তাপগতিবিদ্যাগত বিটা

তাপমাত্রা/শীতলতার রূপান্তর স্কেল এসআই: কেলভিন স্কেলে তাপমাত্রা নীল রঙে দেখানো হয়েছে (সেলসিয়াস স্কেল সবুজ এবং ফারেনহাইট স্কেল লাল রঙে), গিগাবাইট প্রতি ন্যানোজুলে শীতলতার মান কালো রঙে দেখানো হয়েছে। অসীম তাপমাত্রা (শূন্য শীতলতা) ডায়াগ্রামের শীর্ষে দেখানো হয়েছে; ধনাত্মক শীতলতা/তাপমাত্রা ডানদিকে এবং ঋণাত্মক মান বামদিকে দেখানো হয়েছে।

পরিসংখ্যানিক তাপগতিবিদ্যায়, তাপগতীয় বিটা, যা শীতলতা নামেও পরিচিত, হলো কোনো সিস্টেমের তাপগতীয় তাপমাত্রার ব্যস্তানুপাতিক একটি রাশি:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (যেখানে T হলো তাপমাত্রা এবং k_B হলো বোলৎসমান ধ্রুবক)।

তাপগতীয় বিটার মাত্রা হলো শক্তির বিপরীত (এসআই এককে, এটি জুলের বিপরীত, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$)। অ-তাপীয় এককে এটিকে বাইট প্রতি জুল অথবা আরও সুবিধাজনকভাবে, গিগাবাইট প্রতি ন্যানোজুলে পরিমাপ করা যায়; ১ K⁻¹ প্রায় ১৩,০৬২ গিগাবাইট প্রতি ন্যানোজুলের সমান; কক্ষ তাপমাত্রায়: T = ৩০০ K, β ≈ ৪৪ জিবি/এনজে ≈ ৩৯ ইভি^−১ ≈ ২.৪ ⋅ ১০^২০ জুল^−১। রূপান্তর গুণক: ১ জিবি/এনজে = $8\ln 2\times 10^{18}$ জুল^−১।

বর্ণনা

তাপগতীয় বিটা, প্রকৃতপক্ষে, কোনো ভৌত ব্যবস্থার এনট্রপি এবং শক্তির মাধ্যমে ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে তথ্য তত্ত্ব ও পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞানের সঙ্গে তাপগতিবিদ্যার সংযোগ স্থাপন করে। এটি শক্তি বৃদ্ধির প্রতি এনট্রপির প্রতিক্রিয়া প্রকাশ করে। যদি কোনো সিস্টেমে অল্প পরিমাণে শক্তি যোগ করা হয়, তবে β সিস্টেমটির বিশৃঙ্খল হওয়ার মাত্রা বর্ণনা করে।

এনট্রপির ফাংশন হিসাবে তাপমাত্রার পরিসংখ্যানিক সংজ্ঞা থেকে, মাইক্রোক্যাননিকাল এনসেম্বলে শীতলতা ফাংশনটি এই সূত্র দ্বারা গণনা করা যায়:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(অর্থাৎ, ধ্রুব আয়তন V এবং কণা সংখ্যা N-এ শক্তি E-এর সাপেক্ষে এনট্রপি S-এর আংশিক অন্তরকলন)।

সুবিধা

ধারণাগতভাবে β তাপমাত্রার সম্পূর্ণ সমতুল্য হলেও, এটিকে সাধারণত তাপমাত্রা অপেক্ষা একটি অধিক মৌলিক রাশি হিসাবে বিবেচনা করা হয়, বিশেষত ঋণাত্মক তাপমাত্রার ঘটনার কারণে, যেখানে শূন্য অতিক্রম করার সময় β অবিচ্ছিন্ন থাকে, কিন্তু T-এর একটি সিঙ্গুলারিটি থাকে।

এছাড়াও, β-এর একটি সুবিধা হলো এর কার্যকারণ সম্পর্ক বোঝা সহজ: যদি একটি সিস্টেমে অল্প পরিমাণে তাপ যোগ করা হয়, তবে β হলো তাপ বৃদ্ধির দ্বারা বিভক্ত এনট্রপি বৃদ্ধি। একই অর্থে তাপমাত্রাকে ব্যাখ্যা করা কঠিন, কারণ তাপমাত্রা, আয়তন বা কণার সংখ্যার মতো অন্যান্য রাশি পরিবর্তন করার মাধ্যমে পরোক্ষভাবে ছাড়া কোনো সিস্টেমে "এনট্রপি যোগ" করা সম্ভব নয়।

পরিসংখ্যানিক ব্যাখ্যা

পরিসংখ্যানের দৃষ্টিকোণ থেকে, β হলো একটি সংখ্যাগত রাশি যা ভারসাম্যে থাকা দুটি ম্যাক্রোস্কোপিক সিস্টেমকে সংযুক্ত করে। এর সুনির্দিষ্ট সূত্রটি নিম্নরূপ। দুটি সিস্টেম, ১ এবং ২, বিবেচনা করা যাক, যারা তাপীয় সংস্পর্শে আছে এবং তাদের শক্তি যথাক্রমে E₁ এবং E₂। ধরা যাক, E₁ + E₂ = একটি ধ্রুবক E। প্রতিটি সিস্টেমের মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা যথাক্রমে Ω₁ এবং Ω₂ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো। আমাদের অনুমান অনুযায়ী, Ω_i শুধুমাত্র E_i-এর উপর নির্ভর করে। আমরা আরও ধরে নিচ্ছি যে সিস্টেম ১-এর E₁ শক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোনো মাইক্রোস্টেট সিস্টেম ২-এর E₂ শক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোনো মাইক্রোস্টেটের সাথে সহাবস্থান করতে পারে। সুতরাং, সম্মিলিত সিস্টেমের জন্য মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা হলো

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,$

আমরা পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞানের মৌলিক স্বীকার্য থেকে β নির্ণয় করব:

যখন সম্মিলিত সিস্টেমটি ভারসাম্যে পৌঁছায়, তখন Ω-এর মান সর্বোচ্চ হয়।

(অন্য কথায়, সিস্টেম স্বাভাবিকভাবেই সর্বাধিক সংখ্যক মাইক্রোস্টেটের দিকে ধাবিত হয়।) সুতরাং, ভারসাম্যে:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

কিন্তু E₁ + E₂ = E বোঝায় যে

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

সুতরাং

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

অর্থাৎ

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{ভারসাম্যে।}}$

উপরোক্ত সম্পর্কটি β-এর সংজ্ঞাকে অনুপ্রাণিত করে:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

পরিসংখ্যানিক ও তাপগতীয় ব্যাখ্যার মধ্যে সংযোগ

যখন দুটি সিস্টেম ভারসাম্যে থাকে, তখন তাদের তাপগতীয় তাপমাত্রা T সমান হয়। তাই, স্বজ্ঞা থেকে আশা করা যায় যে β (যা মাইক্রোস্টেটের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত) কোনোভাবে T-এর সাথে সম্পর্কিত। এই সম্পর্কটি বোলৎসমানের মৌলিক স্বীকার্য দ্বারা প্রদান করা হয়, যা এভাবে লেখা হয়

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

যেখানে k_B হলো বোলৎসমান ধ্রুবক, S হলো চিরায়ত তাপগতীয় এনট্রপি, এবং Ω হলো মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা। সুতরাং,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

উপরের পরিসংখ্যানিক সংজ্ঞা থেকে β-এর সংজ্ঞায় এটি প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

তাপগতীয় সূত্রের সাথে তুলনা করে

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

আমরা পাই

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

যেখানে $\tau$-কে সিস্টেমের মৌলিক তাপমাত্রা বলা হয় এবং এর মাত্রা হলো শক্তির।

ইতিহাস

তাপগতীয় বিটা প্রথম ১৯৭১ সালে (Kältefunktion বা "শীতলতা ফাংশন" হিসাবে) যুক্তিসঙ্গত তাপগতিবিদ্যা চিন্তাধারার অন্যতম প্রবক্তা ইঙ্গো ম্যুলার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যা "ব্যস্তানুপাতিক তাপমাত্রা" ফাংশন সম্পর্কে পূর্ববর্তী প্রস্তাবগুলোর উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল।

আরও দেখুন

• বোলৎসমান বণ্টন
• ক্যাননিকাল এনসেম্বল
• আইজিং মডেল