চিত্র:Quantum ideal gas pressure 3d.svg
পূর্ণ রেজোলিউশন (এসভিজি ফাইল, সাধারণত ২৭০ × ২০৭ পিক্সেল, ফাইলের আকার: ১৯ কিলোবাইট)
এই ফাইলটি উইকিমিডিয়া কমন্স থেকে নেওয়া। সেখানের বর্ণনা পাতার বিস্তারিত নিম্নে দেখানো হলো। (সম্পাদনা)
|
সারাংশ
বিবরণQuantum ideal gas pressure 3d.svg |
English: Pressure of classical ideal gas and quantum ideal gases (Fermi gas, Bose gas) as a function of temperature, for a fixed density of particles. This is for the case of non-relativistic (massive, slow) particles in three dimensions.
Русский: Давление классического и квантовых газов (Ферми и Бозе) в зависимости от температуры.
A few features can be seen:
The figure has been scaled in a way that the particle degeneracy factor, density, mass, etc. are all factored out and irrelevant. See also Quantum ideal gas entropy 3d.svg and Quantum ideal gas chemical potential 3d.svg. |
তারিখ | |
উৎস | নিজের কাজ |
লেখক | Nanite |
অন্যান্য সংস্করণ |
|
SVG genesis InfoField | এই ভেক্টর চিত্রটি Matplotlib দিয়ে তৈরি করা হয়েছে। |
উৎস কোড InfoField | Python code#!/usr/bin/env python3
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import mpmath
import sys
def fixpoly(s,x):
# The mpmath polylog sometimes returns a tiny spurious imaginary part, and
# it throws exceptions for weird cases. Clean this up.
try:
return np.real(mpmath.fp.polylog(s,x))
except (OverflowError, ValueError):
return np.nan
polylog = np.vectorize(fixpoly, otypes=[float])
# assumed density of states G(E) = V * g_0 * (E - E_0) ^ (alpha - 1) / Gamma(alpha)
# as appropriate for 3D, nonrelativistic, massive particles.
# The prefactor g_0 includes things like spin degeneracy, mass, planck constant, factors of pi, etc.
# V is volume of the system (where applicable - for particles in harmonic well,
# just make sure V*g_0 is the right value).
# We will only plot things that are independent of V and g_0, and we assume E_0 = 0.
# The key parameter in this density of states is alpha.
# for massive particle in a box, alpha = dimensionality/2
# for particle in a harmonic well, alpha = dimensionality
# for hyperrelativistic particles in a box, alpha = dimensionality
if len(sys.argv) > 1:
# allow massive-particle-in-box dimensionality to be provided as command line arg
alpha = float(sys.argv[1]) / 2
else:
# default to 3D massive case:
alpha = 1.5
# Both Fermi gas and Bose gas are easily calculated in grand canonical ensemble.
# Fermi gas has grand potential given by:
# Omega = - V * g_0 * (kT)^(alpha + 1) * fdint(alpha, mu/kT)
# where fdint(s, t) is the complete fermi-dirac integral,
# fdint(s, t) = -polylog(s + 1, -exp(t))
# Bose gas has grand potential:
# Omega = - V * g_0 * (kT)^(alpha + 1) * beint(alpha, mu/kT)
# (only valid for mu <= 0) where beint(s, t) is
# beint(s, t) = +polylog(s + 1, +exp(t))
# The classical ideal gas is in-between these, with:
# Omega = - V * g_0 * (kT)^(alpha + 1) * exp(mu/kT)
# Quantities:
# Pressure P = -d(Omega)/d(V) = -Omega/V
# Particle number N = -d(Omega)/d(mu)
# Entropy S = -d(Omega)/d(T)
# Note that:
# d/dt polylog(s, exp(t)) = polylog(s-1, exp(t))
#
# So these derivatives are easy to compute, e.g., for Fermi:
# N = -V * g_0 * (kT)^(alpha) * fdint(alpha - 1 , mu/kT)
# S = k * N * ( (alpha + 1) * fdint(alpha, mu/kT) / fdint(alpha-1, mu/kT) - mu/kT )
# ( .. likewise substituting beint or exp for the bose/classical cases .. )
#
# Unfortunately, there is no analytic formula for mu in terms of N, only the other way.
# This is unfortunate since we want to plot temperature-dependence of a system
# with fixed N and fixed V.
# However we can see that both P and N are functions of kT and mu/kT. So, we can
# sweep the value of mu/kT, and then at each point, choose T such that N has the
# desired value.
# To nondimensionalize, we will use a characteristic temperature scale T' based on
# the fixed number N', using the classical case for mu=0:
# g_0 (kT')^(alpha) = N'/V
# Roughly speaking, this is the temperature at which the thermal de broglie
# wavelength is comparable to the distance between identical particles.
# Likewise, a characteristic pressure to match this temperature and density:
# P' = N' k T' / V
# = g_0 (kT')^(alpha + 1)
# With T' and P' in hand, we can rescale all our formulas to be independent of
# g_0, N', and volume, and also do our mu-scanning trick.
# e.g., in the fermi case we get:
# (T/T')^(alpha) = 1/fdint(alpha - 1, mu/kT)
# P/P' = (T/T')^(alpha + 1) * fdint(alpha, mu/kT)
# Variables used below:
# z = exp(mu/kT)
# T refers to T/T', where T' defined above.
# P refers to P/P', where P' defined above.
# S refers to S/(N.k)
# mu refers to mu/(kT')
# Pressure vs temperature graph
fig1 = plt.figure()
fig1.set_size_inches(3,2.3)
ax1 = plt.axes((0.09, 0.17, 0.90, 0.82))
# Entropy vs temperature graph
fig2 = plt.figure()
fig2.set_size_inches(3,2.3)
ax2 = plt.axes((0.18, 0.17, 0.81, 0.82))
# Chemical potential vs temperature graph
fig3 = plt.figure()
fig3.set_size_inches(3,2.3)
ax3 = plt.axes((0.15, 0.17, 0.84, 0.82))
# Fermi gas
color_fermi = '#1f77b4'
T_fermi = mpmath.fp.gamma(alpha+1) ** (1./alpha)
P_fermi = T_fermi / (alpha+1)
# sweep z; make the last point to be basically T=0
z = np.exp(np.linspace(-2, 20, 201))
z[-1] = 1e100
T = (-polylog(alpha, -z)) ** (-1./alpha)
P = (T)**(alpha + 1) * -polylog(alpha + 1, -z)
S = (alpha+1) * polylog(alpha + 1, -z)/polylog(alpha, -z) - np.log(z)
mu = np.log(z) * T
# extend traces to exactly T=0
T = np.concatenate((T, [0.]))
P = np.concatenate((P, [P_fermi]))
S = np.concatenate((S, [0.]))
mu = np.concatenate((mu, [T_fermi]))
ax1.plot(T,P, label="Fermi", color=color_fermi)
ax2.plot(T,S, label="Fermi", color=color_fermi)
ax3.plot(T,mu, label="Fermi", color=color_fermi)
# Indicate fermi temperature
P_at_T_fermi = np.interp(T_fermi, T[::-1], P[::-1])
S_at_T_fermi = np.interp(T_fermi, T[::-1], S[::-1])
mu_at_T_fermi = np.interp(T_fermi, T[::-1], mu[::-1])
ax1.plot([T_fermi, T_fermi], [P_at_T_fermi, -100 ], color=color_fermi, lw=1, ls=(0, (1,5)))
ax2.plot([T_fermi, T_fermi], [S_at_T_fermi, -100 ], color=color_fermi, lw=1, ls=(0, (1,5)))
ax3.plot([T_fermi, T_fermi], [mu_at_T_fermi, -100 ], color=color_fermi, lw=1, ls=(0, (1,5)))
# Ideal gas -- this is just a straight line T=P but for consistency, calculate
# it similarly to the bose and fermi cases.
color_classical = '#ff7f0e'
z = np.exp(np.linspace(-2, 20, 200))
T = (z) ** (-1./alpha)
P = (T)**(alpha + 1) * z
S = (alpha+1) - np.log(z)
mu = np.log(z) * T
# extend traces to exactly T=0
T = np.concatenate((T, [0.]))
P = np.concatenate((P, [0.]))
S = np.concatenate((S, [-np.inf]))
mu = np.concatenate((mu, [0.]))
ax1.plot(T,P, label="classical", color=color_classical)
ax2.plot(T,S, label="classical", color=color_classical)
ax3.plot(T,mu, label="classical", color=color_classical)
# Bose gas
color_bose = '#2ca02c'
# Approach mu=0 from below, making sure to include the last floating point
# number smaller than 1.
z = np.concatenate((np.linspace(0.01, 0.99, 99), [0.999, 0.9999, 1 - 1e-16]))
#z = 1 - np.exp(np.linspace(-0.1, -34, 200))
#z = np.exp(np.linspace(-2, -1e-15, 100))
T = (polylog(alpha, z)) ** (-1./alpha)
P = (T)**(alpha + 1) * polylog(alpha + 1, z)
S = (alpha+1) * polylog(alpha + 1, z)/polylog(alpha, z) - np.log(z)
mu = np.log(z) * T
if alpha > 1:
# In >2 dimensions, the bose gas starts condensing at nonzero temperature,
# right at the point when mu=0.
Tcrit = (polylog(alpha, 1)) ** (-1./alpha)
Pcrit = (Tcrit)**(alpha + 1) * polylog(alpha + 1, 1)
Scrit = (alpha+1) * polylog(alpha + 1, 1)/polylog(alpha, 1)
# What about T < Tcrit?
# Basically now mu is pinned to 0. It cannot go any higher because that would
# mean infinite particles in every state with energy below mu.
# Instead as temperature lowers, mu stays at 0 and the particle number in the
# continuum of states with energy above mu will drop accordingly.
# The continuum is called the 'noncondensed phase'; the particles that
# have disappeared have all necessarily gone into some lowest-energy state
# that is infinitesimally above mu, the 'condensed phase'.
# So, let's set mu=0, and drop our constraint on N, and calculate the pressure
# from the continuum phase just as before. (the condensed phase contributes
# no pressure, in macroscopic ideal gas).
T2 = np.linspace(Tcrit, 0, 101)
P2 = T2 ** (alpha + 1) * polylog(alpha + 1, 1)
# In the case of entropy "S/Nk", we have to be careful since now the total N' is
# distinct from our continuum N (excited).
S2 = T2 ** alpha * (alpha+1) * polylog(alpha + 1, 1)
mu2 = 0*T2
# concatenate to existing traces
T = np.concatenate((T, T2))
P = np.concatenate((P, P2))
S = np.concatenate((S, S2))
mu = np.concatenate((mu, mu2))
# Mark the critical temperature with a *
ax1.plot([Tcrit],[P2[0]], '*', color='k', ms=12, mew=0, alpha=0.6, zorder=2.5)
ax2.plot([Tcrit],[S2[0]], '*', color='k', ms=12, mew=0, alpha=0.6, zorder=2.5)
ax3.plot([Tcrit],[0], '*', color='k', ms=12, mew=0, alpha=0.6, zorder=2.5)
ax1.plot([Tcrit, Tcrit], [P2[0], -100 ], color=color_bose, lw=1, ls=(0, (4,2)))
ax2.plot([Tcrit, Tcrit], [S2[0], -100 ], color=color_bose, lw=1, ls=(0, (4,2)))
ax3.plot([Tcrit, Tcrit], [0, -100 ], color=color_bose, lw=1, ls=(0, (4,2)))
else:
# extend traces to 0
T = np.concatenate((T, [0.]))
P = np.concatenate((P, [0.]))
S = np.concatenate((S, [0.]))
mu = np.concatenate((mu, [0.]))
ax1.plot(T,P, label="Bose", color=color_bose)
ax2.plot(T,S, label="Bose", color=color_bose)
ax3.plot(T,mu, label="Bose", color=color_bose)
# format temperature axis nicely
for ax in [ax1, ax2, ax3]:
ax.set_xlim(0,1.8)
ax.set_xlabel('temperature', labelpad=0)
tl = []
tl.append((0, "0", 'k'))
if alpha > 1:
tl.append((Tcrit, r"$T_{\rm B}$", color_bose))
tl.append((T_fermi, r"$T_{\rm F}$", color_fermi))
ticks, labels, colors = zip(*tl)
ax.set_xticks(ticks)
ax.set_xticklabels(labels)
for label,color in zip(ax.xaxis.get_ticklabels(), colors):
label.set_color(color)
ax1.set_ylim(0,1.8)
ax1.set_yticks([0])
ax1.set_ylabel('pressure', labelpad=-5)
ax1.legend(loc='lower right')
fig1.savefig('quantum ideal gas pressure %gd.svg'%(alpha*2,))
yrange = 0.2 + 1 + (1 + np.log(1.8))*alpha # range to fit the right side
ax2.set_ylim(-0.4*yrange, +yrange)
ax2.set_ylabel('entropy per particle $S/Nk$')
ax2.legend(loc='lower right')
fig2.savefig('quantum ideal gas entropy %gd.svg'%(alpha*2,))
yrange = 1.5 + 0.7*alpha
ax3.set_ylim(-yrange, +0.6*yrange)
ax3.set_yticks([0])
ax3.set_yticklabels([r'$\varepsilon_0$'])
ax3.set_ylabel('chemical potential $\\mu$')
ax3.legend(loc='lower left')
fig3.savefig('quantum ideal gas chemical potential %gd.svg'%(alpha*2,))
|
লাইসেন্স প্রদান
এই ফাইলটি ক্রিয়েটিভ কমন্স সিসি০ ১.০ সার্বজনীন পাবলিক ডোমেইন উৎসর্গীকরণের আওতায় রয়েছে। | |
যেই ব্যক্তিটি এই কাজটির সাথে সংশ্লিষ্ট তিনি এই কাজটি পাবলিক ডোমেইনে মুক্ত করার মাধ্যমে তাঁর সকল স্বত্ত্ব বিশ্বের সকল কপিরাইট আইনের আওতায় ত্যাগ করেছেন। যার মধ্যে নেইবারিং অধিকার, ও আইনের মাধ্যমে এক্সটেন্টও অন্তর্গত। আপনি এই কাজটি কোন অনুমতি চাওয়া ছাড়াই মুক্তভাবে অনুলিপি, পরিবর্তন, বিতরণ করতে পারেন, এবং এমন কি কোনো বাণিজ্যিক কাজেও ব্যবহার করতে পারেন।
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.enCC0Creative Commons Zero, Public Domain Dedicationfalsefalse |
এই ফাইলে চিত্রিত আইটেমগুলি
যা চিত্রিত করে
কিছু মানের উইকিউপাত্ত আইটেম নেই
২৩ জুন 2020
image/svg+xml
ফাইলের ইতিহাস
যেকোনো তারিখ/সময়ে ক্লিক করে দেখুন ফাইলটি তখন কী অবস্থায় ছিল।
তারিখ/সময় | সংক্ষেপচিত্র | মাত্রা | ব্যবহারকারী | মন্তব্য | |
---|---|---|---|---|---|
বর্তমান | ১৯:৪৫, ১৯ জানুয়ারি ২০২১ | ২৭০ × ২০৭ (১৯ কিলোবাইট) | Nanite | add bose-critical and fermi temperature ticks | |
০৫:১৬, ১৮ জানুয়ারি ২০২১ | ২৭০ × ২০৭ (২০ কিলোবাইট) | Nanite | fill closer to margins; mark origin as 0,0 | ||
০১:২৩, ২৩ জুন ২০২০ | ২৭০ × ২০৭ (১৮ কিলোবাইট) | Nanite | Uploaded own work with UploadWizard |
সংযোগসমূহ
নিচের পৃষ্ঠা(গুলো) থেকে এই ছবিতে সংযোগ আছে:
ফাইলের বৈশ্বিক ব্যবহার
নিচের অন্যান্য উইকিগুলো এই ফাইলটি ব্যবহার করে:
- ar.wikipedia.org-এ ব্যবহার
- ca.wikipedia.org-এ ব্যবহার
- en.wikipedia.org-এ ব্যবহার
- fr.wikipedia.org-এ ব্যবহার
- hu.wikipedia.org-এ ব্যবহার
- ms.wikipedia.org-এ ব্যবহার
অধি-উপাত্ত
এই ফাইলে অতিরিক্ত কিছু তথ্য আছে। সম্ভবত যে ডিজিটাল ক্যামেরা বা স্ক্যানারের মাধ্যমে এটি তৈরি বা ডিজিটায়িত করা হয়েছিল, সেটি কর্তৃক তথ্যগুলি যুক্ত হয়েছে। যদি ফাইলটি তার আদি অবস্থা থেকে পরিবর্তিত হয়ে থাকে, কিছু কিছু বিবরণ পরিবর্তিত ফাইলটির জন্য প্রযোজ্য না-ও হতে পারে।
চওড়া | 216pt |
---|---|
লম্বা | 165.6pt |