জ্যামিতিক বীজগণিত

জ্যামিতিক বীজগণিত

ক্লিফোর্ড বীজগণিত কে কখনো কখনো জ্যামিতিক বীজগণিত নামে অভিহিত করা হয়। এই নামটি বিশেষত বীজগণিতটির একটি জনপ্রিয় ব্যাখ্যাকে নির্দেশ করে।

এই গণিতটি উচ্চতর গণিতের অনেক গুরুত্বপূর্ণ শাখাকে নবীশ শিক্ষার্থীর কাছে সহজবোধ্যভাবে উপস্থাপন করে। এর মাধ্যমে পদার্থবিজ্ঞানের, বিশেষত আপেক্ষিকতা তত্ত্ব নির্ভর চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলো গাণিতিক জটিলতা এড়িয়ে সহজে সমাধান করা যায়।

বর্তমানে কম্পিউটার ভিশন এবং রোবোটিক্স এর কিছু গবেষক এর কম্পিউটেশনের দক্ষতার কারণে একে ব্যবহার করছেন।

জ্যামিতিক গুণন

জ্যামিতিক বীজগণিতে যে কোন ভেক্টর স্থানে দুইটি ভেক্টরকে গুণ করা যায়। গুণনের ফলাফলকে বলা হয় বহুভেক্টর, যেহেতু এই গুণনের ফলাফল ভেক্টর বা সংখ্যা নয়। এই গুনণের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য এবং সুবিধাজনক ধর্ম হলো অ্যাসোসিয়েটিভিটি। জ্যামিতিক বীজগণিত হলো কোন ভেক্টর স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি বীজগণিত যেখানে গুণনের সংজ্ঞা হলো:

• বীজগণিতটির যে কোন দুইটি সদস্যের গুণফল বীজগণিতটির আরেকটি সদস্য
• গুণনটি যোগের উপর বিতরণযোগ্য, $A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$
• অ্যাসোসিয়েটিভিটি, $(AB)C=A(BC)$
• একটি একক আছে যেন $1A=A$ হয়
• টেন্সর সংক্ষেপণ, যে কোন ভেক্টর $\mathbf {a}$ এর জন্য $\mathbf {a} ^{2}$

একটি (বাস্তব) সংখ্যা, এই নিয়মটি ভেক্টরদের বহুভেক্টর থেকে আলাদা করে

• কোন সংখ্যা $m$ এর জন্য $mA=Am$, যেখানে $A$ যে কোন বহুভেক্টর, অর্থাৎ বীজগণিতটির যে কোন সদস্য

ব্যাখ্যা

যদি $\mathbf {a}$ এবং $\mathbf {b}$ দুইটি ভেক্টর হয় তবে:

• $\mathbf {a} ^{2}$ (বা $\mathbf {b} ^{2}$) একটি বাস্তব সংখ্যা, যাকে বলা হয়

$\mathbf {a}$ এর মানের বর্গ। কিন্তু জ্যামিতিক বীজগণিতে এই সংখ্যাটি ঋণাত্মকও হতে পারে।

• যেহেতু

 $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )(\mathbf {a} +\mathbf {b} )$
 $=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {b}$
 $=\mathbf {a} ^{2}+\mathbf {b} \mathbf {a} +\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} ^{2}$

দেখা যাচ্ছে $\mathbf {b} \mathbf {a} +\mathbf {a} \mathbf {b}$ একটি বাস্তব সংখ্যা (কারণ এইটুকু ছাড়া সমীকরণের আর সব পদ বাস্তব সংখ্যা)। এই পদটিকে বলা হয় দুইটি ভেক্টরের অন্তর্নিহিত গুণন, $\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =(\mathbf {b} \mathbf {a} +\mathbf {a} \mathbf {b} )/2$ ভেক্টর জ্যামিতির ডট গুণ তাই এই গণিতে স্বাভাবিকভাবে প্রবেশ করে।