ন্যূনতম পৃষ্ঠ

A helicoid minimal surface formed by a soap film on a helical frame

গণিতে, ন্যূনতম পৃষ্ঠ হলো একটি পৃষ্ঠ যে স্থানীয়ভাবে তার এলাকা নূন্যতম করে দেয়। এটি শূন্য গড় বক্রতার সমতুল্য (সংজ্ঞা নিচে দেখুন)। "ন্যূনতম পৃষ্ঠ" শব্দটি ব্যবহার করা হয় কারণ এই পৃষ্ঠতল মূলত সেই পৃষ্ঠকে উত্থাপিত করে যা মোট পৃষ্ঠ এলাকা নূন্যতম করে। এলাকার গঠন- হ্রাসমান ন্যুনতম পৃষ্ঠ তৈরি করা যেতে পারে, সাবান জলে একটি তারের ফ্রেম ডুবিয়ে, তৈরি হয় সাবান ফিল্ম, যা নূন্যতম পৃষ্ঠ যার সীমানা তারের ফ্রেম। তবে শব্দটি আরও সাধারণ পৃষ্ঠতলের জন্য ব্যবহৃত হয় যা স্ব-ছেদ বা সীমাবদ্ধ নাও থাকতে পারে। একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার জন্য বিভিন্ন নূন্যতম পৃষ্ঠ থাকতে পারে যাদের আলাদা আলাদা অঞ্চল (উদাহরণস্বরূপ: ন্যূনতম পৃষ্ঠের পুনরাবৃত্তি): প্রমাণ সংজ্ঞা কেবল স্থানীয় সর্বোত্তম এর সাথে সম্পর্কিত, বিশ্বব্যাপী সর্বোত্তম এর সাথে নয় ।

সংজ্ঞা

নূন্যতম পৃষ্ঠ R³ এর বিভিন্ন সমতুল্য ভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়: তথ্যটি জ তারা সমতুল্য ভাবে স্পষ্ট করে কীভাবে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব গণিতের বিভিন্ন নিয়মের মধ্যে লুকিয়ে আছে, বিশেষত ডিফারেন্সিয়াল জিওমেট্রি, পরিবর্তনশীল সমাকলন, সম্ভাব্য তত্ত্ব, জটিলতা বিশ্লেষণ, গাণিতিক পদার্থবিদ্যা।

ন্যূনতম আঞ্চলিক এলাকা সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রত্যেক বিন্দু p ∈ M এর চারপাশে নূন্যতম এলাকা থাকে এর সীমানার সাথে সম্পর্কযুক্ত।

বিঃদ্রঃ এই বৈশিষ্ট্য আঞ্চলিক: সেখানে আরও পৃষ্ঠতল থাকতে পারে যেগুলো নূন্যতম এলাকা অনুরূপ বিশ্বব্যাপী পরিধির সাথে।

পরিবর্তন-সংক্রান্ত সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি সংকট বিন্দু হয় এলাকাটির দৃঢরুপে সমর্থিত সকাল ভেরিয়েশন এর জন্য।

এই সংজ্ঞা টি দ্বিমাত্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠের উদাহরণ স্বরূপ যেমন জিওডেসিক্স।

সাবান পর্দা সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি প্রত্যেক বিন্দু p ∈ M এর একটি সন্নিহিত অঞ্চল D_p থাকে যা একটি নতুন আদর্শ সাবান পর্দার পরিধি ∂D_p এর সমান।

ইয়ং―ল্যাপলাস সমীকরণ অনুসারে সাবান জল পর্দার বক্রতা দুই পাশের চাপের পার্থক্যের সমানুপাতিক: যদি এটা শূন্য হয়, পর্দার গড় বক্রতা শূন্য। চিহ্নিত যে, এই সংজ্ঞা অনুসারে গোলাকার বুদবুদ গুলি নূন্যতম পৃষ্ঠ নয়। যখন মোট এলাকা নূন্যতম করে অভ্যন্তরীণ আয়তন এর উপর বাধা সৃষ্টি করে, যাদের একটি ধনাত্মক চাপ থাকে।

গড় বক্রতা সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি, এবং যদি এর গড় বক্রতা অনুরূপভাবে অদৃশ্য হয়।

এই সংজ্ঞা টির সরাসরি ইঙ্গিত হলো যে পৃষ্ঠের উপর সকল বিন্দু হলো জিন বিন্দু, সমান এবং বিপরীত মুখ্য বক্রতার সাথে।

অবকলন সমীকরণ সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি, এবং শুধুমাত্র যদি এটিকে প্রদত্ত সমীকরণের সমাধানের লেখচিত্র হিসাবে প্রকাশ করা যায়

$(1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0$

১৭৬২ সালে এই সংজ্ঞার মধ্যে আংশিক অবকলন সমীকরণ খুঁজে পান ল্যাগরাঞ্জ এবং ১৭৭৬ সালে জেন ব্যাপ্টিস্ট মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে এটা অদৃশ্য গড় বক্রতাকে ইঙ্গিত করে।

শক্তি সংজ্ঞা: একটি কনফর্মাল নিমজ্জিত X: M → R³ যদি নূন্যতম হয় এবং শুধুমাত্র যদি এটি যদি দিরিচলেট শক্তির সংকট বিন্দু হয় প্রত্যেক সমর্থিত পরিবর্তন গুলির জন্য, অথবা সমতুল্যভাবে যদি যেকোনো বিন্দু p ∈ M এর প্রতিবেশী বিন্দু থাকে যাদের নূন্যতম শক্তি এর সীমানার সাথে জড়িত।

এই সংজ্ঞাটি ন্যূনতম পৃষ্ঠকে হার্মনিক অপেক্ষক এবং সম্বাভ্য তত্ত্ব এর সাথে মিলিত করে।

সুরেলা সংজ্ঞা: যদি X = (x₁, x₂, x₃): M → R³ এটি একটি সমমান নিমজ্জিত হয় রিম্যান পৃষ্ঠের তিন মাত্রায়, তাহলে X কে নূন্যতম বলা হবে যখন x_i একটি সুরেলা অপেক্ষক M এর উপর প্রত্যেক i এর জন্য।

এই সংজ্ঞাটির একটি সরাসরি ইঙ্গিত এবং সুরেলা অপেক্ষকের সর্বচ্চ নীতি হলো যে R³ এর মধ্যে কোনো সম্পূর্ণ নিবিড় নূন্যতম পৃষ্ঠ নেই।

গাউস মানচিত্র সংজ্ঞা: একটি পৃষ্ঠ M ⊂ R³ নূন্যতম হবে যদি স্টেরিওগ্রাফিক্যাল অভিক্ষিপ্ত গাউস মানচিত্র g: M → C ∪ {∞} মেরোমরফিক হয় মূল রিম্যান পৃষ্ঠের সাপেক্ষে এবং M গোলকের অংশ না হয়।

এই সংজ্ঞা অনুসারে গড় বক্রতা হলো গঠন কার্যের গমনপথের অর্ধেক, যা গাউস মাপের অমৌলিকের সাথে যুক্ত। যদি অভিক্ষিপ্ত গাউস মানচিত্র কসি―রিম্যান সমীকরণ মেনে চলে তাহলে গমনপথ অদৃশ্য হবে অথবা M এর প্রত্যেক বিন্দু নাভিসংক্রান্ত হবে, যে ক্ষেত্রে এটি গোলকের অংশ।

গড় বক্রতা প্রবাহ সংজ্ঞা: নূন্যতম পৃষ্ঠগুলি হলো সংকট বিন্দু গড় বক্রতা প্রবাহের জন্য।

আঞ্চলিক নূন্যতম এলাকা এবং পরিবর্তন সংক্রান্ত সংজ্ঞাগুলি R³ এর চেয়ে অন্যান্য রিমান মানিফল্ড নূন্যতম পৃষ্ঠকে অনুমতি দেয়।

ইতিহাস

নুন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব ল্যাগরাঞ্জ এর দ্বারা শুরু হয়েছিল, যিনি ১৭৬২ সালে একটি প্রদত্ত বদ্ধ কনট্যুর জুড়ে বিস্তৃত অন্ততপক্ষে এলাকার z = z(x, y) পৃষ্ঠের সন্ধানের বৈচিত্রগত সমস্যাটি বিবেচনা করেন। সমাধানটির জন্য তিনি ইউলার―ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণ এর উদ্ভাবন করেছিলেন

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0$

তিনি প্লেনের বাইরে কোন সমাধান খুঁজে পেতে সফল হননি। ১৭৭৬ সালে জিন ব্যাপটিস্ট মেরী মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে হেলিকইড এবং ক্যাটেনইড এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, এবং অবকলন সমীকরণটি পৃষ্ঠের গড় বক্রতার দ্বিগুন, শেষ হয় শূন্য গড় বক্রতা পৃষ্ঠগুলি হলো হ্রাসমান এলাকা।

ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণকে বিস্তৃত করে

$\left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0$

১৭৯৫ সালে গস্পর্ড মঞ্জ এবং লেজেন্দ্রে সমাধান পৃষ্ঠের বিবরণ সূত্র উদ্ভূত করেছিলেন। ১৮৩০ সালে যখন হেইনরিচ চা‌‌‌র্ক সফলভাবে এইগুলিকে ব্যবহার করেন তার পৃষ্ঠ উদ্ভাবনের জন্য, পকৃতপক্ষে এইগুলিকে অব্যবহারযোগ্য হিসাবে গন্য কইরা হতো। ১৮৪২/৪৩ সালে ক্যাটালান প্রমাণ করেন যে শুধুমাত্র হেলিকইড হলো সরলরেখাঁকিত ক্ষুদ্র পৃষ্ঠ। অগ্রগতি সেই শতাব্দীর মাঝ পর্যন্ত সুন্দরভাবে বিলম্বিত ছিল, যখন জটিল পদ্ধতিতে ব্যরলিং সমস্যা সমাধান করা হয়েছিল। নূন্যতম পৃষ্ঠের প্রথম স্বর্ণযুগ সূত্রপাত হয়। ১৮৬৫ সালে সচবর্জ নিয়মিত চতুর্ভুজের জন্য প্লাটিউ সমস্যার সমাধান খুঁজে পান এবং ১৮৬৭ সালে সাধারণ চতুর্ভুজের জন্য (তার পর্যায়কালীন পৃষ্ঠ পরিবার নির্মাণের অনুমতি দেয়) জটিল পদ্ধতি ব্যবহার করে। বেইএরস্ত্রাস এবং এননেপের আরও কিছু দরকারি বিবরণ সূত্রের উন্নীত করেছিলেন, নূন্যতম পৃষ্ঠের সাথে দৃঢভাবে জটিলতা বিশ্লেষণ এবং হার্মোনিক অপেক্ষক। আরও গুরুত্বপূর্ণ অবদানগুলি এসেছিল বেল্টরামি, বননেট, দারবৌক্স, লিয়ে, রেইমান, সেরেট এবং উইনগার্টেন এর কাছে থেকে। ১৯২৫ এবং ১৯৫০ সালের মাঝখানে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব পুনরায় সক্রিয় হয়, এখন প্রধান উদ্দেশ্য ছিল ননপ্যারামেট্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠ। জেএসসি ডাগ্লাস এবং টিবর রাডো এর দ্বারা প্লাটিউ সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান ছিল প্রধান ধারাবাহিকতার ধাপ। নির্দিষ্ট মোট বক্রতার সম্পূর্ণ নূন্যতম পৃষ্ঠের উপর বের্নস্টাইন সমস্যা এবং রবার্ট অস্সেরমান এর কার্য ছিলো গুরুত্বপূর্ণ। আবার পুনরাবির্ভাব হয় ১৯৮০ সালে। এক কারণ হলো সিলসো কোস্টা দ্বারা ১৯৮২ সালে আবিষ্কৃত একটি আবিষ্কার যা এই ধারণাটি প্রত্যাখ্যান করে যে বিমান, ক্যাটেনইড এবং হেলিকোইডটি একেবারে সম্পূর্ণ সংমিশ্রিত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের R³ এর সীমিত টপোলজিক্যাল প্রকার। পুরানো পারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি নতুন কাজ অনুপ্রাণিত না শুধুমাত্র, কিন্তু "গ্রামীণ সমস্যা" সমাধান করার জন্য গবেষিত পৃষ্ঠাসমূহ এবং সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলির দৃশ্যমান করার জন্য কম্পিউটার গ্রাফিক্সের গুরুত্ব প্রদর্শন করা হয়েছে (যখন পৃষ্ঠ প্যাচ নির্ধারণে যৌথ পৃষ্ঠের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় যা একটি বৃহত্তর সমান্ত্রীয় পৃষ্ঠে একত্রিত হতে পারে, একটি এমবেডেড পৃষ্ঠ উৎপাদন কিছু নির্দিষ্ট পরামিতি সংখ্যাগতভাবে মিলিত হতে হবে)। আরেকটি কারণ হল, এইচ. কার্চারের যাচাইকরণ ছিল যে ১৯৭০ সালে অ্যালান সচেন দ্বারা পরীক্ষামূলকভাবে নিখুঁত পর্যায়ক্রমিক সংক্ষিপ্ত পরিমাপের বর্ণনা করা হয়। এই পৃষ্ঠ পরিবারগুলির একটি ধনী মেনাগেরিয়ে এবং পুরানো থেকে নতুন পৃষ্ঠ আহরণ পদ্ধতি নেতৃত্ব হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ হ্যান্ডেল যুক্ত করে বা তাদের বিকৃত করে। বর্তমানে ক্ষুদ্রতম উপরিভাগের তত্ত্ব অন্যান্য পরিবর্ধনশীল জ্যামিত্যগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সামানিফ্লডগুলিতে বৈচিত্রপূর্ণ, গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে সম্পর্কিত (যেমন ইতিবাচক ভর ধারণা, পেনরোজ অনুমান), এবং তিন-একাধিক জ্যামিতি (উদাহরণস্বরূপ স্মিথ অনুমান, পঁচানো কল্পনা, থার্স্টন জিওমেট্রিজেশন কনজেকচার।

উদাহরণ

ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের প্রাচীন উদাহরণগুলি হল:

• সমতল, যা একটি তুচ্ছ মামলা
• ক্যাটেনইডস: এটির ডাইরেক্টরিক্সের চারপাশে একবার একটি ক্যাটেনরি ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত ন্যূনতম পৃষ্ঠতল
• হেলিকইড: উল্লিখিত একটি লাইন দ্বারা অভিন্ন বেগ সঙ্গে ঘূর্ণিত একটি লাইন দ্বারা বিচ্ছিন্ন এবং একযোগে অভিন্ন বেগ সঙ্গে অক্ষ বরাবর চলন্ত

ঊনবিংশ শতাব্দীর সোনার যুগের পৃষ্ঠতলগুলি:

• সচবর্জ ন্যূনতম পৃষ্ঠতল: ত্রিমাত্রিক সারফেসগুলি যা R³ পূরণ করে।
• রেইমান নুন্যতম পৃষ্ঠতল: একটি মরণোত্তর বর্ণিত সময়কাল পৃষ্ঠ
• এননেপের পৃষ্ঠতল
• হেনাবেরগ পৃষ্ঠতল: প্রথম অ-প্রাচ্যযুক্ত ন্যূনতম পৃষ্ঠতল
• বউর নুন্যতম পৃষ্ঠতল

আধুনিক পৃষ্ঠতলের অন্তর্ভুক্ত:

• জিরইড: ১৯৭০ সালের সচেন পৃষ্ঠের একটি, তরল স্ফটিক কাঠামোর জন্য একটি বিশেষ তিনগুনিও পর্যায়ক্রমিক পৃষ্ঠ।
• স্যাডেল টাওয়ার পরিবার: সচেরক এর দ্বিতীয় পৃষ্ঠের সাধারানিকরন
• কোস্টা এর নুন্যতম পৃষ্ঠ: বিখ্যাত অনুমান দ্বিধা। ১৯৮৩ সালে স্যালসো কোস্টা দ্বারা বর্ণিত এবং পরে জিম হফম্যান দ্বারা দৃশ্যমান। তারপর জিম হফম্যান, ডেভিড হফম্যান এবং উইলিয়াম মিক্স তৃতীয় সংজ্ঞাটিকে প্রসারিত করেন একটি পৃষ্ঠের পরিবার উদ্‌ঘাটন এর জন্য বিভিন্ন ঘুর্ণায়মান প্রতিসাম্যের সাথে
• চেন-গাচস্তত্বের পৃষ্ঠ পরিবার, এননেপের পৃষ্ঠে হ্যান্ডলে গুলি যোগ করা।

সাধারণীকরণ এবং অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির লিঙ্ক

R³ এর তুলনায় অন্য ম্যানিফোল্ডগুলিতে ন্যুনতম পৃষ্ঠতলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন হাইপারবোলিক স্পেস, হাই-ডাইমেনশনাল স্পেস বা রিমেম্যানিয়ান মানিফল্ডস।

ন্যূনতম পৃষ্ঠের সংজ্ঞাটিকে সাধারণকরণ/বর্ধিত করা যেতে পারে ধ্রুবক-গড়-ঘনত্বের উপর: পৃষ্ঠতল একটি ধ্রুবক গড় বক্রতার সঙ্গে, যা শূন্যের সমান প্রয়োজন নেই।

বিচ্ছিন্ন অবকলন জ্যামিতির মধ্যে অসংগত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের অধ্যয়ন করা হয়: ত্রিভুজগুলির সরলীকৃত কমপ্লেক্স যা তাদের আয়তক্ষেত্রের অবস্থানগুলির সামান্য পরিবর্তনগুলির নিচে, তাদের এলাকাকে ছোট করে। এই ধারাবাহিকতা প্রায়ই সংখ্যাগতভাবে আনুমানিক ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের জন্য ব্যবহৃত হয়, এমনকি কোনো জানা বদ্ধ সমীকরণ।

ব্রাউনিয়ান গতি নুন্যতম পৃষ্ঠে কমপ্লেক্সের বিভিন্ন উপাদানের সম্ভাব্য প্রমাণের দিকে পরিচালিত করে।

ন্যুনতম পৃষ্ঠতল তীব্র বৈজ্ঞানিক অধ্যয়নের একটি ক্ষেত্র হয়ে গেছে, বিশেষ করে আণবিক ইঞ্জিনিয়ারিং এবং উপকরণ বিজ্ঞান এলাকায়, জটিল সামগ্রীগুলির স্ব-সমাবেশে তাদের প্রত্যাশিত আবেদনের কারণে।

সাধারণ আপেক্ষিকতায় নুন্যতম পৃষ্ঠ একটি ভূমিকা পালন করে। আপাত দিগন্ত (প্রান্তিকভাবে বহিরাগত ফাঁকা পৃষ্ঠ) একটি সংক্ষিপ্ত হাইফার সারফেস, ব্ল্যাক হোলের তত্ত্বকে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের এবং প্লেটোর সমস্যার সাথে যুক্ত করা।

নুন্যতম পৃষ্ঠগুলি আধুনিক নকশাগণ দ্বারা ব্যবহৃত জেনেরটিভ ডিজাইন টুলবক্স এর অংশ। আর্কিটেকচারে অনেক আগ্রহ আছে টনসিল কাঠামোর মধ্যে, যেগুলি নুন্যতম পৃষ্ঠের সাথে গভীরভাবে সম্পর্কযুক্ত। একটি বিখ্যাত উদাহরণ হল ফ্রেই অট্ট এর অলিম্পিয়াপার্ক ইন মুনিচ, সাবান সারফেস দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে।

শিল্প বিশ্বের মধ্যে, রবার্ট ইংমন (১৯২৭-), রবার্ট লংহুরস্ট (১৯৪৯-), এবং চার্লস ও পেরি (১৯২৯-২০১১) এর ভাস্কর্যের মধ্যে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ব্যাপকভাবে অনুসন্ধান করা হয়েছে।

আরও দেখুন

• বার্নস্টাইন এর সমস্যা
• বিলিনিয়ারের প্রবর্তন
• ব্রায়ান্ট পৃষ্ঠ
• বক্রতা
• এননেপের বেইএরস্ত্রাস প‍্যারামিটারাইজেশন
• হারমনিক মানচিত্র
• হারমোনিক মরফিসম
• প্লেটোর সমস্যা
• সচবর্জ ন্যূনতম পৃষ্ঠ
• সাবানের বুদবুদ
• সারফেস ইভলভার
• প্রসারিত গ্রিড পদ্ধতি
• প্রসার্য কাঠামো
• ততোধিক পর্যায়ক্রমিক সংক্ষিপ্ত পৃষ্ঠ
• ওয়েইয়ার-ফেলেন কাঠামো

আরও পড়ুন

• Osserman, Robert (১৯৮৬)। A Survey of Minimal Surfaces (Second সংস্করণ)। New York: Dover Publications, Inc.। আইএসবিএন 0-486-64998-9। এমআর 0852409।  (Introductory text for surfaces in n-dimensions, including n=3; requires strong calculus abilities but no knowledge of differential geometry.)
• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (১৯৯৫)। "Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces"। সংগ্রহের তারিখ ডিসেম্বর ২৭, ২০০৬।  (graphical introduction to minimal surfaces and soap films.)
• Various (2000–)। "EG-Models"। সংগ্রহের তারিখ September 28, 2004।  (Online journal with several published models of minimal surfaces)
• Stewart Dickson (১৯৯৬)। "Scientific Concretization; Relevance to the Visually Impaired Student"। VR in the School, Volume 1, Number 4। সংগ্রহের তারিখ এপ্রিল ১৫, ২০০৬।  (Describes the discovery of Costa's surface)
• Martin Steffens and Christian Teitzel। "Grape Minimal Surface Library"। সংগ্রহের তারিখ অক্টোবর ২৭, ২০০৮।  (A collection of minimal surfaces)
• David Hoffman, Jim Hoffman; ও অন্যান্য। "Scientific Graphics Project"। জুলাই ৩, ২০০৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ এপ্রিল ২৪, ২০০৬।  (An collection of minimal surfaces with classical and modern examples)
• Jacek Klinowski। "Periodic Minimal Surfaces Gallery"। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ২, ২০০৯।  (An collection of minimal surfaces with classical and modern examples)
• Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich (২০১০)। Minimal Surfaces। Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften। 339। With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob (Second সংস্করণ)। Heidelberg: Springer। আইএসবিএন 978-3-642-11697-1। এমআর 2566897। ডিওআই:10.1007/978-3-642-11698-8।  (Review of minimal surface theory, in particularly boundary value problems. Contains extensive references to the literature.)

বহিঃসংযোগ

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Minimal surface", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• 3D-XplorMath-J Homepage — Java program and applets for interactive mathematical visualisation ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৩ নভেম্বর ২০০৭ তারিখে
• Gallery of rotatable minimal surfaces
• WebGL-based Gallery of rotatable/zoomable minimal surfaces