পরম সন্নিবেশ

গণিত-এ, সংখ্যার একটি অসীম সিরিজ বলা হয় একদম একত্রিত (বা একদম অভিসারী) যদি যোগফল হয় পরম মানসম্যান্ডগুলি সীমাবদ্ধ। আরও স্পষ্ট করে বললে, একটি বাস্তব বা জটিল সিরিজ $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ বলা হয় একদম একত্রিত হয় যদি $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য $\textstyle L.$ একইভাবে, একটি ফাংশন, $\textstyle \int _{0}^{\infty }tyf(x)\,dx,$ বলা হয় একেবারে একত্রিত হয় যদি ইন্টিগ্র্যান্ডের পরম মানের অখণ্ডিত হয় সসীম—অর্থাৎ, যদি $\textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.$ একটি অভিসারী সিরিজ যা একেবারে অভিসারী নয় তাকে শর্তগতভাবে অভিসারী বলা হয়।

অসীম সিরিজের অধ্যয়নের জন্য পরম অভিসারীতা গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এর সংজ্ঞা নিশ্চিত করে যে একটি সিরিজের কিছু "সুন্দর" আচরণ থাকবে সসীম সমষ্টির যা সমস্ত অভিসারী সিরিজের অধিকারী নয়। উদাহরণস্বরূপ, পুনর্বিন্যাস যোগফলের মান পরিবর্তন করে না, যা শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের জন্য অগত্যা সত্য নয়।

পটভূমি

একটি সীমিত সংখ্যক পদ যোগ করার সময়, সংযোজন উভয়ই অ্যাসোসিয়েটিভ এবং কম্যুটেটিভ, যার অর্থ গ্রুপিং এবং পুনর্বিন্যাস চূড়ান্ত যোগফলকে পরিবর্তন করে না। উদাহরণস্বরূপ, $(1+2)+3$ $1+(2+3)$ এবং $(3+2)+1$ উভয়ের সমান . যাইহোক, সহযোগীতা এবং commutativity অসীম রাশির জন্য অগত্যা ধরে না। একটি উদাহরণ হল অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{m}}ath>\ln(1+x)$ ফাংশনের জন্য ম্যাক্লোরিন সিরিজ ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা সকল $S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$ :

$S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

প্রতিস্থাপন $x=1$ প্রকাশ করে যে আসল যোগফল $\ln 2$ এর সমান। যোগফল নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে:

$S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

এই পুনর্বিন্যাসে, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা-এর [[গুণিক বিপরীত যাইহোক, বন্ধনীর ভিতরে পদগুলি মূল্যায়ন করলে ফল পাওয়া যায়

$S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

অথবা অর্ধেক মূল সিরিজ. যোগের সহযোগীতা এবং কম্যুটেটিভিটির লঙ্ঘন প্রকাশ করে যে বিকল্প হারমোনিক সিরিজ হল শর্তগতভাবে অভিসারী। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি পদের পরম মানের সমষ্টি হল ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$ , অথবা ভিন্ন ভিন্ন হারমোনিক সিরিজ . রিম্যান সিরিজের উপপাদ্য অনুসারে, যেকোন শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজকে অনুমতি দেওয়া যেতে পারে যাতে এর যোগফল যেকোন সসীম বাস্তব সংখ্যা হয় বা যাতে এটি ভিন্ন হয়। যখন একটি সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ পুনর্বিন্যাস করা হয়, তখন তার যোগফল সর্বদা সংরক্ষিত থাকে।

বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার সংজ্ঞা

বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার যোগফল ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ একেবারে অভিসারী হয় যদি ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ কনভারজেস।

আরো সাধারণ উপাদানের যোগফল

একই সংজ্ঞা ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ সিরিজের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যার পদগুলি $a_{n}$ সংখ্যা নয় বরং একটি নির্বিচারের উপাদান। অ্যাবেলিয়ান টপোলজিক্যাল গ্রুপ। সেক্ষেত্রে, পরম মান ব্যবহার না করে, সংজ্ঞার জন্য গ্রুপের একটি নর্ম থাকতে হবে, যা একটি ইতিবাচক বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ একটি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী $G$ (লিখিত অ্যাডিটিভলি, পরিচয় উপাদান 0 সহ) যেমন:

$G$ -এর পরিচয় উপাদানের আদর্শ হল শূন্য: $\|0\|=0.$
প্রতিটি $x\in G,$ $\|x\|=0$ মানে $x=0.$
প্রতিটি $x\in G,$ $\|-x\|=\|x\|.$
প্রতিটি $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$ $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

এই ক্ষেত্রে, ফাংশন $d(x,y)=\|x-y\|$ গঠনকে প্ররোচিত করে

$G.$ -এ একটি মেট্রিক স্পেস (এক ধরনের টপোলজি)

তারপর, ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

বিশেষ করে, এই বিবৃতিগুলি বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার জায়গায় আদর্শ $|x|$ (পরম মান) ব্যবহার করে প্রযোজ্য।

টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেসে

যদি $X$ একটি টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস (TVS) হয় এবং ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ হয় $X$ এ একটি (সম্ভবত অগণিত) পরিবার তাহলে এই পরিবারটি একদম সংযোজনযোগ্য if^[১]

${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ $X$ -এ সংক্ষেপযোগ্য (অর্থাৎ যদি নেট এর সীমা ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ $X,$ এ একত্রিত হয় যেখানে ${\mathcal {F}}(A))$ হল $\subseteq$ এবং অন্তর্ভুক্তি দ্বারা পরিচালিত $A$ -এর সমস্ত সসীম উপসেটের নির্দেশিত সেট ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$ ), এবং
প্রতিটি ক্রমাগত seminorm $p$ এর জন্য $X,$ পরিবার ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ হল $\mathbb {R} .$ -এ যোগ করা যায়

যদি $X$ একটি স্বাভাবিক স্থান হয় এবং যদি ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ হয় তাহলে <math-এ একটি সম্পূর্ণ সংযোজনযোগ্য পরিবার >X,</math> তাহলে অগত্যা $x_{\alpha }$ -এর একটি গণনাযোগ্য সংগ্রহ ব্যতীত সবগুলি হল 0৷

পারমাণবিক স্থান-এর তত্ত্বে সম্পূর্ণরূপে যোগযোগ্য পরিবারগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

সংসারের সাথে সম্পর্ক

যদি $G$ মেট্রিক $d,$ এর ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ হয় তবে প্রতিটি একেবারে অভিসারী সিরিজ অভিসারী। প্রমাণটি জটিল-মূল্যবান সিরিজের মতোই: অভিসারের জন্যকাউশি সঁকেত বের করার জন্য সম্পূর্ণতা ব্যবহার করুন—একটি সিরিজ অভিসারী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর লেজগুলিকে স্বাভাবিকভাবে ছোট করা যায়—এবং ত্রিভুজ অসমতা প্রয়োগ করুন।<!- - খুব কিভাবে? -->

বিশেষ করে, যেকোনো বানচ স্পেস-এ মান সহ সিরিজের জন্য, পরম অভিসারতা অভিসারকে বোঝায়। কথোপকথনটিও সত্য: যদি নিখুঁত অভিন্নতা একটি আদর্শ স্থানের অভিসারকে বোঝায়, তবে স্থানটি একটি বানাচ স্থান।যদি একটি সিরিজ অভিসারী হয় কিন্তু একেবারে অভিসারী না হয় তবে তাকে শর্তগতভাবে অভিসারী বলা হয়। শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের একটি উদাহরণ হল অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ। বিবর্তন এবং অভিসারণের জন্য অনেকগুলি আদর্শ পরীক্ষা, বিশেষত অনুপাত পরীক্ষা এবং মূল পরীক্ষা সহ, পরম অভিসারতা প্রদর্শন করে। এর কারণ হল একটি পাওয়ার সিরিজ তার কনভারজেন্সের ডিস্কের অভ্যন্তরে একেবারে অভিসারী। অভিসার ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ, কনভারজেন্সের ডিস্কটি এমন সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত যার জন্য পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হয়।}}

প্রমাণ যে জটিল সংখ্যার যেকোন সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ অভিসারী

ধরুন যে ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ কনভারজেন্ট। তারপর সমানভাবে, ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ কনভারজেন্ট, যা বোঝায় যে ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ এবং ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ এবং ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ তাহলে, ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$ অনুসরণ করবে, জটিল-মূল্যের সিরিজের অভিসারের সংজ্ঞা অনুসারে।

পূর্ববর্তী আলোচনা দেখায় যে আমাদের শুধুমাত্র প্রমাণ করতে হবে যে ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ -এর অভিসৃতি বোঝায় ${\textstyle \sum a_{k}.}$

${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ কে অভিসারী হতে দিন। যেহেতু $0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,$ আমাদের আছে $0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.$ কনভারজেন্ট, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ হল একটি বাউন্ডেড monotonic sequence এর আংশিক যোগফল, এবং ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ও একত্রিত হতে হবে। উল্লেখ্য যে <math display=inline>\sum a_k = \sum \left(a_k + \left|a_k\right|\right) - \sum \left|a_k\right|</math> হল অভিসারী সিরিজের পার্থক্য, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে এটিও একটি অভিসারী সিরিজ, ইচ্ছামত।

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

কাউশি সঁকেত এবং ত্রিভুজ অসমতা ব্যবহার করে বিকল্প প্রমাণ

একটি জটিল সিরিজের একত্রিত হওয়ার জন্যকাউশি সঁকেত প্রয়োগ করে, আমরা এই সত্যটিকে ত্রিভুজ অসমতা-এর একটি সরল অন্তর্নিহিততা হিসাবে প্রমাণ করতে পারি।^[২] দ্বারা Cauchy criterion, ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ একত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনো $\varepsilon >0,$ সেখানে $N$ থাকে যেমন ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ এর জন্য $n>m\geq N.$ কিন্তু ত্রিভুজ অসমতা বোঝায় যে ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ যাতে ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ -এর জন্য $n>m\geq N,$ যা ঠিক ${\textstyle \sum a_{i}.}$ -এর জন্য কাউশি সঁকেত।

প্রমাণ যে একটি বানাচ স্পেসে যেকোন একেবারে অভিসারী সিরিজ অভিসারী

উপরের ফলাফল সহজেই প্রতিটি Banach space $(X,\|\,\cdot \,\|).$ চলুন ${\textstyle \sum x_{n}}$ এ একটি সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ হতে হবে যেমন ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ হল একটি যে কোনো $\varepsilon >0$ এবং যথেষ্ট বড় প্রাকৃতিক সংখ্যাs $m>n$ এর জন্য বাস্তব সংখ্যার কচি ক্রম: