টরাস (জ্যামিতি)

একটি রিং টরাস যার পৃষ্ঠে কয়েকটি বৃত্ত রয়েছে

ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে দূরত্ব কমার সাথে সাথে, রিং টরাসটি একটি শিং টরাসে পরিণত হয়, তারপর একটি স্পিন্ডল টরাসে পরিণত হয় এবং অবশেষে একটি দ্বি-আচ্ছাদিত গোলকে পরিণত হয় ।

জ্যামিতিতে, একটি টরাস ( pl. : টরি বা টরাস ) হল ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি বৃত্তকে ঘূর্ণায়মান করে এমন একটি ঘূর্ণনের পৃষ্ঠ যা বৃত্তের সাথে সমতল একটি অক্ষের চারপাশে একটি পূর্ণ ঘূর্ণন ঘটায়। প্রধান ধরণের টরাসের মধ্যে রয়েছে রিং টরাস, হর্ন টরাস এবং স্পিন্ডল টরাস। একটি রিং টরাসকে কখনও কখনও কথ্য ভাষায় ডোনাট-ও বলা হয়।

ব্যুৎপত্তি (Etymology)

টরাস একটি ল্যাটিন শব্দ যার অর্থ গোলাকার, ফোলা, উচ্চতা, প্রসারিত কিছু।

জ্যামিতি

৩-স্থানে (3-space) ঘূর্ণনের একটি টরাসকে নিম্নলিখিতভাবে প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে: $${\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\cos \theta \\\end{aligned}}$$ কৌণিক স্থানাঙ্ক θ, φ ∈ [0, 2π) ব্যবহার করে, যা যথাক্রমে নলের চারপাশে ঘূর্ণন এবং টরাসের আবর্তনের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনকে প্রতিনিধিত্ব করে, যেখানে প্রধান ব্যাসার্ধ R হল নলের কেন্দ্র থেকে টরাসের কেন্দ্রের দূরত্ব এবং গৌণ ব্যাসার্ধ r হল নলের ব্যাসার্ধ।

পোলয়েডাল দিক (লাল তীর) এবং টরয়েডাল দিক (নীল তীর)

টরাসের পৃষ্ঠের বাইরেরতম বিন্দুর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব p এবং কেন্দ্র থেকে অন্তঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব q দ্বারা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন প্রকাশ করলে (যাতে R = +p + q/২ এবং r = +p - q/২ ),

${\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}$

টপোলজি

একটি ছিদ্রযুক্ত টরাসকে ভেতর থেকে বাইরে ঘুরিয়ে দেওয়া

n- মাত্রিক টরাস

xz- সমতলের মধ্য দিয়ে একটি সহজ ঘূর্ণন সম্পাদনকারী চার মাত্রার ক্লিফোর্ড টরাসের একটি স্টেরিওগ্রাফিক প্রক্ষেপণ

বিন্যাস স্থান

বৃত্তের উপর 2টি অগত্যা স্বতন্ত্র বিন্দুর কনফিগারেশন স্থান হল 2-টরাস, T² / S₂ এর অরবিফোল্ড ভাগফল, যা Möbius স্ট্রিপ ।

টোনেটজ সঙ্গীত তত্ত্বের একটি টরাসের উদাহরণ।



টনেটজ কেবলমাত্র তখনই সত্যিকার অর্থে একটি টরাস হবে যদি বর্ধিত সমতা ধরে নেওয়া হয়, যাতে পুনরাবৃত্ত সমান্তরালগ্রামের ডান প্রান্তের (F♯-A♯) অংশটি বাম প্রান্তের (G♭-B♭) অংশের সাথে চিহ্নিত করা যায়।

ফ্ল্যাট টরাস

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে, কেউ একটি আয়তক্ষেত্রকে টরাসে বাঁকাতে পারে, কিন্তু এটি করার ফলে পৃষ্ঠ বরাবর পরিমাপ করা দূরত্বগুলি অবশ্যই প্রভাবিত হয়, যেমনটি চেকার্ড প্যাটার্নের বিকৃতি দ্বারা দেখা যায়।

স্টেরিওগ্রাফিক প্রক্ষেপণে দেখা যায়, একটি 4D সমতল টরাসকে 3-মাত্রায় প্রক্ষিপ্ত করা যায় এবং একটি স্থির অক্ষের উপর ঘোরানো যায়।

একটি সমতল টরাসের সবচেয়ে সহজ টাইলিং হল {4,4} <sub id="mwAbw">1,0</sub>, যা একটি ডুওসিলিন্ডারের পৃষ্ঠের উপর নির্মিত যার 1টি শীর্ষবিন্দু, 2টি অর্ধগোনাল প্রান্ত এবং একটি বর্গাকার মুখ রয়েছে। এখানে এটিকে স্টেরিওগ্রাফিকভাবে 3-স্পেসে টরাস হিসাবে প্রক্ষেপিত দেখা যাচ্ছে।

$C^{1}$ R³ তে একটি সমতল টরাসের আইসোমেট্রিক এমবেডিং, ঢেউতোলা সহ

Bottom-halves and
vertical cross-sections

R > r: ring torus or anchor ring

R=r: horn torus

R < r: self-intersecting spindle torus

দ্বিতীয় শ্রেণি

তৃতীয় শ্রেণি

An apple and a lemon derived from a spindle torus with proportions of a vesica piscis

6 × 4 = 24 চতুর্ভুজাকার মুখবিশিষ্ট একটি টরয়েডাল পলিহেড্রন

টরাস রঙ করা

এই নির্মাণে টরাসকে সাতটি অঞ্চলে বিভক্ত দেখানো হয়েছে, যার প্রতিটি অঞ্চল একে অপরকে স্পর্শ করে, যার অর্থ প্রতিটি অঞ্চলে একটি অনন্য রঙ বরাদ্দ করা আবশ্যক।

ডি ব্রুইজন টরাস (16,32;3,3)₂ এর STL মডেল, যেখানে প্যানেল হিসেবে 1s এবং জালে 0s ছিদ্র রয়েছে – সামঞ্জস্যপূর্ণ অভিযোজন সহ, প্রতিটি 3×3 ম্যাট্রিক্স ঠিক একবার প্রদর্শিত হয়

আরো দেখুন

• 3-torus
• Algebraic torus
• Angenent torus
• Annulus (geometry)
• Clifford torus
• Complex torus
• Dupin cyclide
• Elliptic curve
• Irrational winding of a torus
• Joint European Torus
• Klein bottle
• Loewner's torus inequality
• Maximal torus
• Period lattice
• Real projective plane
• Sphere
• Spiric section
• Surface (topology)
• Toric lens
• Toric section
• Toric variety
• Toroid
• Toroidal and poloidal
• Torus-based cryptography
• Torus knot
• Umbilic torus
• Villarceau circles

মন্তব্য

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra lineal, , লেখক: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, সম্পাদকীয়: McGraw-Hill, Edition 2007, 744 পাতা, ভাষা: স্প্যানিশ
• অ্যালেন হ্যাচার। বীজগণিতীয় টপোলজি । কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ২০০২। আইএসবিএন ০-৫২১-৭৯৫৪০-০ ।
• ভিভি নিকুলিন, আইআর শাফারেভিচ। জ্যামিতি এবং গোষ্ঠী । স্প্রিংগার, ১৯৮৭। আইএসবিএন ৩-৫৪০-১৫২৮১-৪, ।
• Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables- এ "টোরে (ধারণা জিওমেট্রিক)"

বহিঃসংযোগ

• কাট-দ্য-নট- এ একটি টরাসের সৃষ্টি
• "4D টরাস" একটি চার-মাত্রিক টরাসের ফ্লাই-থ্রু ক্রস-সেকশন
• "সম্পর্কিত দৃষ্টিকোণ মানচিত্র" ফ্ল্যাট টরাস দিয়ে উচ্চ মাত্রিক ডেটা ভিজ্যুয়ালাইজ করা
• পলিডো, ডোনাট আকৃতির বহুভুজ ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১০ মার্চ ২০১২ তারিখে
• Ghostarchive এবং দ্য ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভ করা হয়েছে: "একটি টুইস্টেড টরাসের টপোলজি - নাম্বারফাইল" (ভিডিও) । ব্র্যাডি হারান ।