + ⋯ এর সমষ্টি +১/৩।

পরিবর্তনশীল হারমনিক ধারার একটি সসীম সমষ্টি থাকে, কিন্তু হারমনিক ধারার থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, ধারা $$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$$ সমষ্টি হিসেবে ${\frac {\pi }{4}}$-এ পৌঁছায়, তবে এটি পরম সসীম নয়।

মারকেটর ধারা প্রাকৃতিক লগারিদমের একটি বিশ্লেষণাত্মক পাওয়ার সিরিজ প্রকাশ করে, যা এইভাবে লেখা হয়: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.$$

ত্রিকোণমিতিতে ব্যবহৃত এবং প্রাথমিক বীজগণিতে সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত হিসেবে পরিচিত সাইন এবং কোসাইন ফাংশন ক্যালকুলাসে পরিবর্তনশীল ধারার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যায়: $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$ এবং $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$$ যখন এই ধারাগুলো থেকে পরিবর্তনশীল ফ্যাক্টর (–1)ⁿ সরিয়ে দেওয়া হয়, তখন হাইপারবোলিক ফাংশন sinh এবং cosh পাওয়া যায়, যা ক্যালকুলাস এবং পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত হয়।

ইন্টিজার বা ধনাত্মক সূচক α-এর জন্য বেসেল ফাংশনের প্রথম প্রকারটি পরিবর্তনশীল ধারার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যায়: $$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$$ যেখানে Γ(z) হল গামা ফাংশন।

যদি s একটি জটিল সংখ্যা হয়, তাহলে ডিরিকলে এটা ফাংশন একটি পরিবর্তনশীল ধারা হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয়: $$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$ এটি বিশ্লেষণধর্মী সংখ্যা তত্ত্বতে ব্যবহৃত হয়।

পরিবর্তনশীল ধারা পরীক্ষা

মূল নিবন্ধ: পরিবর্তনশীল ধারা পরীক্ষা

"লেবনিজ পরীক্ষা" বা পরিবর্তনশীল ধারা পরীক্ষা নামে পরিচিত উপপাদ্যটি বলে যে, যদি a_n পদগুলো একঘাতভাবে ০-র দিকে অগ্রসর হয়, তাহলে পরিবর্তনশীল ধারা সসীম হবে।

প্রমাণ: ধরা যাক, $a_{n}$ ধারা ০-র দিকে অগ্রসর হয় এবং এটি একঘাতভাবে হ্রাসমান। যদি $m$ বিজোড় সংখ্যা হয় এবং $m<n$, তবে নিম্নলিখিত গণনার মাধ্যমে আমরা অনুমান পাই $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$: $${\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}$$

যেহেতু $a_{n}$ একঘাতভাবে হ্রাসমান, তাই $-(a_{m}-a_{m+1})$ পদগুলো ঋণাত্মক। অতএব, চূড়ান্ত অসমতা দাঁড়ায় $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$। একইভাবে এটি দেখানো যায় যে, $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$। যেহেতু $a_{m}$ ০-র দিকে অগ্রসর হয়, আংশিক সমষ্টি $S_{m}$ একটি কাউচি ধারা তৈরি করে (অর্থাৎ, ধারা কাউচি মানদণ্ড পূরণ করে) এবং তাই এটি সসীম হয়। $m$ সমসংখ্যক হলে একই যুক্তি প্রয়োগ করা যায়।

সমষ্টি আনুমানিকীকরণ

উপরের অনুমানটি $n$-এর উপর নির্ভর করে না। তাই, যদি $a_{n}$ একঘাতভাবে ০-র দিকে এগোয়, তবে এই অনুমানটি আংশিক সমষ্টি ব্যবহার করে অসীম সমষ্টি আনুমানিক করার জন্য একটি ত্রুটির সীমানা প্রদান করে: $$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.$$ এর মানে এই নয় যে এই অনুমান সর্বদা সেই প্রথম উপাদানটি নির্ধারণ করতে পারে যার পরে ত্রুটি পরবর্তী পদটির মডুলাসের চেয়ে কম হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ধারা $1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2$ নেওয়া হয় এবং এমন পদ খুঁজতে বলা হয় যার পরে ত্রুটি সর্বোচ্চ 0.00005 হবে, উপরের অসমতা দেখায় যে $a_{20000}$-পর্যন্ত আংশিক সমষ্টি যথেষ্ট। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে, এটি প্রয়োজনীয় সংখ্যার দ্বিগুণ।

আসলেই, প্রথম 9999টি উপাদানের পরে ত্রুটি হয় 0.0000500025, এবং তাই $a_{10000}$-পর্যন্ত আংশিক সমষ্টি নেওয়া যথেষ্ট। এই ধারাটির এমন একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেখানে $a_{n}-a_{n+1}$ দ্বারা একটি নতুন পরিবর্তনশীল ধারা তৈরি হয়, যা লেবনিজ পরীক্ষার অধীনে সসীম এবং এই সহজ ত্রুটির সীমানা অপ্টিমাল নয়।

এই বিষয়টি 1962 সালে ক্যালাব্রেস সীমানা দ্বারা উন্নত করা হয়েছিল, যা বলে যে এই বৈশিষ্ট্যটি লেবনিজ ত্রুটি সীমানার চেয়ে দ্বিগুণ ভালো ফলাফল দেয়। তবুও, এটি অপ্টিমাল নয় যদি এই বৈশিষ্ট্যটি ২ বার বা তার বেশি প্রয়োগ করা যায়। এটি জনসনবাউ ত্রুটি সীমানা দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে।

যদি বৈশিষ্ট্যটি অসীম সংখ্যক বার প্রয়োগ করা যায়, তবে ইউলারের রূপান্তর প্রযোজ্য।

পরম সসীমতা

কোনো ধারা ${\textstyle \sum a_{n}}$ পরমভাবে সসীম হবে যদি ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ধারা সসীম হয়।

উপপাদ্য: পরমভাবে সসীম ধারা সসীম হয়।

প্রমাণ: ধরা যাক ${\textstyle \sum a_{n}}$ পরমভাবে সসীম। তখন ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ সসীম এবং এটি অনুসরণ করে যে ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ ও সসীম। যেহেতু ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$, তুলনা পরীক্ষার মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে, ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ ধারা সসীম।

অতএব, ${\textstyle \sum a_{n}}$ দুটি সসীম ধারার পার্থক্য হিসাবে সসীম: ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

শর্তাধীন সসীমতা

কোনো ধারা শর্তাধীনভাবে সসীম হয় যদি এটি সসীম হয় কিন্তু পরমভাবে সসীম না হয়।

উদাহরণস্বরূপ, হারমনিক ধারা $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},$$ অসীম হয়, তবে এর পরিবর্তনশীল সংস্করণ $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},$$ পরিবর্তনশীল ধারা পরীক্ষার মাধ্যমে সসীম প্রমাণিত হয়।

পুনর্বিন্যাস

কোনো ধারার ক্ষেত্রে সমষ্টির ক্রম পুনর্বিন্যাস করে একটি নতুন ধারা তৈরি করা যায়। কোনো ধারা নিঃশর্তভাবে সসীম যদি যেকোনো পুনর্বিন্যাস মূল ধারার মতোই সসীম হয়। পরমভাবে সসীম ধারা নিঃশর্তভাবে সসীম। তবে রিম্যান ধারা উপপাদ্য বলে যে, শর্তাধীন সসীম ধারা পুনর্বিন্যাসের মাধ্যমে যেকোনো ইচ্ছামতো সসীম ফলাফল তৈরি করা যায়। অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য বর্ণনা করে যে যেকোনো সসীম ধারার জন্য পুনর্বিন্যাস কিভাবে সসীমতা বজায় রাখে। সাধারণ নীতি অনুযায়ী, অসীম যোগফলের ক্ষেত্রে যোগফল শুধুমাত্র পরমভাবে সসীম ধারার জন্য বিনিময়যোগ্য।

উদাহরণস্বরূপ, 1=0 এর একটি ভুল প্রমাণ অসীম যোগফলের ক্ষেত্রে মিলনের ব্যর্থতার সদ্ব্যবহার করে।

আরেকটি উদাহরণ হলো মার্সেটর ধারা: $$\ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .$$

কিন্তু যেহেতু ধারা পরমভাবে সসীম নয়, এটি পুনর্বিন্যাস করে ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ এর একটি ধারা পাওয়া যায়: $${\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}$$

ধারা ত্বরণ

প্রয়োগের ক্ষেত্রে, পরিবর্তনশীল ধারার সংখ্যাগত যোগফলকে বিভিন্ন ধারা ত্বরণ কৌশলের মাধ্যমে দ্রুততর করা যায়। প্রাচীনতম কৌশলগুলোর মধ্যে একটি হলো ইউলার যোগফল, তবে বর্তমানে আরও অনেক আধুনিক কৌশল রয়েছে যা আরও দ্রুত সসীম ফলাফল প্রদান করতে পারে।

দেখুন এছাড়াও

• গ্রান্ডির ধারা
• নোরলুন্ড–রাইস সমাকলন

রেফারেন্স

• Earl D. Rainville (1967) অসীম ধারাগুলি, পৃষ্ঠা ৭৩–৭৬, Macmillan Publishers।
• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Alternating Series"।